In aerotriangolazione il metodo analitico non ha finora trovato vasta applicazione in quanto i calcoli che comporta sono di notevole entità, tanto che fino all'avvento delle macchine calcolatrici elettroniche esso è stato con siderato fuori della portata pratica; ma oggi esso viene riconsiderato. Con tale metodo si persegue il fine di ricavare le coordinate dei punti del terreno, scelti per l’aerotriangolazione di una catena, ricorrendo alla semplice lettura delle coordinate piane delle loro immagini sui fotogrammi, alla conoscenza dell’orientamento interno di questi e alle coordinate dei punti noti sul ter reno; di solito st vuole arrivare allo scopo con il calcolo preventivo dell’orien tamento esterno di ogni fotogramma. Il metodo, in contrapposto alla labo riosità dei calcoli, dovuta al grado elevato del problema, presenta il pregio di ridurre al minimo e alle più semplici, le operazioni strumentali, ossia a quelle dell’impiego di uno sfereocomparatore.
Senza addentrarci nello sviluppo analitico completo del problema, pre feriamo svolgere alcune considerazioni che illustrano con la più grande effi cacia il problema della aerotriangolazione, manifestandone la sua vera es senza. Come è noto nel metodo, correntemente impiegato negli apparati restitutori, che ricorre alla ricostruzione dei modelli ottici vengono presi in considerazione un minimo di cinque punti per ogni fotogramma per la for mazione di ogni stereogramma; come è noto essi sono disposti in modo che del fotogramma 7, intermedio qualsiasi della catena, vengono presi in consi razione nove punti, uno presso il punto principale e gli altri otto sui bordi del fotogramma. In realtà nove punti sono esuberanti per la aerotriangola zione, il che ci proponiamo di dimostrare.
Consideriamo (fig. I), che il fotogramma : della catena sia già orientato assolutamente nello spazio, insieme al precedente i-1; dallo stereogramma Siri potremo determinare le coordinate di due punti P,,, P;j, comuni al foto zramma 2 + I, disposti su questo presso i vertici del suo formato che si so vrappongono al fotogramma 1-1; inoltre potremo determinare le direzioni (*) Conferenza tenuta alle «Settimane fiorentine di Cultura fotogrammetrica » Firenze, settembre 1955. In essa l'A. — assistente all'Istituto di Geodesia e Topografia della Facoltà di Ingegneria di Roma — ha proposto una elegante soluzione di un pro blema attualmente in discussione relativo alla aerotriangolazione. N. d. A.
uscenti da O, su cui si trovano i punti Pj4 ns: Pii+ na laterali rispetto al punto principale del fotogramma î + 1; esse direzioni si possono ricavare dal fotogramma è, in quanto anche a tale fotogramma appartengono le imma gini di detti punti. Proponiamoci ora di far assumere al fotogramma ? + 1 il suo assetto nella catena valendoci solamente: 1) delle direzioni uscenti dal suo punto di vista 0; ,; ai soli quattro punti P;., Pia Pi+ ns: Pi+ na; riduciamo cioè il fotogramma 2 + I a queste sole quattro direzioni rigidamente collegate fra loro; esse formano un tetrae dro indefinito, le cui facce, anche quelle diagonali, sono note attraverso le coordinate delle immagini dei quattro punti sul fotogramma e l’orienta mento interno di esso (punto principale, distanza principale e distorsione); 2) della conoscenza delle coordi 0;., di nate, sul modello, dei punti restituiti, già noti, P,,, P,,, per 1 quali devono passare i corrispondenti spigoli del sud
ON N firm detto tetraedro; Î Vv 3) della condizione di compla \ narità con i raggi, già noti, 0; P.4.y)s \ i e O; P4+ a» dei rispettivi spigoli del sat | suddetto tetraedro. | _\ Pe \ o Quanto ci siamo proposti è possibi \ ci+00 le e l'assetto del tetraedro O, ; P;; Pia Ci Pri +nsPi+na È determinato avendo 0 il problema un numero finito di solu zioni, dovute al suo grado, fra le quali è facile, per la natura del problema, dedurre quella che interessa. Invero, ricostruito il tetraedro (fig. 2) con i dati suddetti della condizio ne (1), assoggettiamolo alla condizione (2) che vuole che i due raggi 0; Pi; e 0; +; Pia passino per i punti P,, e P,,; se verifichiamo tale condizione in un piano generico contenente tali due punti, O; rimane indeterminato su un arco di circonferenza, quello capace della faccia P;, 0; ,;P;, e che insiste sulla corda P,, P;,; considerando tutti i piani del fascio che ha per asse questa corda, detto arco di circonferenza dà luogo ad una superficie torica. La con dizione (2) lascia quindi al vertice O, _, , Ja indeterminatezza su tale superficie, ossia su un insieme »z. Mantenendo ora il vertice 0;, ; sulla superficie così determinata, assoggettiamo dapprima il raggio 0; 1; Pii+ ns ad appoggiarsi al raggio 0; Pi4+ xs (prima parte della condizione 3). Al vertice 0; ,, rimane la indeterminatezza su una linea del detto toro, ossia su un insieme semplice mente infinito. Ciò si può mettere in evidenza nella seguente maniera (fig. 3). Fissiamo un punto generico G sul raggio 0, P;;+ ns e stabiliamo che per esso debba passare il raggio omologo 0; 4: P(i+ s del tetraedro; allora la determi nazione della posizione assunta da 0; quando i tre raggi 0; .; Pi. 041, Pio O; s:Pu+nspassano rispettivamente per i punti P,,, Py, G, costituiscono il
noto problema del semplice vertice di piramide, che, come sappiamo, è ri ducibile al quarto grado, con quattro soluzioni dalle quali possiamo separare quella che ci interessa. Facciamo adesso variare il punto G sul raggio 0; Pii4. ns; ad ogni posizione di G su tale raggio corrisponde una posizione di O; , , ; l’in sieme descritto da 0; ,; è semplicemente infinito, ossia una linea L', general mente continua per intervalli generici della variazione di G su 0, Pij4.ys; tale linea non può che appartenere al toro anzidetto.
Mantenendo sempre il vertice O; ,, sulla superficie del toro, assogget n I er ‘ N ' N l - N I 1 Dist \ 0; di je 7 2----] 1] ‘ 2 - ) e } » ul ‘ (213 VA 2 / (£,7X 2°. -) DA 0,1 27 Pis i «TI 7 ATA i ali I. a ° LT el Pis , fi net i Piro118 ai Lee . 1 N | /* Pro Piyesio FIG. 2a. Fic. 2 di. tiamo poi il raggio 0; ,, Pi+ na ad appoggiarsi al raggio O; P(-4 1) a , (seconda parte della condizione 3) senza imporre più condizioni al raggio 0; 4; Pi+ns Analogamente a quanto è stato adesso dimostrato, ad 0; ,, rimane la inde terminatezza su un’altra linea L'’, appartenente anch'essa al toro. Se infine imponiamo simultaneamente l’appoggiarsi dei raggi 0; ,, Pii4 ns, 0; 4: Pii+ a rispettivamente a quelli O, Px; 4 3,0; P+ ya il vertice O; ,. , resta univocamente determinato (a meno di un numero finito di altre soluzioni che non ci interessano) nella intersezione delle due linee L', L'' suddette. Con ciò risulta dimostrato che è sufficiente prendere in considerazione quat tro solt punti di un fotogramma 1 +1 perché sia possibile orientarlo nel concate ramento sui due fotogrammi precedenti i-1, i, dai quali è stata ricavata la restituzione di due punti del modello, comuni al fotogramma è + 1, e la resti tuzione di due direzioni, uscenti da î, ad altri due punti del fotogramma d + 1 da orientare. Questo significa che, in un concatenamento, ogni medello par ziale. della aerotriangolazione viene formato e saldato al precedente, in una sola operazione, considerando del precedente solamente due punti restituiti - due direzioni ad altri due punti appartenenti al nuovo modello da formare;
poi, formatolo, basta restituire tali due punti perché, con procedimento analogo, si possa formare e saldare il modello parziale successivo, e così via 0, Sal 0. % 1 " | \ I x 0%. TA (i Ì / ì i ) \» rs | G È A | A G \ 1\ A Fic. 3 a. FIG. 3 d. indefinitamente, Con questo procedimento, di ogni fotogramma è sufficiente prendere in considerazione solamente seî punti, consentendo ogni altro punto < di stabilire relazioni esuberanti per una i N compensazione; la aerotriangolazione vie 0; NL ne a procedere con un passo che com di \ x porta ad ogni fotogramma la determina \ OA zione di due punti del modello ottico. \ / ' Un tale metodo non si presta a so luzioni ottico-meccaniche, a costo di va | riare sostanzialmente la struttura dei re W stitutori aerotriangolatori spaziali, quali sono attualmente; bensì esso può trovare Prog applicazione particolarmente adatta al l’aerotriangolazione analitica di una ca P;, tena, Il metodo esposto si differenzia da Prina ogni altro finora proposto, oltre che per il numero dei punti impiegato, per il fat to che con esso si arriva a determinare Fic. 3 €. direttamente le coordinate dei punti del concatenamento senza necessità di cal colare preventivamente l’ orientamento esterno dei singoli fotogrammi. Sia data la catena aerea di vertici (punti di presa) O, -—>» O, (fig. 4). Sul terreno da essa coperto prenderemo in considerazione, come punti della trian
golazione aerea solamente quelli disposti trasversalmente ad ogni vertice, uno a sinistra ed uno a destra di essi; aventi circa la stessa ascissa nel sistema di assi della catena; i punti laterali del vertice O, (4 = 1,2...., x) vengono ri spettivamente indicati con P,, P,,; le immagini di tali punti sul fotogramma £ saranno indicate rispettivamente con PÌ PÈ, ; evidentemente nel fotogramma 0, 9, 9, 0 0; ds On. Oa NINAN NINIKXN_ NI Bs Pas A, 0 Pacis Ps Paes Pinons L Pio ‘Prg Pio O Pad Ps Rresa a Pincid 9, FIG. 4. k non potrà aversi che 4 = &-1, &, R+ 1. Siano P.,,, Pg, P,;i punti noti di partenza della aerotriangolazione.
Supponiamo di dover orientare il fotogramma ? + 1 su quello #, già orientato nello stereogramma (? — I, ?); si possono considerare noti il vertice O, e ipunti P;,, P,,; cl proponiamo di giungere a determinare in primo luogo il » Î ” 3 . i 4 1 1 1 vertice 0; 7; dopodiché potremo determinare i punti Pi; 4.ys € Pi+nd 0; (Xow Vor Zar} Oi, (Koneni "otte Zon sy) FP. fx; is Zis) Prelato Z1015) FalXig Ng Zig] \ 4 - Pirvuo ( x, «1)d Varta: Zi +14) ° FIG. 5.
Nella trattazione che segue verranno utilizzate per i singoli punti le rispettive coordinate X, Y, Z, fornite dei corrispondenti indici.
Immaginiamo il problema risolto, (fig. 5), ossia che il tetraedro da orien tare abbia già assunto il suo vero assetto, nello spazio, che porta i raggi 0; P.,
e 0;, ; P;, a passare rispettivamente per i punti noti P,, e Pe i raggi 0;,: Pis+nys © Oj4+ 1 Ph+ ya ad appoggiarsi rispettivamente a quelli noti O; Px 4 1). e O;Pi+rna. Di questi due raggi siano i | Ui4 as > Witos o i+ 1)s ed analoghi cambiando s in d ì coseni direttori rispettivi. Essi sono noti.
Degli spigoli O; 4 1Pis > O; 41 Pia > O;x1Pi+ 1)S ? O; + Patania del tetraedro da orientare, siano rispettivamente
NT E { ed analoghi cambiando s in d 1 coseni direttori. Essi sono incogniti.
Tali dodici incognite e le tre, costituite dalle coordinate del vertice 0; 4, sono le quindici incognite del problema. Le equazioni che lo risolvono sono: \ Xpis
Xoi+: _ Ypis — Yoi+: a Zpis — Loi+a (1,2) Î Mei" ° vit Î wi ° | ed analoghe cambiando s in d_ (3,4) i che esprimono rispettivamente la condizione di incidenza del raggio 0;,.; P;; nel punto P,, e del raggio 0; ; Pi; nel punto Pi; yi “j “i . ARI = A (5) \Dik't ia 0 per 1 =%, 0, W ‘ Z ii a is = C (7) to ,i+ “i _ I d Ii43)s di * = D (8) Z di ° ia a T E (9) che esprimono je relazioni che legano i coseni direttori degli spigoli del te “traedro da orientare in virtù della conoscenza delle facce laterali e diagonali
di esso; 4, 5, C, D, E, sono precisamente i coseni di dette facce, calcolabili mediante le coordinate note dei punti immagini. i+ i+ 4 iti DT da Pins» Pena messe in relazione con la distanza principale del fotogramma (*) 2)? = I° (10) | ed analoga cambiando s in d (11) per j] = %, 0, W vo git _ | S Go) = 1 (r2) ed analoga cambiando s in d (13) che esprimono la relazione nota fra i coseni direttori di una stessa direzione; ed infine NXoi © Xoitr Yor Yoiti Loi © Zoiti | U + I) 5 Vi + x) s Wi 4 1) s = 0 (14) . i+ i+ i+ U; I) $ ÙU. 47) s WI; Ln s ed analoga cambiando s in d (15) che esprimono la complanarità dei raggi 0; P.4ns © 0;Pi+y4 con quelli O; +:Pixys © 04 Pi+ ya rispettivamente.
Le quindici equazioni impostate, tutte di secondo grado, risolvono il problema dando le coordinate del vertice O; ; e i coseni direttori degli spigoli del tetraedro da orientare, da cui, infine, le coordinate dei punti Pj4ys > P,;+ a » ottenibili semplicemente quali intersezioni di-raggi noti. Noti questi due punti e il vertice 0; ; si può continuare il procedimento orientando il fotogramma 1 + 2 su quello 1 + I, ecc,
Per risolvere il sistema se ne assegna una soluzione approssimata e si procede per resterazione sul sistema di primo grado che fornisce gli errori della (*) L'equazione
Soda lipons = F zon è da considerare perché combinazione lineare delle altre,
soluzione approssimata. Si noti che il metodo non implica passaggi fra angoli e loro funzioni trigometriche, oltre quelli necessari a ricavare i dati di in gresso, A, B, C, D, E.
Possiamo concludere che i punti P;4 ns» Pu+na OSSIA quelli del terreno che ci interessa di determinare per l’aerotriangolazione, sono stati ottenuti in funzione dei punti della catena
Pi > Pia > O; ’ O; it, ? tutti e quattro noti ciascuno attraverso le loro coordinate ricavate dalla aero triangolazione, e dei punti di. dij (A=i,i+1; hA=t,t41) punti immagini dei precedenti, secondo la notazione stabilita precedente mente, tutti e otto noti, ciascuno attraverso le loro due coordinate misurate sui rispettivi fotogrammi. Potremmo scrivere Pi+ns == Î (Piso Pia 0341 di, ) Dia) (@=-1,1+1; A=1,01+4.1) e analoga relazione per P;; 4 Ma abbiamo analogamente dedotto che 0;4, = 8 (Pi Pao 0 > Dis » Dia) (@=1,01+1; h=1,1+4+1), e quindi, eliminando O; ,, , avremo: Pi+y)s TT f (Pi ) Pia ’ O; ) Dis ) Dia) (e@=t,0+1; h=1,041). Ma analogamente 0, , P;, , P, sono funzioni diverse dei punti : Pins v Pina , O;_: , dis ’ Dia (K =1 1,1; h=1—-1, ?) ’ eCC.
Così continuando O, , P,, , P,a risultano funzioni dei punti
P,s > P.a » 0, » Dis >» Pha (£ =2, 3; h=2, 3), e 0,, P,;
P.a funzioni dei punti P.., P.a, 0. PL, dh (&£=1,2; A=1, 2). Ma sappiamo bene che O, = f° (Ps > Pra > Ps ) Dis ) Dia ’ Dia)
in quanto 0, è determinabile secondo il semplice vertice di piramide mediante 1 punti P,, , P,, , P.;, supposti coincidenti con i punti noti di partenza della aerotriangolazione.
Allora risalendo nelle sostituzioni deduciamo che P,, e P,, sono funzioni dei punti
Ps s Pra» Pas » Pis » Pia (A=1, 2; h=1, 2); che P,, € P,4 sono funzioni dei punti k k . i Piso Pia » Pas » Prs » Pia (È =1, 2,3; h= 1,2, 3); ecc. ed infine | | ; , kA=1,2.... 0+ I
Pii4nys = F (Piso Pia» Pas» Dis » Dia) . 0° h=t1,2....,01+1/.
Analoga funzione vale per Pix ya - (*)
Possiamo quindi concludere che, supposto di potere esplicitare le coordi nate dei punti dell’aerotriangolazione, i punti laterali del vertice è +4 1 sono funzioni dei tre punti noti di partenza P,,, P,a, P,, e dei punti immagini Pî,, Dia (e=1,2...t,0+1) (A=1,2...t%,04 1) di tutti i punti P, , P, della aerotriangolazione, quelli noti di partenza e quelli da determinare.
Le coordinate dei punti immagini sono misurate sui fotogrammi della. catena dal primo fino all’ + I compresi. Pertanto, misurate queste la aero triangolazione può procedere o calcolando, per ogni fotogramma ? + I, prima il vertice 0; ; e poi i punti Pi; 4 5: Pi + na, servendosi degli omonomi del fo togramma precedente, e dei soli punti immagini ad essi interessati, oppure, supposta possibile la detta esplicitazione, calcolando ogni punto P, indipen dentemente dagli altri omonimi, e senza fare ricorso al calcolo dei vertici O, solo utilizzando le coordinate dei punti noti di partenza e quelle dei punti immagini misurate lungo la catena fino a quelli da determinare. (*) Si tenga presente la limitazione di % rispettivamente a £, già notata, nel senso che 4% può valere solamente & — 1, k, kR +1.