I. — RESTITUZIONE PROSPETTICA

1. Generalità. — Se il grado di speditezza del rilevamento lo consente, si prescinde dalle due deformazioni sopra illustrate e si effettua la restituzione prospettica, valendosi della proprietà del fotogramma nadirale di contenere in sé ogni curva di livello rappresentata ad una scala costante. In tal caso ci proponiamo quindi semplicemente di individuarle e tracciarle, ad esempio, su un fotogramma; a questo scopo ci varremo dello stereogramma formato da esso e dal fotogramma che lo precede (o lo segue), per i quali supporremo verificata una seconda ipotesi, che essi siano complanari. Come è noto la por zione di terreno comune a due fotogrammi consecutivi della catena aerea è normalmente pari a circa i due terzi del loro formato; è su questa parte di uno dei due fotogrammi dello stereogramma che ci proponiamo tracciare le curve di livello. Le chiameremo « prospettiche » nel loro complesso, perché proiettate da un centro proprio, per distinguerle da quelle « planimetriche » nel loro complesso, perché proiettate dal punto improprio nella direzione della verticale; è evidente che quanto più il detto centro si approssima al detto punto improprio — ossia quanto più è grande la quota relativa della presa aerea — e quanto minori sono 1 dislivelli del terreno, tanto più le curve prospettiche si approssimano a quelle planimetriche, e le loro diverse scale risultano contenute in una gamma più ristretta di valori, potendosene assumere il valore medio quale scala approssimata del rilevamento. 2. Descrizione di una curva di livello prospettica di quota indeterminata. - Si vogliano individuare, e unire con una linea, tutti i punti dello stereogramma (F.,_7,) aventi la quota Q di un punto P assegnato ad arbitrio, nelle ipo tesi già fatte che ripetiamo:

I) rigorosa verticalità degli assi di presa dei fotogrammi; 2) «che i punti di presa O,_,, 0, di fotogrammi consecutivi abbiano uguale quota assoluta H.

In forza di tali ipotesi i fotogrammi sono complanari e orizzontali, anche se comunque orientali nel loro piano comune (fig. 2). Assumiamo su ognuno di essi un sistema di coordinate piane ortogonali aventi l’origine nel rispettivo punto principale (N°,_, N°,), che chiameremo più genericamente « centro », e l’asse x nella direzione congiungente i due centri stessi, orientata da N',_, a N°, indichiamo con f la distanza principale della presa, con d la base O,,_,

O,, con Zp il dislivello fra il punto generico P e i punti di presa 0,,_;,, 0p, con p la parallasse, ossia la differenza delle ascisse, nel sistema scelto di assi, delle immagini P,_,, P, del punto P sui fotogrammi. Da note formule di stereo fotogrammetria terrestre, e comunque da semplici relazioni fra i triangoli

Da questa relazione, considerando che H, f, è sono costanti in ogni ste reogramma, si deduce che 0° è funzione soltanto di $ ; quindi se $ è costante lo è anche 0p; ma

Qp = costante è l'equazione del piano orizzontale di quota Qp.

Si può dunque asserire che tutti 1 punti aventi la stessa quota presentano uguale parallasse nello stereogramma. Si noti inoltre che, nelle ipotesi fatte, le immagini di uno stesso punto del terreno hanno uguale ordinata sui due fo togrammi.

Da queste considerazioni già si deduce la maniera di conseguire quanto ci eravamo proposto, ossia che per tracciare sul fotogramma F° la curva di n-1 4 p hi Fn Pò ct ? n-1 P. Ì __ _ — — * — — —— — N T Hi N° N° ì N | n-1 I N a i n I il I I I È 1 . 1 il ! ° i il ° | a } I i | i i Ì ” I uu _ C _—__-+ I Ì I lu ed | i C+p i Fic. 3. livello passante per il punto generico P basta congiungere con una linea tutti i punti che presentano nello stereogramma (F,_;,,) la parallasse ), costante e uguale a quella relativa al punto P.

Praticamente si potrà operare nella seguente forma (fig. 3):

I) si disporranno i fotogrammi su uno stesso piano con i centri N°,,__: N°,, a distanza arbitraria c; 2) si orienteranno reciprocamente nell’assetto corrispondente alla presa, per il che, nelle ipotesi fatte, sarà sufficiente che la congiungente 1 centri N’,_, N°, passi su ogni fotogramma per la immagine (N°”,_,, N”) del centro dell’altro;

3) considerate le immagini P,_,, P, del punto P sui rispettivi foto grammi, e misurata la loro distanza

P,_ Pa=tc td, hanno la stessa quota 0, di P quei punti, le cui immagini si trovano alla medesima distanza c + $. |

Per determinarli con continuità ed in forma pratica, tale distanza può essere materializzata come quella esistente, ad esempio, fra due reticoli, che chiamiamo « marche », vincolati ad una sbarra. Questa verrà condotta sui fo togrammi in modo da mantenere costantemente collimate le due marche su immagini corrispondenti al medesimo punto del terreno; . 4) in tale operazione la sbarra subirà solo fraslazioni, ossia si manterrà sempre parallela a sé stessa per avere le dette immagini la medesima ordi nata, come già abbiamo osservato; 5) se osserveremo con l’occhio sinistro la marca che esplora il foto gramma /,_ e con quello destro l’altra marca, si otterrà, nelle condizioni di collimazione sopra descritte, la sensazione stereoscopica di contatto fra la mar ca, unica apparente, spaziale e il cosiddetto modello ottico dello stereogramma; 6) la punta di una matita che coincidesse con una delle due marche descriverebbe sul fotogramma rispettivo la curva di livello; collegandola in vece alla sbarra con un dispositivo e in una posizione qualsiasi, purché ad essa rigidamente connessa, traccerà la curva di livello su un foglio opportuna mente disposto; 7) variando la distanza c + $ descriveremo quante si vogliano curve di livello del terreno; notiamo che, anche se di esse non si conoscesse la quota — la cui determinazione non abbiamo ancora trattato -— purtuttavia esse già descrivono il terreno nella.sua forma.

Con quanto abbiamo ora dedotto, abbiamo delineato una parte dello schema geometrico e meccanico cui soddisfano gli strumenti in questione e in particolare lo Stereografometro Nistri (fig. 4), quella che riguarda la delinea zione delle curve di livello prospettiche di uno stereogramma nadirale, schema che presenta i seguenti requisiti:

I) i fotogrammi, disposti su un medesimo piano, devono poter 7r%o0- tare intorno al proprio centro (orientamento sulla retta dei centri ; vedi punti I) e 2) precedenti; 2) un sistema rigido formato da due marche di collimazione ed una matita tracciante devono poter subire traslazioni parallele alla congiungente 1 due centri N°,__;, N°, (tracciamento delle curve di livello ; vedi punti 3), 4), 6) precedenti;

3) le marche devono essere osservate una per occhio (osservazione ste reoscopica ; vedi punto 5) precedente ; 4) una marca deve poter subire la traslazione nella direzione dell’al tra (variazioni della parallasse orizzontale $) per passare da una curva di li vello ad un’altra; vedi punto 7) precedente ; 5) siccome il verificarsi delle ipotesi alla base del metodo è sempre imperfetto, il che provoca che la congiungente le immagini corrispondenti sui due fotogrammi sia parallela alla retta dei centri solo imperfettamente, una delle due marche deve poter subire la traslazione perpendicolare a detta retta per ovviare al detto difetto di parallelismo (eliminazione della parallasse verticale). 3. Descrizione di una curva di livello prospettica di quota assegnata e detey minazione della quota di un punto qualsiasi.

A) Dati solamente la distanza principale f la quota assoluta H e la base b della presa ; essi sono sufficienti a calcolare le quote 0° con la formula (I), quando si misuri f. Viceversa, dalla formula (I) si ricava fb P= 7° (2) (O —

Praticamente, imposta tale distanza e ricercata la coincidenza fra marca spaziale e modello ottico del terreno, si descriverà la curva di livello indu cendo alla marca i movimenti nel piano orizzontale da essa definito, mante nendo il contatto fra di essa e la superficie del modello ottico del terreno. È ovvio che la conoscenza diretta di H e di è è inevitabilmente affetta da errori sensibili, che saranno trattati più avanti parlando della loro de terminazione; per evitare le conseguenze temibili da tali errori, e quelle del l’imperfetto verificarsi delle due ipotesi alla base del metodo, che in questo caso A) sono anche esse notevoli, conviene usufruire di elementi noti sul ter reno, e non solamente di quelli intrinseci della presa.

B) Dati f, H e punti di quota nota. Se conosciamo la quota di alme no un punto del terreno riconosciuto sui fotogrammi, conviene effettuare la determinazione del dislivello di qualsiasi altro punto da quello dato; per que sto sl impiegherà la differenza fra la parallasse del punto incognito e quella del punto noto. Se i punti noti fossero più di uno, disporremmo di più prove nienze per la determinazione, e quindi avremmo anche la nozione dell’atten dibilità del risultato.

I) Formule approssimate. Differenziando la (1) rispetto a $ si ottiene: b dQp = f ee dp ed essendo i _H-® d b H — si ha dQp = H 6 dp . (3) d sostituendo 1 differenziali rispettivamente con A, dislivello, e con A }, differenza di parallasse, e indicando con K il fattore frazionario che è costante, sl ottiene: Ah = K Ap (4) Tale relazione esprime #2 dislivello Ah, da determinare fra un punto in cognito, per il quale si è misurata la parallasse p+ Ad, e quello P, di quota nota Qp, per il quale si è misurata la parallasse p. Dalla (4) si ricava A "AH ° (5) dp 7 K } 5 che co dà la differenza di parallasse Ad di cui variare quella p, misurata per il punto P, di quota nota Qp, per indurre alla marca il dislivello Ah, onde portarla alla quota Qp + Ah, ad esempio di una curva di livello da tracciare. Le due formule (4) e (5), per essere ricavate da differenziali, sono tanto più approssimate quanto più piccolo è il dislivello da determinare. Nel caso che l'errore introdotto dal loro impiego non fosse tollerabile conviene usare le formule esatte.

II) Formule esatte. Conservando le notazioni precedenti, sia 0, la quota del punto P, da determinare e #, la parallasse misurata, ad esso relativa. Dalla (1), applicata anche al punto P,, si ottiene i , Op = H — Î cd ’ b OH i:

sottraendo membro a membro, e indicando con A # il dislivello da determi nare Qp, — Qp, con A? la differenza fra le parallassi misurate $,— , si ot tiene db A Ah = to Ap | (6) | e siccome per la (1) 11 primo fattore frazionario è uguale a H — Qp sl ha H — Ah = Ae Ad |. (17) Da Risolvendo la (6) rispetto a A ?, si ricava Di Ad= <— bAh i P fb P e siccome per la (1) il fattore frazionario è il reciproco di H — Q),, si ha Ad = Pd A h (8) H — Op ° Le formule (7) e (8) sostituiscono rispettivamente le (4) e (5), di più spe dito impiego, quando 1 dislivelli del terreno superino il valore che le fa usci re di tolleranza.

Come è noto dalla teoria, si possono impiegare agli stessi scopi altre for mula, deducibili dalle precedenti e di analogo impiego. 4. Considerazioni sulle approssimazioni conseguibili nelle determinazioni altimetriche. — Si considerino in primo luogo gli effetti dell’imperfetto verifi carsi nella presa delle ipotesi alla base del metodo sotto l’aspetto degli errori che ne risultano nel tracciamento delle curve di livello; osserviamo che le su perfici di uguale parallasse, che per prese rigorosamente nadirali sono piani orizzontali — quelli che intersecando il terreno determinano le curve di livello — sono famiglie di superfici di ordine superiore che si approssimano sensibil mente al piano solo per piccoli scostamenti dalle condizioni in ipotesi. È noto ad esempio (fig. 5) che per un piccolo errore di convergenza (dg) degli assi di presa, nel loro piano verticale, le superfici di uguale parallasse sono cilin driche; che per una piccola inclinazione trasversale (4 w) tali superfici. sono pa raboloidi iperbolici, che per un piccolo dislivello (4H) fra i punti di presa tali superfici sono piane, ma non orizzontali. Le curve di livello descritte sono quindi le intersezioni del terreno, non con piani orizzontali, ma con superfici curve e inclinate, sia pure in piccola misura, che costituiscono superfici di li vello « fittizie », che, se descrivono soddisfacentemente il terreno dal punto di

vista morfologico, possono a volte indurre errori geometrici notevoli; ad esem pio una porzione di una delle dette superfici di livello fittizie può presentare profili di pendenza media superiore a quella di una strada o una linea di acqua del suo intorno, con il che queste verrebbero restituite con pendenza di segno opr sto alla vera. -

Dopo questa prima considerazione, che dà idea, dal punto di vista qua litativo, del variare degli errori sul modello restituito, calcoliamo gli errori che si commettono nel calcolo delle quote secondo il metodo A) e dei dislivelli secondo quello B). Possiamo accettare a priori che la distanza principale f della camera di presa sia in ogni caso conosciuta con approssimazione esu berante alle esigenze di precisione dello strumento, posto che lo è nei riguardi dei grandi restitutori. Le fonti di errore che introduciamo nelle formule sono quindi:

I) l'errore + dH nella determinazione della quota assoluta di volo; 2) l'errore + db nella valutazione della base aerea di presa ; 3) l'errore + dp,, nella misura della parallasse $ ; 4) l'errore t dp, nella parallasse $, dovuto a difetto della nadiralità della presa. La componente dell’inclinazione del fotogramma, che in prima ap prossimazione influisce sulla parallasse orizzontale $, è la inclinazione longitu dinale ©; quindi considereremo che l’errore di nadiralità si verifichi nel piano verticale nucleare; inoltre agli effetti della parallasse f evidentemente interessa solo considerare l’errore + © di parallelismo fra gli assi di presa dello ste reogramma, giacché una loro uguale piccola inclinazione, che li conservasse paralleli, non introdurrebbe errore nella parallasse 4. Per tutto ciò l’errore dp si può considerare espresso dalla relazione dpo=f.do. (9)

Indichiamo con 7 i rapporto fra quota di presa relativa ad un punto e la base aerea di presa che è uguale a quello fra distanza principale e parallasse relativa al punto stesso; con. S il denominatore della scala s = 1 : S di una determinata curva di livello sul fotogramma, ossia il rapporto fra quota di presa relativa alla curva di livello e la distanza principale della camera di presa, che è uguale al rapporto fra base aerea di presa e parallasse relativa alla curva di livello stessa; con v 2 rapporto fra la parallasse relativa ad un punto e la differenza di parallasse fra un secondo punto e il primo, che è uguale al rapporto fra la quota di presa relativa ad un punto e il dislivello fra un secondo punto e il primo: ossia riassumendo:

Hd g Hd ò D Î d ov PD —_ H_@p i (10) À p î

Premesso questo, differenziamo la (1) del caso A) considerando gli errori accennati come indipendenti, otteniamo d0p = 4 dl a Lab LO apr LI ape, P p d e per la (9) e Ia (10) dQp = + dH +rdb +rSdp, +t:r(AH-Q))d, (II) differenziamo analogamente la (7) del caso B), considerando uguali e indipen denti fra loro gli errori dP,, che si commettono nella misura sia di $ che di f,, e che è il medesimo l’errore di nadiralità dg, nel senso gia menzionato, che affetta sia f che #, ,; otteniamo ricordando che A$ è la differenza fra f,e è, A H — H -- dAh= + - vd dH F Ho db,, + Od Ca) D db, + Pi di di _ |H_ 0 (1 — Op) d _ fee —_ —_ i dp O, , Pi di e per la (9) e le (10), nelle quali si può considerare 9° uguale a ) senza va riare l'ordine di grandezza dei termini, I S H — dAh= +—— dH%+ 27 S4dp,, 7 bi dd, F MH €) do. (12) v v YU, Ponendo | + E= LtdHFrSdp,+Fr(Ad_-@0))do la (11) e la (12) diventano dQp = E +-r db (13) E dAh=—-— F 2r Sd, (14) V Si consideri un caso corrente di una presa aerea con camera grandango lare di distanzà principale f = 152 mm; sia H = 6080 m circa, determinata ad esempio con un altimetro con d H = + 100 mj;j è S = 40,000; sia 0, = 0, 7 = 2,5e€do = I°; nelle condizioni più sfavorevoli di fotogrammi su carta, sia dp,, = 0,05 mmj;.ed infine db = 40 m; si otterrà ! E = +i0o0m<+-5m57 267,5 m | dOp = E + 100 m E dAih=-—- + 10m y |

: 16 le quali ci danno idea dell’ordine di grandezza degli errori nella determinazione assoluta delle quote e dei dislivelli.

Si consideri adesso che v è un numero grande, nelle condizioni normali di impiego della fotogrammetria, perché esprime quante volte è più grande la quota relativa di presa rispetto ai dislivelli A 4 del terreno da rilevare; tale errore v nel caso della presa aerea considerata è maggiore di 50 in terreni pianeggianti, compreso fra 50 e 20 per i collinosi, fra 20 e 10 per i monta gnosi con valori minori di 10 solo eccezionalmente e in limitate porzioni di uno stereogramma.

Per condizioni di presa diverse da quelle considerate, le relazioni di gran dezza che si ottengono gli errori dQ, e d À 7 sostanzialmente non cambiano; in modo che possiamo concludere: 1) che la determinazione della quota assoluta di un punto secondo il caso B), passando attraverso quella del suo dislivello A 4 da un altro di quota nota, è circa v volte più precisa di quella effettuata secondo il caso A): dQp =vdAÀ; 2) che l’errore di più temibili conseguenze è quello dovuto a difetto di nadiralità do ; o i . 3) che l’errore nella misura delle parallassi, rispetto a quelli provenienti dalle altre cause, è trascurabile nel caso A) mentre non lo è nel caso B).

Pertanto, come avevamo già avvertito converrà ricorrere sempre, quando si abbiano punti di quota nota sul terreno, al metodo B), il che si potrà sem pre fare, ad esempio, nel caso dell’aggiornamento di una carta. Se non si di sporrà di detti punti, li si creeranno in ogni stereogramma effettuando pre ventivamente una aerotriangolazione radiale della presa aerea, valendosi del l'ausilio dello stereografometro stesso come è illustrato più avanti parlando del suo impiego; con tale aerotriangolazione, note, o calcolate secondo il me + todo A), le quote di almeno due punti rispettivamente agli estremi della ca tena aerea, si ricondurrà al caso B) la determinazione ‘delle quote in tutti gli stereogrammi intermedi, conseguendosi una precisione relativa nella resti tuzione di ordine superiore, nel senso che gli errori si distribuiranno lungo di essa senza discontinuità, e che ogni porzione di essa presenterà i dislivelli re . stituiti con notevole precisione, anche se le quote assolute saranno affette da errori più grandi,

Si noti come la forma più conveniente d’impiego si avvalga di tre elementi la cu misura è indipendente l’una dall'altra: uno determinato nella presa aerea, ossia la quota assoluta di volo H ; uno determinato sul terreno, ossia la quota Q, di un punto; uno misurato sui fotogrammi, ossia le parallassi $ e $,. Nel metodo A) invece è necessario impiegare anche la base aerea di presa d ché può essere variamente determinata.

n 17

La determinazione di H può essere ricavata dalle indicazioni di un alti metro, o meglio di uno statoscopio, riferite ad altri elementi noti; per uno stereogramma si assumerà la media dei valori registrati sui due punti di presa; l’approssimazione assoluta si può valutare dell'ordine dei 100 metri. Sl può dedurre con approssimazione superiore dalla conoscenza della scala media s,, di almeno un fotogramma, moltiplicando il denominatore $,, della scala per la distanza principale 7, quando su di esso compaiano almeno due punti di posizione nota, il che si verifica nel caso di aggiornamento di carte regolari. L’altimetro radar, che dà l’indicazione della quota relativa della presa rispetto ad una piccola zona del fotogramma, dà l’approssimazione massima conse guibile allo scopo.

La determinazione di b può essere ottenuta come media delle distanze fra le immagini dei centri sui due fotogrammi (vedi fig. 3: N°,_NU”,N”,_1 N°,), nota la loro scala media quale rapporto fra la quota relativa della presa e la distanza principale f, o mediante punti di posizione conosciuta; la deter minazione di tutte le basi, così determinate, di una catena aerea si presta ad una compensazione che porti la somma delle basi ad uguagliare la distanza, determinata per altra via, fra il primo e l’ultimo centro della catena. Meglio, la determinazione di d si ricaverà dalla aerotriangolazione radiale della catena aerea, eseguita con l’ausilio dello Stereografometro stesso. Anche le indicazioni degli intervalli di tempo fra prese consecutive, registrati. da un cronometro fotografato insieme al terreno conducono alla conoscenza delle basi, interpo landole, proporzionali a detti intervalli, nella lunghezza, supposta nota, della catena aerea. È ovvio che dalla attendibilità di H (e di b nel caso del metodo A), in funzione delle accennate possibilità e disponibilità per la sua determinazione, dipende il grado di speditezza del rilevamento; nel caso che questo sia ampio e il rilevamento abbia un carattere più descrittivo che geometrico, si potrà ad esempio impiegare un unico valore medio di H (e di 5) per tutta una ca tena aerea; invece nel caso dell’aggiornamento di carte regolari, ove si avranno a disposizione elementi plani-altimetrici di appoggio e controllo in abbondanza si determinerà per ogni stereogramma il valore di H per varie vie; non è detto che tale valore sia il più approssimato a quello vero, giacché può verifi carsi il caso che con la alterazione del suo valore si introduca un errore che tenda a diminuire altri di altra origine, principalmente quelli dovuti a im perfetta nadiralità della presa. A volte converrà restituire le successive por zioni dello stereogramma introducendo nel calcolo delle quote valori diversi di H, ricavato ognuno sui punti di appoggio contenuti nella porzione consi derata di stereogramma.

Le considerazioni esposte, insieme alla esperienza dei metodi aerofotogram metrici in genere e nell'impiego dello strumento, serviranno caso per caso a informare i criteri cui attenersi per ottenere dallo Stereografometro, nella gamma di rilevamenti cui può essere destinato, la prestazione più conveniente.

una determinata scala,a è necessario indurre al fotogramma le due trasforma zioni menzionate a pag. 5. Il problema che sì presenta riguarda solo la rappre sentazione planimetrica del terreno; nulla quindi cambia su quanto è stato | detto anteriormente nei riguardi delle determinazioni altimetriche.

Per operare simultaneamente le sue dette trasformazioni ci varremo del seguente schema geometrico.

Si consideri la fig. 6 (*) in cui O rappresenta 1) punto di presa di quota assoluta H, e il piano « il fotogramma posto da O alla distanza principale f della camera di presa; per le ipotesi alla base del metodo x è orizzontale e il punto principale N° del fotogramma è sulla verticale di O (!). Il piano x rap presenta il livello del mare che supporremo piano, da cui si misurano le quote assolute. SI voglia effettuare la restituzione alla scala s = 1 : S. Sul fotogram ma nadirale, per la sua $roprietà rilevata a pag. 4, esiste una curva di li vello, ed una sola che rappresenta planimetricamente alla scala s quella cor rispondente sul terreno. Questa ultima è evidentemente l’intersezione con il terreno del piano orizzontale X posto da O alla distanza verticale Sf, ossia di quota g = H — Sf, piano di livello che diremo « fondamentale ». Tale curva di livello è quindi la unica che possiamo considerare restituita planimetrica mente sul fotogramma alla scala assegnata s. 51 consideri ora il punto generico P del terreno di quota Qp e di immagine P' sul fotogramma. La sua esatta planimetria rispetto alla curva di livello | anzi considerata, sul piano del fotogramma alla scala s si trova nel punto P,’, immagine di P,, proiezione verticale di P sul piano X di quota g. Quindi il punto P' per trasportarsi sul fotogramma nella sua vera planimetria deve subire la traslazione P’P’,. La verticale per P,’ è complanare alla OP per ap partenere entrambe al piano verticale contenente 0 e P; la incontra quindi in un punto P”. Dalla simiglianza dei triangoli OP’, Pe OP,P, e di quelli OP’ N° e OP,N, si ricava . P”P,:PP,= ON : ON,, îa cul DD: PP, 1 = 3° 3 - indicando P”P’, con ?, ed essendo P P, = q 7 0 q—_ dp o = << . (15) * La figura è tratta dall’opera (7) citata in bibliografia. ‘In figura il piano x è disposto in posizione simmetrica di quella del piano del me v-amma nella presa, rispetto all’orizzonte di 0, ma come è noto le prospettive en ..- piani si identificano con la rotazione di 180° nel proprio piano di una delle due.

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