Allegato M
SUL PIANO DI GAUSS-BOAGA, CON LA SOLA INTERSEZIONE DIRETTA, ATTRAVERSO IL PRO- BLEMA COMPOSTO DI SNELLIUS RISOLTO SENZA DETERMINARE IL RAPPORTO DEI SEMI DEGLI ANGOLI X Y. Comunicazione del I° Topografo FrancEScO ALBANI dell’I.G.M. PREMESSA.
Con l’adozione della proiezione conforme di Gauss-Goaga attraverso la quale, come è noto, tutti i problemi, sia topografici che geodetici, si risolvono usufruendo esclusiva mente della trigonometria piana, sono stati ripresi in esame anche i problemi dell’in tersezione inversa ed in particolar modo il problema semplice di Snellius.
Per la risoluzione di tale problema è stato ripreso in esame anche l’impiego della macchina calcolatrice e più precisamente è stato eseguito il confronto fra l'impiego della macchina doppia e quella semplice. |
Lo scrivente si è pure dedicato a tali ricerche ed al riguardo ricorda che nel numero 6-7 del 1955 de « Il Geometra Italiano » egli ha illustrato, anche con esempi nu merici, la semplificazione del calcolo di un punto determinato per intersezione inversa (problema semplice di Snellius), usufruendo delle coordinate dei punti particolari m ed x
Tali punti particolari permettono infatti di ottenere il quadrante relativo all’azimut gaussiano (PB) attraverso il segno del AE e AN relativi alle loro coordinate, e non è necessario, quindi, usufruire di un grafico sul quale risulti la posizione dei punti noti ri spetto al punto di stazione. È noto,, infatti, che attraverso l’algoritmo del Galkiewicz (1936) è necessario invece usufruire del grafico suddetto per poter stabilire il quadrante relativo all’azimut gaus siano (AP), in quanto il valore della tangente di tale azimut risulta noto solamente at traverso un rapporto, positivo o negativo.
Lo scrivente ha inoltre illustrato quali sono le posizioni che può assumere il punto P di stazione rispetto ai punti noti (trigonometrici) A, B, C perché i risultati siano e esclusivamente funzione dell’approssimazione insita negli angoli misurati in P in quanto, come è noto, il problema semplice di Snellius può dar luogo a risultati non conformi all’approssimazione insita negli angoli misurati qualora la posizione di P, rispetto ad A, B, C, si allontani dai casi di optimum. È questa un’altra delle ragioni fondamentali che ha notevolmente influito nell’esclu dere tale problema dai lavori di triangolazione di dettaglio.
Infine ha dimostrato l’ulteriore semplificazione che si raggiunge usufruendo anche del metodo grafico-numerico.
Nel numero 4 (1956), sempre de «Il Geometra Italiano », lo scrivente ha dimo strato come sul piano di Gauss-Boaga si possa anche applicare, con tutto rigore, il metodo dell’intersezione laterale nella determinazione dei punti trigonometrici di dettaglio con un risparmio notevole di lavoro in campagna.
In Italia il metodo numerico per la determinazione dei PP.AA. (punti di appoggio), nei rilevamenti fotogrammetrici sostituisce, già da qualche anno, il metodo grafico che usufruisce della tavoletta pretoriana.
Il problema semplice di Snellius è in particolar modo applicato nel metodo nume rico, e, per poter disporre di almeno 4 punti noti in modo da ottenere i relativi con trolli, vengono determinati dei punti principali per raffittire la rete trigonometrica.
Si fa notare, al riguardo, che qualora si disponga di soli 3 punti noti, per cui non è possibile ottenere il controllo se eventualmente siano trascritti errati alcuni elementi introdotti in calcolo, è necessario eseguire due stazioni reciprocamente col legate ed applicare perciò il metodo dell’intersezione laterale.
Ccn tutto ciò la determinazione dei PP.AA. situati in fondo valle, od in terreni ricchi di vegetazione, non è sempre ottenibile anche integrando l'intersezione laterale con la battuta di stadia. ”
In tali casi è necessario determinare ancora altri punti principali.
In altri termini il vincolo della posizione dei punti noti rispetto a quello di stazione per poter risolvere il problema semplice di Snellius nelle migliori condizioni, e la necessità di dover usufruire anche di un quarto punto noto, porta di conseguenza che non sempre è pos sibile che la stazione così determinata venga a trovarsi vicina al P.A. in precedenza pre scelto.
Lo scrivente ha preso allora in esame la possibilità pratica di poter usufruire del problema di Hansen, avendo a disposizione due treppiedi.
La pratica attuazione, però, ha dimostrato la necessità che i due treppiedi siano di sposti, rispetto ai punti noti A e B, come appare nelle figure 1 e 2 e soprattutto che la a wr —D # o > XL Y . tà i. _' FIG. I. i Fic. 2. distanza PQ non risulti inferiore ai 350 metri, tenendo presente inoltre che anche per il problema di Hansen è necessario poter disporre di un punto noto in più per il rela tivo controllo di calcolo e di trascrizione. Come è noto la soluzione analitica del problema di Hansen (e di Snellius) è otte sin nuta attraverso il rapporto SII il cui valore è fornito dal rapporto dei seni degli sin 4 angoli misurati in campagna in P ed in Q, per cui, allontanandosi dai casi su mostrati, o diminuendo la distanza PO, si possono ottenere risultati non attendibili.
Pertanto anche il problema di Hansen non può essere applicato in tutti i casi e cioè viene a mancare essenzialmente nei casi di maggior utilità ossia qualora i PP.AA. siano situati in fondo valle, od in terreni ricchi di vegetazione.
SOLUZIONE DEL PROBLEMA IN OGGETTO,
Nel numero 1 del Bollettino della S.I.F.E.T. del 1951 lo scrivente ha dimostrato come si possa risolvere, con l’impiego della tavoletta pretoriana, il problema compo sto di Snellius o « problema della doppia intersezione inversa », la cui soluzione anali sin tica è ottenuta a tutt’oggi attraverso il rapporto SII l sin x
La soluzione analitica del procedimento grafico dimostrato nel 1951 è l’oggetto della. presente comunicante.
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Per maggior chiarezza e semplicità di esposizione lo scrivente richiama pertanto la soluzione grafica del problema composto di Snellius.
Per la soluzione del problema in oggetto è necessario associare al punto P di sta zione un secondo punto Q (come per il problema di Hansen) qualora si disponga di 3 punti noti disposti in modo che da P risultino visibili solo A, B e Q e da Q solo 5, Ce P (fig. 3). i
Ammettendo di aver già risolto il problema si traccino le due circonferenze passanti rispettivamente per 4, d, f e db, c, qe cioè peri punti immagini dei punti omologhi A, B, C, P, Q del terreno.
La retta passante per g e $ incontra le due circonferenze nei punti ausiliari y ed s
O 3 PO "3: Xx O x /3 ak Na M__ | NW .° C 3 .° "i I . Lo” [i N O | ". / : n Z I V 127, 2 : N . É / | | o ‘\ R' “N BI \eg x %- 4 TT P__ 1 x / a A Y P Fic. 3.
Usufruendo della tavoletta pretoriana lo scrivente ha dimostrato che dopo aver mes so la tavoletta in stazione in P e collimato a B rotando lo specchio con la linea di fede dell’alidada disposta secondo ab, la successiva collimazione a Q fa disporre la li nea di fede dell’alidada secondo la retta af la quale forma in a, con ab, l’angolo B (analiticamente perciò la vetta at è individuata dall’azimut guassiano noto (AB) 4 B).
La collimazione a Q eseguita invece dopo aver collimato ad A con la linea di fede dell’alidada disposta secondo ba, fa disporre la linea di fede dell’alidada secondo la retta bu la quale forma in ò, con da, l'angolo (a + 8) (analiticamente perciò la retta bu è indi viduata dall’azimut guassiano noto (BA) + (a + 8).
La retta du incontra la retta 47 precisamente nel punto ausiliario 7.
Infatti del triangolo abr è stato costruito l'angolo 8 in 4 e l'angolo 180° — (x + 8) in b, perciò l’angolo in y è precisamente l’angolo f e cioè l'angolo APB misurato in cam pagna.
Analogamente, dopo aver messo la tavoletta pretoriana in stazione in Q, si deter mina il punto ausiliario s in funzione delle rette cv e bz le quali vengono tracciate usu
fruendo degli angoli a’ ed (a’ + 8’), e precisamente « in c, rispetto alla cb, ed (a’ +-£°) in d, rispetto alla bc (analiticamente perciò tali vette sono individuate in funzione degli azimut gaussiani noti (CB) -— «' e (BC) — (e +8).
Le coordinate gaussiane di 7 ed s sono quindi determinate per intersezione diretta rispettivamente da A, 5 in funzione degli azimut gaussiani noti (AB) + B e (BA) + (x + &), e da B, C in funzione degli azimut gaussiani noti (CB) — «' e (BC) — (a’ + B’)
Ottenute le cooldinate gaussiane di 7 ed s risulta noto anche l’azimut gaussiano (PO) = (7s) per quanto su dimostrato.
In funzione degli angoli misurati f, « ed «’, B' risultano noti di conseguenza anche gli azimut gaussiani (PB), (PA) e (05), (OC) e cioè gli elementi necessari e sufficienti per determinare le coordinate gaussiane di P o di Q, o di ambedue, rispettivamente da A, B, C usufruendo esclusivamente del metodo della Db intersezione diretta. È c
Si fa notare che fra i casi di optimum ri- DI chiamati nel n. 6-7 de « Il Geometra Italiano », . \ ci su citato, figura anche quello di seguito ripor- | l tato (fig. 4). OA
In tali condizioni è necessario, però, -che : A:3-4N a sussista la relazione: ] I a=B= ABC = 45° VI i PP
Molto spesso, e non solamente nelle zone ne costiere, i punti noti disponibili si presentano, rispetto al punto di stazione, pressoché dispo- FIG. 4. sti come risportato nella fig. 4, però pratica mente il problema non presenta soluzioni possibili in quanto difficilmente si ve rifica che sia a = f} == ABC = 45°. i
Applicando invece la soluzione analitica su dimostrata tale caso è risolubile otti mamente, anche se non è soddisfatta l’identità su richiamata, e senza sostanziali difte renze rispetto a quanto dimostrato attraverso la fig. 3.
Infatti dall'esame delle figure 5 e 6 si nota che gli angoli «, B od «’, 8' non risultano contigui per cui in tali casi invece di usufruire della loro somma si deve usufruire della loro differenza e precisamente: (Br) = (BA) + (8 —a) (fig. 5) (Bs) = (BC) — (a'—B') (fig. 6) e cioè varianti che si ricordano facilmente sia attraverso l’esame della figura schemati ca sia tenendo presente la soluzione grafica usufruendo della tavoletta pretoriana (i ver tici A e C possono indifferentemente essere contrassegnati con la lettera C ed A).
Si fa notare infine che nella fig. 7 i punti a, è, c, f, g, giacciono su di una circonfe renza e che in tale caso il problema è maggiormente semplificato poiché i punti ausiliari y ed s coincidono rispettivamente con i punti di stazione Q e P. È evidente perciò l’importanza pratica della soluzione analitica su dimostrata che per mette di determinare le coordinate gaussiane dei punti ausiliari v ed s e, successivamente, quelle di Po di Q, 0 di ambedue, usufruendo esclusivamente dell’intersezione divetta intro ducendo in calcolo azimui gaussiani ottenuti direttamente in funzione degli azimui gaus stani noti e degli angoli misurati in P ed in Q, e potendo perciò usufruire anche del caso che a tutt'oggi praticamente non può essere preso în considerazione (fig. 4). È necessario tener presente, infatti, che attraverso la soluzione analitica del problema semplice e composto di Snellius e del problema di Hansen, a tutt'oggi adottata, le coordinate
__ 90 . gaussiane di P, o di Pe Q, sono pure determinate usufruendo dell’intersezione diretta, in troducendo in calcolo, però, azimut gaussiani ottenuti in funzione della cig } = 22 sì (relazione trasformata dal Galkiewica, per il problema semplice di Smellius, nella so (AP -— Ea (ciga — cig 8) | Ep ciga- EccotgeB+- Nec - Ng g (AP) = - Na (ciga- cig B) + Na cig a No cigB+ Eg- Eo e cioè attraverso azimui gaussiani calcolati în funzione dei seni o delle contingenti degli an nr goli misurati in P od inPe Q. X La maggiore o minore approssimazione nei risultati \_— ZZZ / non è, perciò, solamente fun OB BT zione della maggiore o minore \ . approssimazione insita negli b / angoli misurati, ma soprat era a c tutto per il problema semplice sla. , AA di Snellius e per quello di ; 3/48 O /: i Hansen l’approssimazione nei \ '. N o: risultati è esclusivamente fun } cn. . , ME . zione della posizione che i \ e, / 3 | punito P, o PeQ, assumono ° ve . _ d 7 rispetto ai punti noti a dispo \ Vi NES i sizione qualora non si usu \ : x fruisca dei pochi casi di op \ . 4 06 q timum. 7A ep È necessario ricordare, Ao con riferimento alla proie i DL x \T si ON FSE Fia. 5. \ O DI b zione conforme di Gauss-Boaga, / / © 20 s° che gli angoli letti in campagna, —- / x Soi fra punti distanti 10-15 km, si pos- I DI. sono ritenere senz'altro angoli \ Î n l ‘ E ! gaussiani. Nei casi limiti, e cioè d x n 3 7. ! agli estremi di ciascun fuso, si pos- \ vot I , sono ottenere invece, a tali distan- ». N vel SS : _) ze, delle riduzioni angolari massi- \ A UA Sd me di 5 -6 (per ottenere i corri / CX: Va “ spondenti angoli gaussiani osser- > vati) che praticamente non produ- SA TTTTAEK g I cono nessuna influenza nella deter- Y \ P A minazione dei PP. AA. N Nella determinazione dei pun- \ | ti principali, .ed eventualmente anche dei punti ausiliari 7 ed s, Fic. 6.
l'applicazione di tali riduzioni angolari può invece essere necessaria ed al riguardo si fa presente che non occorre eseguire nessun calcolo, per determinare tali riduzioni potendo usufruire di appositi grafici. | CONCLUSIONE. . La soluzione analitica del problema composto di Snellius, su dimostrata, permette: 1° di poter ridurre al minimo il numero degli eventuali punti principali tenendo presente che sulle alture di maggior dominio, ed eventualmente anche sui fabbricati di mole notevole, si possono determinare contemporaneamente due punti principali dato che è possibile risolvere il problema con i punti noti disposti come rap- ‘ presentato nelle figure 5 e 6.
I punti A, C, infatti, si possono Na | ZO 0 introdurre in calcolo anche se sono al Z x molto vicini fra loro dato che le / SÙ ! condizioni necessarie e sufficienti che devono essere soddisfatte in P CX ° Id ed in Q sono che gli angoli « e {° ce e) : abbiano un'ampiezza sufficiente per \ o LL determinare le coordinate di 7, s
Q% \ e. 8 > | (e conseguentemente quelle di P, Q) n, SI per intersezione diretta. SI n / i
Praticamente perciò si ridu- n \ n cono a due (invece di quattro) le “ \ ">. / x Gi visuali da realizzare da PeQe, O. “n 3 quindi, facilmente realizzabili an- SID che in terreni ricchi di vegetazione . È Y- qg o pressoché in fondo valle; $ =P : 2° di poter disporre di due | CÀ punti di stazione P e Q distanti kb \ fra loro secondo le esigenze del terreno in quanto l’angolo d’inter- Fic. 7. sezione per ottenere le coordinate gaussiane di 7 ed s (e conseguentemente quelle di P e Q) è indipendente dalla mag giore o minore distanza fra P e Q che può essere anche solo di 30-40 metri; 3° di poter ottenere il controllo di calcolo e di trascinazione, anche usufruendo di soli tre punti noti, in quanto da P o da Q, o da ambedue, è possibile collimare tutti e tre i punti noti. Perciò la direzione PC o la direzione QA, che non si introducono in calcolo per determinare le coordinate di 7 ed s, divengono direzioni di controllo qua lora siano introdotte nel calcolo delle cooerdinate di P o di Q; 4° di rendere minime le operazioni di calcolo in quanto le coordinate gaussiane di 7, s e di P, Q sono ottenute esclusivamente per intersezione diretta da A, B, C..
E poiché i valori del AN e AE relativi ad A, B e relativi a B, C, hanno già dato luogo al calcolo degli azimut gaussiani noti (AB) e (BC), il calcolo di 7, s e di P, Q è ul teriormente facilitato introducendovi degli elementi già noti e precisamente i suddetti AN e AL.
Al riguardo è anche necessario tener presente che attraverso la semplificazione che si può ottenere nel calcolo dell’intersezione diretta, mostrata nel n. 6-7 de « Il Geometra
Italiano » (1956), si può fare a meno dell’impiego della macchina calcolatrice qualora si usufruisca sia delle tavole dei valori naturali che delle tavole logaritmiche a 7 cifre deci mali, in quanto tale semplificazione riduce il calcolo a due prodotti ed un quoziente; 5° di ottenere il controllo di ogni singolo calcolo in quanto gli azimut gaussiani SP . ee TA b sent)... sg = ° pi ne i e i e o .° Neg et Na 4 $ e C Fic. 8. in Pe Q si possono verificare attraverso somme o differenze di angoli diversi, e le coor dinate dired s vengono controllate molto semplicemente prendendo in considerazione la cotangente degli azimut gaussiani oltre N A | che la tangente; ° MK. i) ZA 6° di eliminare totalmente gli er / SET rorl dovuti alle battute di stadia poiché, I puo. per quanto sopra, è possibile porre con be . Ì ca. maggior facilità un treppiede vicino al n e. \ Ar P. A. anche se tale punto si trova in I i. fondo valle od in zona alberata, e, quindi, \C 0, possibilità di eseguire misure dirette di | e. eccentricità. In secondo luogo poiché di \ ca sponendo di due punti di stazione il , \ = p trasporto delle coordinate avviene attra \ verso due serie di misure lineari ed an | \ golari ben distinte che eliminano anche \ ST qualsiasi errore di calcolo; Ne i 7° di ottenere le coordinate dei | n punti trigonometrici di dettaglio con » e l’approssimazione che ad essi compete, ; 2° tenendo presente che in tali casi i punti | 2° P eQ si identificano con i punti trigo i nometrici da determinare. a È evidente perciò che potendo otte FIG. 9. nere con quattro calcoli d’intersezione diretta addirittura le coordinate comr pensate (come sarà successivamente dimostrato) di due trigonometrici, viene elimi nato praticamente anche qualsiasi soluzione grafico-numerica.