LA RAPPRESENTAZIONE CONFORME DI GAUSS-BOAGA

Dot. IxG. ALFREDO PAROLI

Il sistema di rappresentazione Gauss-Boaga nell’ultimo decennio ha avuto in Italia notevoli e vaste applicazioni nel campo della cartografia e del la geodesia.

A tale sistema sono state riferite infatti le le Carte fondamentali dallo Stato (e in particolare le carte topografiche I : 100.000 e I : 25.000 dell’Isti tuto Geografico Militare, le più recenti mappe del Nuovo Catasto, ecc.), e ad esso sono state altresì o vengono trasformate le reti trigonometriche preesi stenti e calcolate le nuove reti.

Riteniamo perciò che una breve nota illustrativa sull'argomento non sia inopportuna, né priva di interesse per i cultori della topografia e della foto grammetria e che possa anzi contribuire a diffondere la conoscenza dei fonda menti geometrici della moderna cartografia ed a rendere evidente la graduale evoluzione rispetto al passato.

Una trattazione matematica del tema che ci siamo proposti potrebbe ri sultare opportuna ma procederemo per altra via, cioè faremo del nostro me glio per conseguire l’intento mediante una esposizione di carattere informa tivo, senza ricorrere, in alcun caso, a formule più o meno astruse in apparenza, anche se concettualmente semplici e di applicazione relativamente facile.

Procureremo altresì di mettere in evidenza i vantaggi che, dal sistema di rappresentazione considerato, sono derivati o potranno ulteriormente de tivare per la cartografia italiana e per la geodesia operativa.

Ci sia lecito premettere alcune brevi considerazioni di carattere generale sulle rappresentazioni cartografiche.

I. — GENERALITÀ.

Come è noto, per formare una Carta geografica o topografica, è necessa | Tio anzitutto scegliere un opportuno sistema di rappresentazione (o di proie zione), cioè stabilire la legge di corrispondenza fra i punti della porzione di superficie terrestre che si vuole rappresentare e i punti del piano di rappresen tazione (piano della Carta).

La detta corrispondenza fra le due superfici deve essere biuzivoca, ossia tale che a ciascun punto di una di esse corrisponda un punto unico e determi nato dell’altra e reciprocamente.

La scelta del sistema di rappresentazione, pur presentando, in senso astratto, un carattere di arbitrarietà, viene limitata e definita in base alle esi genze cui la Carta deve soddisfare, nei riguardi geometrici e in relazione alle © sue finalità. — |

Sulla superficie terrestre (o sull’ellissoide che ad essa si intende sostituito) la posizione dei singoli punti è determinata quando di essi siano note le coor dinate geografiche (latitudine 9 e longitudine 2), mentre nel piano della Carta i corrispondenti punti possono essere individuati mediante le coordinate car tesiane (ascissa x e ordinata y) rispetto ad un sistema di assi ortogonali gia cente nel piano stesso. |

Di conseguenza l’accennata corrispondenza biunivoca, stabilita dal si stema di rappresentazione adottato, si traduce in una corrispondenza — pure biunivoca — fra le coppie di coordinate geografiche 9 e X dei singoli punti del l’ellissoide terrestre e le coppie di coordinate cartesiane x e ‘y dei rispettivi punti immagine sulla Carta. È perciò intuitivo che (a meno di difficoltà di carattere analitico), scelto il sistema di rappresentazione, dalle coordinate geografiche ©, ), di un punto P qualsiasi della superficie terrestre potranno ricavarsi — mediante apposite formule — le coordinate cartesiane x, y del punto P’ che ad esso corrisponde sulla Carta. È pure ovvio che, reciprocamente, avvalendosi di formule in verse, date le x, y del punto P’ della Carta, sarà possibile calcolare le coordi nate geografiche p e X del corrispondente punto P sulla superficie terrestre.

Ogni sistema di rappresentazione dà luogo ad inevitabili deformazioni delle figure rappresentate. In altri termini, non è possibile rappresentare la superficie terrestre nel piano della Carta in modo che la scala delle lunghezze abbia un valore costante in tutti i punti e per tutte le direzioni.

A seconda del sistema prescelto, si può tuttavia ottenere che la scala del le lunghezze sia costante in determinati punti o lungo determinate linee o che varil il meno possibile in prossimità di essi; oppure che sia costante il rapporto fra l’area racchiusa da una figura di dimensioni finite, qualsiasi, tracciata sulla superfic!e terrestre e l’area corrispondente sulla Carta (rappresentazioni equi valenti); ovvero che ad un angolo qualsiasi, misurato sulla superficie terrestre, corrisponda un angolo uguale sulla Carta (rappresentazioni conformi 0 autogonalt).

Lo studio dei vari sistemi di proiezione può essere effettuato riferendosi ai cosiddetti « moduli di deformazione », lineare superficiale e angolare.

Dicesi modulo di deformazione lineare il rapporto fra un elemento lineare della Carta e il corrispondente elemento della superficie terrestre, ossia (più intuitivamente) il rapporto fra la distanza di due punti molto vicini, misurata sulla Carta, e la effettiva distanza dei punti stessi sul terreno.

Modulo di deformazione superficiale è, analogamente, il rapporto fra un’area infinitesimale (ossia un’area di estensione assai limitata) misurata sulla Carta e la corrispondente area misurata sulla superficie terrestre. Si denomina infine modulo di deformazione angolare la differenza fra l'angolo formato da due linee

qualsiasi, tracciate sulla Carta e l’analogo angolo formato dalle corrisponden:i linee, considerate sulla superficie terrestre. i

Riferendoci in modo particolare ai sistemi conformi, osserviamo che in tr si, per la caratteristica proprietà cui abbiamo accennato precedentemente, 1 triangoli infinitesimali della rappresentazione cartografica sono simili ai cor rispondenti triangoli, tracciati sulla superficie terrestre. Cioè, come suol dirsi, è conservata la similitudine delle parti infinitesime : requisito di speciale importan za al fini applicativi e che, per i sistemi conformi, consente e favorisce talune utilizzazioni particolarmente notevoli all'infuori della cartografia vera e pro pria e precisamente nel campo della geodesia.

Per le rappresentazioni conformi, stante l’accennata conservazione degli angoli, risulta ovviamente uguale a zero il modulo di deformazione angolare ; men tre, per accennata conservazione della similitudine, in ogni punto le lunghezze elementari misurate sulla Carta in una direzione qualsiasi risultano proporzio nali alle lunghezze corrispondenti sul terreno, cioè é costante il modulo di defor mazione lineare in una direzione qualunque.

Parimenti risulta costante, nell’intorno di ogni punto, il rapporto fra un'area elementare qualsiasi misurata sulla Carta e l’area corrispondente del terreno. ‘ Inversamente, è conforme qualunque rappresentazione che soddisfi alle predette condizioni riguardo ai tre moduli di deformazione. ‘ Partendo da tali condizioni, con elegante procedimento dovuto al CHAUCHY (procedimento che ci limitiamo a citare), si ottengono le formule fondamentali delle rappresentazioni conformi, ossia le espressioni delle coordinate cartesiane ‘x, y-di un punto qualsiasi della Carta, in funzione delle coordinate geografiche g e X del corrispondente punto della superficie terrestre; nonché le formule (re ciproche) che forniscono © e X in funzione di x e y.

Da tali formule generali, imponendo, caso per caso, altre condizioni cui la rappresentazione deve soddisfare, possono poi ricavarsi formule particolari per i vari sistemi conformi.

Fra essi citiamo, ad es., il ben noto sistema di MERCATORE (risalente al se colo xvi), nel quale le coordinate cartesiane x, y della Carta sono proporzionali rispettivamente alla latitudine (isometrica) ed alla longitudine dei singoli punti.

Tale sistema, mentre presenta requisiti assai utili ed anch'essi ben noti per le Carte ad uso della navigazione, dà luogo a deformazioni lineari assai notevoli e che per le zone di latitudine abbastanza elevata divengono eccessive e quindi non conciliabili per le applicazioni metriche. | II. — IL SISTEMA GAUSSIANO E LE SUE CARATTERISTICHE.

Il grande matematico e fisico C. F. GAUSS, per potere mantenere entro ri stretti limiti le deformazioni lineari della rappresentazione conforme, pose la condizione che, sviluppando nel piano della Carta (secondo una linea retta) un determinato meridiano compreso nella zona da rappresentare (e quindi, pre

feribilmente, il meridiano centrale), tale sviluppo debba avvenire senza alcuna alterazione di lunghezza. |

In tale guisa la distanza fra due punti, giacenti entrambi sul meridiano | considerato, risulta identica, tanto sull’ellissoide terrestre, quanto nel piano della Carta (beninteso, tenuto conto della scala).

Ciò equivale a dire che, alle suaccennate condizioni generali di conformità (modulo angolare wullo, moduli lineare e superficiale costanti) viene aggiunta l’altra condizione: che lungo tutto 1l meridiano centrale il modulo lineare deve essere costante.

Il sistema conforme, così ottenuto, è denominato rappresentazione di | GAUSS (1). n.

In tale rappresentazione, allontanandosi dal meridiano centrale, cioè spo standosi verso est o verso ovest, hanno luogo deformazioni gradualmente crescenti (e simmetriche, cioè uguali per punti situati ad uguale distanza dal meridiano centrale, dall’una o dall’altra parte), ma sempre relativamente lievi.

Le dette deformazioni, per elementi infinitesimi (cioè per brevi lunghezze misurate sulla superficie terrestre) sono proporzionali al quadrato delle distan ze degli elementi stessi dal meridiano centrale. |

In particolare per tutti i punti ubicati alla medesima distanza dal detto I meridiano ha luogo la medesima deformazione.

Per dare una concreta idea circa la entità delle deformazioni lineari sopra accennate, riferiamoci, per es. alla lunghezza di un chilometro, assunta sulla su perficie terrestre, in una direzione qualsiasi, alla latitudine media dell’Italia (cioè alla latitudine di circa 40 gradi):

Se 11 punto medio di tale lunghezza dista di 1oc .kim dal meridiano cen trale, la sua deformazione (allungamento) risulta di m. 0,123 ossia è poco su periore ai 12 centimetri.

In altri termini, nella rappresentazione di Gauss, alla lunghezza di 1000 metri misurata sulla superficie terrestre corrisponderà una lunghezza di me tri 1000,123 sulla Carta. i

Nel prospetto qui appresso riportato, indichiamo le deformazioni che la stessa lunghezza di 1000 metri subisce per diversi valori della sua distanza dal meridiano centrale.

Distanza dal deformazione Distanza dal deformazione meridiano centrale per km meridiano centrale per km km 50 m 0,03 km 500 m 3,08 » 100 » 0,12 __D 1000 » 12 ,3I » 150 » O ,28 » 2000 » 49 323 » < 200 » 0,49 » 3000 » I10,77] (1) È da notare che C. F. Gauss considerò e risolse il problema nel caso più generale, riferendosi cioè alla rappresentazione di una superficie qualsiasi sopra un'altra, pure qualsiasi, con particolare riguardo alla rappresentazione dell’ellissoide sopra la sfera.

Come si vede, la lunghezza di 1 km si allunga di soli 3 cm alla distanza di 50 km dal meridiano centrale; per le distanze di km 100 e km 200, l’allun gamento è rispettivamente di 12 cm e di 49 cm, cresce ulteriormente a m 3 ed a m 12 circa alle distanze di 500 km e di 1000 km; fino a quest’ultima di stanza l’allungamento non supera l’uno per cento circa ed è quindi cartografi camente ammissibile (salvo taluni ripieghi, cui — come accenneremo più oltre — si può fare ricorso per ridurre gli effetti).

AI di là dei 1000 km le deformazioni lineari divengono eccessive.

Può concludersi che, qualora ci si riferisca ad una fascia di notevole lar ghezza (da 500 a 1000 km ad est e ad ovest del meridiano centrale) la rap presentazione gaussiana si presta nel miglior modo per la rappresentazione cartografica, giacché le inevitabili deformazioni lineari — uguali a zero lungo il detto meridiano — si mantengono entro limiti ammissibili per tutta la fascia considerata.

Può qui farsi un’interessante osservazione. È noto che le distanze misurate sul terreno debbono essere ridotte al li vello del mare cioè ridotte alla superficie dello sferoide terrestre di riferimento e che, con tale riduzione, subiscono un’accorciamento.

Infatti, considerando due punti, per es., all’altitudine di 1.800 metri circa la distanza effettiva intercedente fra essi si intende misurata sopra uno sfe roide il cui raggio è maggiore di 1,8 km rispetto allo sferoide terrestre (il cui raggio è prossimo a km 6.400).

Se la distanza dei due punti è di 1 km, essa con la riduzione allo sferoide . o. . 18°. . terrestre sì accorcia in ragione di 6.400 cioè diviene uguale a m 099,72 circa, con un accorciamento quindi di 28 cm. Tale perciò è la distanza fra i punti fornita dalla rappresentazione cartografica.

Se si esamina la tabella sopra riportata si vede che nella proiezione gaus siana a distanza di 150 km dal meridiano centrale si ha un allungamento ap punto di cm 28. Ossia nel caso considerato è evidente che al’allungamento percentuale dovuto al sistema di proiezione è dello stesso ordine di grandezza dell’accorciamento derivante dalla riduzione delle distanze al livello del mare e che l’una e l’altra deformazione sono cartograficamente trascurabili.

Il Gauss non lasciò particolari scritti sulla teoria relativa al sistema di rappresentazione da lui ideato e si limitò a indicarne le formule fondamentali nel Corso di Alta geodesia ed in relazioni epistolari.

Sviluppi sistematici sull'argomento sono stati dati da O. SCHREIBER, € successivamente, ma sempre in un passato ormai lontano, da F. R. HELMERT, da L. KRUGER, (al quale ultimo è dovuta una trattazione completa), dallo JORDAN e dal nostro G. B. MAFFIOTTI.

Tuttavia in quell’epoca il sistema gaussiano non trovò particolare con siderazione rispetto ad altri sistemi, tanto che in vari trattati di geodesia non

era esposto o trovava soltanto limitati accenni, né ebbe estese applicazioni, benché fosse stato adoperato dallo stesso GAUSS per la formazione della mappa catastale dell’HANNOVER e nel calcolo di triangolazioni.

A quest’ultimo proposito deve notarsi che, fino ad epoca assai recente, le triangolazioni sono state calcolate e compensate riferendosi quasi esclusiva mente alle coordinate geografiche dei relativi vertici: cioè applicando formule e sviluppi abbastanza complicati, ma il cui uso era tradizionale.

L'esecuzione dei calcoli in coordinate rettilinee x e y, cioè con riferimento dei vertici agli assi cartesiani di un determinato sistema di rappresentazione cartografica era limitata alle triangolazioni di piccola estensione ovvero a quelle che, pur interessando zone assai vaste, presentavano carattere piutto sto topografico che geodetico; tali ad es. le triangolazioni del Catasto, calco late nella proiezione di CASSINI-SOLDNER in Italia, nella proiezione di LAMBERT in Francia, ecc. i

Soltanto in epoca relativamente recente, nuove necessità sorte nel campo della geodesia e, in particolare, quelle derivanti dai problemi di unificazione delle reti trigonometriche per zone assai. vaste, comprendenti ad es. l’intero territorio di uno Stato o anche il complesso di più territori statali, hanno reso manifesta non soltanto la possibilità, ma anche la concreta utilità di effettuare i calcoli di triangolazione in coordinate rettilinee (anziché in coordinate geo grafiche).

Tale nuova metodologia calcolativa è stata attuata facendo riferimento sopratutto alla rappresentazione gaussiana la quale per la sua conformità e la lieve entità delle deformazioni cui dà luogo, soddisfa meglio degli altri sistemi di proiezione, ai requisiti richiesti.

La prassi di calcolo in coordinate rettilinee è entrata perciò nel corrente impiego. .

Correlativamente, per la convenienza di adottare un unico riferimento sia per le triangolazioni, che per la cartografia che ad esse si appoggia, si è ra pidamente esteso l’impiego della predetta rappresentazione anche per la for mazione delle Carte.

III. —- LA RAPPRESENTAZIONE GAUSS-BoAGA E SUE APPLICAZIONI IN ITALIA.

L’accennata innovazione nel calcolo delle triangolazioni e nella carto grafia e le conseguenti necessità di consentire quelle semplificazioni che pos sano condurre ad una riduzione di lavoro e di spesa, hanno dato luogo a nuovi interessanti studi riguardo alla proiezione gaussiana, fra le quali particolar mente notevoli in Italia le ricerche dovute a G. BoaGaA, in Francia quelle di P. TARDI.

Il Boaca, oltre a dare per la rappresentazione di GAuSss, una completa trattazione, ha stabilito formule particolarmente adatte per il calcolo nume

rico, così da renderlo rapidamente eseguibile sia con i logaritmi, sia con me todo misto, cioè mediante i logaritmi integrati dall’uso della macchina calce latrice.

Per raggiungere lo scopo, ha considerato, fra l’altro, l'entità e la legge di variazione dei termini correttivi che compaiono nelle varie formule ed ha cal colato i valori numerici di tali termini riunendoli in speciali tabelle di agevole impiego (1).

Secondo il nostro proposito, non vogliamo riportare formule, né effettuare una trattazione matematica, Ci sia lecito accennare tuttavia che i principali problemi di calcolo risolvibili con le suaccennate formule riguardano il pas saggio dalle coordinate geografiche ®, X a quelle rettilinee x, y nel sistema di rappresentazione, nonché il passaggio inverso, come pure la risoluzione di al tri problemi connessi alla calcolazione.

Fra questi ultimi è preminente, la risoluzione del triangolo geodetico per mezzo delle coordinate rettilinee ; cioè il calcolo dei lati e degli angoli di un trian golo (tracciato sull’ellissoide terrestre) dei cui vertici siano note le coordinate rettilinee nel sistema GAuss-BoaGA. È qui da notare che la similitudine fra le figure dell’ellissoide e della rap presentazione piana (similitudine conseguente all’ipotesi della conformità) è rigorosamente verificata soltanto per le figure infinitesime, in particolare per 1 triangoli piccolissimi.

In un grande triangolo, invece, gli allungamenti dei tre lati non avven gono secondo una rigorosa legge di proporzionalità, bensì presentano lievi differenze percentuali, variabili con la lunghezza di ciascuno di essi.

Ne consegue che, per i grandi triangoli, gli angoli veri, cioè considerati sull’ellissoide terrestre, non sono identici a quelli forniti dalla rappresenta zione conforme per 1 triangoli rettilateri.

Tuttavia, operando in coordinate rettilinee di GAuss-BoAGA, dalle lun ghezze dei lati e dalle ampiezze degli angoli forniti dalla rappresentazione piana è assai agevole risalire ai corrispondenti valori esatti sull’ellissoide; così che la risoluzione del triangolo geodetico è relativamente semplice. Altrettanto di casi per il calcolo delle lunghezze dei lati del triangolo geodetico.

In relazione al contributo scientifico dato dal BoacaA per il perfeziona mento del sistema gaussiano e per la relativa applicazione alla rete geodetica ed alla cartografia italiana, il detto sistema in Italia è stato ufficialmente de nominato Rappresentazione Gauss-Boaga, secondo deliberazione adottata dalla Commissione Geodetica Italiana, a seguito di referendum fra i suoi Mem bri. |

Alla rappresentazione Gauss-BoaAcA sono state riferite, come abbiamo accennato inizialmente, o sono in corso di trasformazione, l’intera cartografia italiana, nonché la rete trigonometrica generale dello Stato. (1) Vedasi la bibliografia, alla fine della presente nota.

Ai fini dell’accennata trasformazione sarebbe stato opportuno riferire l’intero territorio nazionale ad un unico sistema GaAuss-BoAGA, assumendo quindi un unico meridiano centrale.

Tale unicità di riferimento non ha tuttavia potuto essere attuata, giac ché, avendo l’Italia notevole estensione anche nel senso della longitudine, per i punti più lontani dal meridiano centrale si sarebbero manifestate defor mazioni troppo sensibili, specialmente ai fini dei calcoli geodetici. È stato perciò necessario suddividere il territorio statale, inquadrandolo in due /us? contigui (fuso ovest e fuso est) aventi ciascuno l’ampiezza di 6° ed i cui meridiani medi hanno rispettivamente la longitudinae di 9° e di 15° est GREENWICH. Ciascun fuso si estende perciò, ad est e ad ovest del meridiano medio, per 39, corrispondenti a circa 200 km.

I punti ricadenti in ciascun fuso sono riferiti ad un medesimo sistema di Tappresentazione GAuSss-BoAGA, avente come asse delle ascisse il meridiano medio rettificato del fuso stesso.

Le ascisse x dei singoli punti sono misurate dall'equatore e quindi risul tano tutte positive. Le ordinate. y si intendono misurate dal meridiano cen trale del corrispondente fuso e sono state anch’esse rese tutte positive (me diante l'aggiunta di opportuni costanti) per evitare quegli inconvenienti che nel pratico impiego delle Carte potrebbero derivare dall’essere negative le or dinate per i punti ubicati ad ovest del rispettivo meridiano centrale.

Sui singoli fogli delle Carte topografiche, delle mappe catastali, ecc. è im pressa una quadrettatura, a maglie di opportune dimensioni, costituita dal l'intersezione del due sistemi di rette ortogonali, rispettivamente paralleli al l’asse delle ascisse (cioè al meridiano centrale del rispettivo fuso, sviluppato sul piano della Carta) ed all’asse delle ordinate.

Tale quadrettatura permette di stabilire facilmente, per via grafica, le ‘coordinate rettilinee x e y dei vari punti della Carta che possano interessare.

Ricavate graficamente le coordinate di tali punti, può facilmente calco larsi la distanza intercedente fra essi, l'angolo di direzione della relativa con giungente, ecc.

Per ridurre gli inconvenienti che possono conseguire dall’accennata ri partizione del territorio nazionale in due fusi, è stata stabilita fra essi una {a scia di ricoprimento, cioè una zona dell’ampiezza di 30’ per la quale si dispone di una duplice serie di Carte e di coordinate, riferite rispettivamente all’uno e all’altro fuso.

Il massimo allungamento lineare, che ha luogo in prossimità dei limiti est ed ovest di ciascun fuso è di circa 0,8 °%oo, mentre nessuna deformazione ha luogo sull’asse dei singoli fusi, cioè lungo il rispettivo meridiano centrale.

Per diminuire l'entità del massimo allungamento sopra citato si è ricorsi ad un opportuno ripiego, cioè si è applicata all’intera rappresentazione (cioè a tutte le coordinate) una riduzione di scala del 0,4 °/oo.

Di conseguenza, in ciascun fuso l'allungamento massimo in corrispondenza

dei limiti est ed ovest è stato ridotto a circa 0,4 °/oo, mentre lungo il meridiano centrale ha luogo un accorciamento nella predetta misura del 0,4 °/oo

Tale nei suoi elementi caratteristici, teorici e applicativi, la rappresenta zione di GAUSS-BoAgaA.

Mediante essa, oltre che realizzare le citate semplificazioni calcolative, è stato possibile collegare, secondo un unico riferimento, ossia in un unico e continuo complesso di fogli, l’intera cartografia ricadente nell’ambito di un medesimo fuso; risultato anch'esso notevole e che ha ovviato a quell’indipen denza che esisteva fra i vari fogli della Carta generale d’Italia 1 : 100.000 e I : 25.000, originariamente nella proiezione di FLAMMSFED, e riferiti ciascuno al proprio meridiano medio.

Analogo collegamento ed unificazione sono stati o saranno gradualmente conseguiti per le reti trigonometriche di ogni ordine e grado, così da ricondurle ad un unico e ben definito riferimento e da ovviare a quelle disomogeneità che, nel passato, hanno costituito un indubbio ostacolo per la calcolazione e per la realizzazione dei lavori cartografici.

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