Proposta di un calcolatore per determinare i coefficienti di correzione. Dorr. Inc. ERMENEGILDO SANTONI RICHIAMO AL METODO DI V. GRUBER. Riteniamo opportuno in primo tempo richiamare brevemente il metodo suggerito da V. Gruber, metodo che oltre essere ancora molto usato in pratica, è alla base delle ulteriori ricerche in materia. Si considerino due fotogrammi aerei eseguiti ad altezza di volo quasi uguale e con l’asse della camera pressoché verticale. Posto che essi (I-II fig. 1) siano correttamente piazzati in un restitutore, dz dk dx d d4 ILCIZ7/ 0 7 LA 191 \ Oy | 0 ‘ | I \ | | ! \ I Py 4 : LI n p* f I è / ! \, I Sn 3 |’ Z / Xx 5, \\ I Ta ” | i 9 S. | t = “> #4 - “= # e edi Fic. I, FIG. 2. prendiamo in esame nel modello i punti nadirali 1-2 ed i laterali 3-5, 4-6 posti rispettivamente ad eguali distanze (y) da 1-2. Il terreno, pianeggiante, sia assi milabile al piano di proiezione x. Siano Z e X rispettivamente l’altezza di volo
e la base. I punti considerati (I a 6) rappresentano pertanto i punti di inter sezione spaziali delle coppie di visuali omologhe (0; — 1; 0; - 1; 0; - 2 Ox; — 2 etc) uscenti dai fotogrammi / e II.
Supponiamo ora di dare al centro di proiezione 0;, piccoli spostamenti traslatori dx,; — dy,; — dz; ed al fotogramma relativo piccole rotazioni dk; — do; — dw; — secondo gli assi x — y — 2 indicati in figura 1).
Le anzidette coppie di visuali risulteranno ora in generale sghembe. Ad esempio il punto di intersezione con x della visuale uscente da 0,, relativa a 5 passerà in 5,; (vedi fig. 2 a scala. maggiore). — Lo spostamento parallattico 5; — 5;; potrà considerarsi scomposto in dx e dy. i
Variando opportunamente l’altezza del piano x (nel caso della figura ab bassandolo) si può render nulla la componente 9x mettendo in evidenza la fy che chiamiamo parallasse di altezza con nome improprio derivato dalla fotogrammetria terrestre.
Poiché X Y Z sono le coordinate del punto 5 rispetto al vertice O,, il va lore di fy, è dato dalla formula:
Y Y Y? DI; = Wir + dir FG + dn X+degX 3 +don Z(1+ 5) (0)
Questa formula, dando ad X ed Y 1 propri segni, è valevole per qualsiasi punto. In essa non compare dx poiché lo spostamento 4x non genera parallasse py ma solo variazione di distanza del piano x di intersezione e.quindi variazione di grandezza del modello. Si utilizza infatti la dx per la messa a scala.
Il primo termine, che si identifica con dy, è uguale per tutti i punti del mo dello mentre il secondo termine è legato a dz dal rapporto 7 Esso è dunque uguale in valore assoluto per i punti 3-4, 5-6, solo che per 5-6 è di segno nega tivo (cambiando segno Y}).
Il terzo termine, funzione di d£,,, è nullo per 1 punti 4-2-6 (dove la X è nul la) ed uguale in segno e valore assoluto per i punti 1-3-5 (aventi uguale X).
Il quarto termine, legato a @o;,, è funzione di X ed ancora del rapporto costante - Esso è dunque nullo per 2-4-6 (essendo nulli X) e per 1 (essendo | nullo Y). Inoltre esso è uguale in valore assoluto per i punti 3-5 ma di segno contrario a causa del segno di Y. Infine l’ultimo termine è legato a dw;; da un coefficiente un pò più complesso. Il suo valore è però uguale in valore assoluto e segno per i quattro punti 3-4, 5-6 in quanto Y vi compare al quadrato.
Il caso pratico è esattamente il contrario della ipotesi fatta poiché anzi ché partire da un modello privo di parallassi, introduciamo nel restitutore i fotogrammi /, II in posizione reciproca approssimata e pertanto partiamo da.
18 . un modello affetto da parallassi, per giungere ad un modello corretto a mezzo di opportuni spostamenti dy — dz — dh — do — dw.
Poiché dobbiamo valutare le parallassi esistenti in ciascuno dei punti I a 6, per ciascuno di essi annulliamo separatamente la parallasse 9y mediante uno spostamento traslatorio (4y) del vertice 0,;. Leggendo su una scala apposita il valore iniziale by, ed il valore dy, a parallasse annullata, il valore della pa rallasse del punto # sarà: i
DIn = dI, — Dn x La successione degli accorgimenti suggeriti dal Gruber è la seguente:
I) Poiché il primo termine della formula dà un valore costante per tutti i punti del modello, si può farne sparire l’effetto annullando la parallasse py in 2 con una dy;; appropriata.
Il valore letto sulla scala dy in queste condizioni si assume senz'altro come by,. È da notare che per il punto 2 le influenze di dz,; — dk;; — de; sono nulle, mentre quella di 4dw,r risulta annullata insieme a quella di dy. 2) Preso in esame il punto 1) vi si annulla la parallasse con un opportuno dk,;. È. da notare che anche qui le influenze di dz,; e dg;; sono nulle mentre quella di 4dw, è stata annullata da 4dy,, contemporaneamente al punto 2). 3) Si misurano le parallassi residue #y, — #Y, — #Y, — #Ys nel modo anzidetto. Esse ovviamente dipendono ora soltanto da 42,7 — dx; — dw,r, secondo quarto e quinto termine della (I). I
Prendiamo in esame, in un primo tempo, solo le parallassi $y, — py, e sup poniamo che esse dipendano solo da do,; € dw.
Ciò è legittimo in quanto per il momento si ricerca solo un assetto angolare relativo del due fotogrammi per cui l’effetto di 4z,, può ritenersi annullato da un deg; che potremo introdurre in seguito. dp 4 ke 0 2 dw l 0 2° 71 vi È 0; Ong / On e / A A i\ ST PIAEZNARE AA : \ /.:3L\ 2° 16 pri ,° \ Pgpd. 7.74 A È ] I Vi ‘ \ 7 9 “|: n ‘ \ °° 4 / “| ti ,° \ 3 7 2° Lib \\ i i) Z \ A i i m fo. \ <;)-... sie 1 9 2.2 i ie... \ ip 6 pw3 +Y 1 -Y pw 5 Pepi n 5 Fic. 3. Fic. 4.
Prima di procedere oltre, osserviamo nella figura (3) la genesi delle paral lassi da dp che chiameremo 9. La rotazione dp del fotogramma 0;; attorno all'asse y è sostituita dalla rotazione do attorno all’asse 4-6 supponendo che la prima rotazione sia combinata ad una opportuna traslazione dx che sappia mo di effetto nullo sulle fy. Si è messa così in evidenza la formazione delle pa rallassi 99,, 99, di segno contrario il cui valore, eguale, è dato dal quarto ter mine della (I)
Y Y bo, = + denX 5 bos = — donX G (2)
Nella fig. 4 si osservi l’effetto della rotazione dw attorno all’asse x combi nata con uno spostamento dy = Zd atto ad annullare la conseguente paral lasse nel punto nadirale 1. Anche qui si può considerare che la rotazione dw sia avvenuta direttamente attorno alla retta 1-2 mettendo in evidenza le parallas sì residue ?4w,, f0, che risultano di eguale entità e segno.
Il valore di queste parallassi è dato dall'ultimo termine della (1) ove si ten ga presente di avervi sottratto la parte Zdw = dy poiché si è annullata con dy la parallasse nel punto 1. Si avrà così: | ve do, = da, = dor Z 75 (3) Potremo ora scrivere: d Va = de; — Puo; (4)
DV, — do; n do, dalle quali essendo i termini fp e fw rispettivamente eguali in valore assoluto, otterremo per somma e sottrazione: DV; + DI; =-2 Po; DI; — DI, = 209 Introducendo i valori ottenuti nelle 2 e 3 avremo: _ DV; DY; i d _ DV, + DI; | dor _ V (3) Sr CT v? (5 bis) 2X< 2£ GI _ Z Z
In quest’ultimo artificio (somma e sottrazione) consiste precisamente il metodo suggerito da V. Gruber. Altri accorgimenti di carattere puramente ope rativo, che non riportiamo per brevità, sono suggeriti per facilitare la introdu
zione delle correzioni do e dw nel restitutore. Come si è già detto in luogo della. correzione 4dZ,, si preferisce dare una correzione dp; che può essere calcolata analogamente alla dg, con 9y, e dy; od anche effettuata praticamente osser vando visualmente l’effetto sui punti 4-6. Naturalmente introducendo nella (50) PV, e PY; avremo ancora un deo, da mediare con dwrr.
Ottenuto così l'orientamento relativo dei fotogrammi, si può passare all'orientamento assoluto sui punti noti al terreno, come di consueto.
NUOVE PROPOSTE,
Se nella fig. 4 supponiamo che la linea punteggiata rappresenti l’andamen to altimetrico del terreno, osserviamo subito che l’avvicinarsi o l’allontanarsi di esso dal rispettivo punto di cerniera # determina una sensibilissima varia zione della parallasse fw fino a renderla nulla se la sezione del terreno passa per il punto I e per i punti di cerniera 7, dando luogo al cosiddetto cilindro critico, causa di indeterminatezza della @.
Ma senza giungere a tale limite, sono sufficienti variazioni altimetriche modeste specialmente per camere di campi modesti, perché i due valori Po, do, risultino molto differenti fra loro. Con ciò viene a mancare la validità del l’artificio di sottrarre e sommare membro a membro le (4).
Alcuni interessanti procedimenti sono stati proposti da eminenti cultori per risolvere il problema nel caso più generale. . | | Poiché essi sono noti agli studiosi e agli operatori non si ritiene opportuno qui trattarne. Ciò porterebbe a confronti che esulano dal nostro scopo. Con il presente studio intendiamo portare il nostro contributo alla soluzione pra tica del problema lasciando ad altri il giudizio comparativo.
Dopo avere seguito il procedimento del Gruber, nel caso di altezza di volo costante, sino all'annullamento delle parallassi nei punti 2 ed 1 con dy;r € dk; rileveremo le parallassi residue nei punti 3 e 5 formate ancora dalle:
PV, _ Po, Po, i _ 00 = (4 PY,; TT Po, 7 Pu,
Ove si prendano in esame punti del modello 3-4, 5-6 che corrispondano sui fotogrammi a punti immagine distanti dall’asse (parallelo ad X) di una stessa lun ghezza (a), avremo reso costante il rapporto 7 = - = C indipendentemente dalla quota del punto considerato. Questo accorgimnto fu già proposto dallo stesso V. Griiber con il suo cartoncino provvisto di fori da sovrapporre al fo togramma. La scelta dei punti stessi (3-4, 5-6) in piani normali alla base e pas santi per i vertici 0,, O; rende di per sè eguali le X di detti punti sul modello,
Consideriamo per primi i punti I, 3, 5. I coefficienti $g,, fg, risultano pertanto eguali fra loro in valore assoluto anche per terreni montuosi. Avremo quindi: do, = — de, = der. X. C (7) d Y= 240w i | On Os) 107 i ! 4A VA: J° \\ /$ n. \ - / \ Li i i m f | \ N 4 N dw nf | \ de n e 1 I \ N / / du +. dè / \ Î ° / : \ m AM qa \ ter “GI / \ 3 a LI) py3 © LR i e 5 A 5 , ) Py Fis. 5. Fic. 6.
Nei riguardi del 1:rmi2= 5% prendiamo in esame nella fig. 5 gli spostamenti parallattici totali (9°, e: Dunti 3, I, 5 situati a differente altitudine.
Essi sono dazi ia rimo termine della (1) nel quale ponendo
Y?. I+ 7 = C, avrei: cu. = Z, do G, cu = Zgq do cu > Lg da C,
Ma poiché prima î missrars le parallassi in 3 e 5 annulliamo con dy;; la parallasse in I, le Dara -lis3 1:e5d4ue nei punti 3 e 5 dipendenti da de, (che chiameremo fw, e pu.
Sstmazz: -: 3 iu Li C, Z,) mr. = aL Z.C,- Zi) . Posto Z,C,-7Z.= A. 3. Z, C,-Z, = K, (9) ed in genere: | £Z,C.-Z.= K, avremo: Te. 5 de K, (10) c_; = do K,
In effetto noi misumazi n: 2727 3 e 5 le parallassi residue totali (fy) comprendenti cioè simuizazza == 1: 25 e do come indicato nella (6).
Ma poiché, come risulta dalla (7) i primi due termini sono eguali in valore assoluto, sarà lecito eliminarli per secmma ottenendo: DI; + DI; = — (fa; + Pw;) (11) d'altra parte dalla (10) si ba: do, + pw, = do K,+ dv È, | da cui ; do, + dw do = — K,+K (12) È questa la formula definitiva che, una volta formati i coefficienti K, K,, può darci il valore dw che potremmo subito introdurre nel restitutore.
Così facendo, sì dovrebbero di nuovo annullare le parallassi in I e 2 nel modo solito (4y,,, 4K,;). Successivamente si potrebbero annullare visualmente le parallassi residue in 3 e 5 con dox; ed in 4 e 6 con dor. È da notare che la ultima rettifica 4K sarebbe ormai libera dall’influenza di dw. Ma è anche possibile ottenere per via di calcolo il valore dpr. Infatti dalle (10) avremo dor _ a do, K, . K, K, da cul: fw, = bos» ponendo K._ Cp avremo dalla (6) Cp . dy;= Ce do; — do, DY,; 7 do, Pò; Sottraendo membro a membro: sa Co. DV, — DI; = Po (1 + Co) da cui Co . PY, sa PY, Ed infine dalle (7) e (13) | Co. dy; — dI d _ 3 5 PrI + Co) CX (14) Analogamente si avrà : Co . dy, DI Ko . dpr = — (1 + Co) CX dove Co = K, (14 des)
Ma poichè la stessa 4z,;7 ha influito anche sul valore delle parallassi misurate sul punti 3-5, con un contributo che chiameremo z;; dovremo togliere da esse il valore $2,; prima di introdurle nella (14). Il valore di #27, Y dato dal secondo termine dell (1), avendo fatto 77 C, sarà: Copy, — DJ: . zi = di C =- E° 16 P II II_I (I + Co) ( ) Tenuto conto di ciò, le due formule (12) (14) sono applicabili anche nel caso che vengano presi in esame più terne di punti disposti in piani ortogonali alla base, aventi perciò differenti valori di X. In tal caso avremo: 2 do | XX do don = —- |} do, = ———- Per ottenere rapidamente i valori dei coefficienti, del tipo (K. + K.,) Cqpe (1 + Co) C si prospetta la possibilità di impiegare un dispositivo calcolatore di cui le figure 7 e 8 rappresentano lo schema geometrico e la 9 una forma di esecuzione a titolo dimostrativo. Il funzionamento è il seguente. | Dal tipo di camera impiegato si stabilisce il: rapporto costante Yy | 7 7 C = tang. a Si regolano una volta per sempre l’angolo « e la posizione della guida S m Y? in modo che risulti x (I + 2) = C, L’apparecchio è così pronto per l’uso. Si misurano al restitutore (scala delle distanze) 1 valori Z, £Z, £, etc. Si introducono con 1 bottoni Z, Z, i rispet tivi valori sulle scale. Il valore Z, si introduce doppiamente mediantei due bottoni ZI. Si possono ora leggere i coefficienti (K. + £.) sulla scala Q; C@ sulla scala D; (x + Co) C sulla scala E. Ove sia ritenuto conveniente le scale Q ed E possono dare i valori I I n —__—__—_ ——_— e —_______ym@ (K, + fi) I + Co) C