In considerazione del notevole interesse che nei vari Trattati di ITo 2 stafia viene generalmente attribuito al problema cosidetto della «catena = triangoli fra due punti noti » (detto anche della inserzione di punti fra due . coordinate note), riteniamo di qualche utilità - soprattutto a scopi cultu Tal — muovere anzitutto alcune osservazioni nei riguardi del procedimento :2- per detto problema espone il Prof. Baggi nel suo noto testo adottato presso 2a xcuola d’Ingegneria di Torino (1), e ciò perché il procedimento, pur prove 2-zdo da una così autorevole fonte, non ci sembra del tutto regolare. | Infine, e sempre allo scopo di contribuire ad una migliore conoscenza del : argomento, risolveremo per altra via lo stesso problema della catena, curando ze. contempo di porre in opportuno risalto la diversità del nostro procedimento rspetto a quelli or &rariamente riporta- |Y «eda: B Q ti negli anzidetti Irat- ATE, Be Tal. Pa ai 2 7 Ecco intanto - te- 7° 27 stualmente - quanto ; Vv 3 Baggi afferma: AA, 7° LT da « Il miglior meto- pr” 27 Pa C è consiste nel costrui- ; 27° LeT re una rete di triangoli È LIT aventi per vertici i 9 IT LATRETA zunti P, 4, B, D, C, va +» e nel misurare tutti ei A d X OL 2 __ z- angoli 21, By Yi; «o = P . Za. a; 43) Bg fai... i: questi triangoli. Sic- i 2ome è nota la distanza PO, ma non è noto il valore di un lato per poter cal :-lare tutti gli altri lati della rete, si dia ad uno di essi, per es.: PD, un va ‘re arbitrario (per es.: l’unità) e fatta la compensazione angolare di ciascun sriangolo, cioè ripartendo l’errore di chiusura di ciascun triangolo in parti (1) Ing. VitToRrIO BaGGI, « Topografia », U.T.E.T., Anno 1937.
26 i uguali per ciascuno dei tre angoli, si calcolino i lati di tutti i triangoli. Indi si calcolino, per mezzo di triangoli di cui sono noti due lati e l'angolo com preso, le distanze PB, ..... e PQ e siasi ottenuto PQ = |. se con Z indichiamo la distanza nota dei punti P e Q, il valore vero del lato PD sarà = 2. Tutti gli altri lati si otterranno moltiplicando i valori ot i | di. L | ] tenuti nel calcolo provvisorio per il rapporto —, ovvero aggiungendo ai loro logaritmi la quantità log L - log.
Per il calcolo delle coordinate bisogna distinguere due casi: a) I punti Pe Q sono vistbili tra loro. In questo caso si potrà misurare l'angolo APQ = 0, il quale sottratto dall’angolo (PQ) che la retta PQ fa con | l’asse delle y dà l’angolo che la PA fa con l’asse delle y. Si potrà calcolare an che (PD), che sarà = (PA) + ay. b) / punti Pe O non sono visibili. Converrà assumere come asse delle x il lato PD del primo triangolo, e come asse delle y la perpendicolare ad esso nella origine P; si calcoleranno rispetto a questi assi le coordinate dei vertici A, B,C,.....0. Calcolate le coordinate di Q rispetto a questo nuovo sistema di assi si calcolerà l'angolo che la PQ fa con PD, e quindi l’angolo 6 che la PQ fa con PA;siè così ridotti al caso precedente ».
Il Baggi dunque — ai fini del calcolo delle coordinate — afferma la ne cessità di distinguere se i punti P e Q siano — o no — visibili fra loro.
Ebbene - a nostro avviso — una tale distinzione di casi non ha ragione di aver luogo.
Vediamone il perché.
Le misure degli angoli dei vari triangoli APD, ADB .....B0QC, vengono, com'è noto, sottoposte alla cosidetta compensazione col noto criterio secondo il quale l’errore di chiusura di ogni triangolo viene ripartito in parti uguali nei suoi tre angoli.
Ne nascerà così una ben determinata figura geometrica in cui la posizione della congiungente i punti estremi P e ( rispetto ad un qualsiasi lato della figura stessa (e quindi rispetto anche al lato PA) dipenderà in definitiva, oltre ché da tutte le osservazioni angolari eseguite, anche dal criterio con cui si procede alla compensazione degli inevitabili errori di ogni triangolo.
Sul terreno — invece — la posizione-della PQ rispetto a PA dipende sol tanto dalle « vere » posizioni dei vertici P, Q e A; cioè, in concreto, da tre punti stabilmente fissati sul terreno stesso.
Pertanto, ove si proceda - come fa il Baggi nel «caso a » — alla diretta misura dell'angolo 0 si otterrà un valore che in generale non potrà uguagliare quello del corrispondente angolo contenuto nella figura determinata dagli angoli compensati, e ciò perché tale diretta misura comporta osservazioni
angolari su direzioni formate dalle anzidette «vere» posizioni dei ver tici A, P, Q.
L’angolo 0, dunque, non può che essere « dedotto » -- mediante opportuni procedimenti di calcolo trigonometrico — dall'insieme degli angoli compen sati formanti la figura geometrica dalla quale esso nasce unendo i punti estre mi Pel.
Da tutto ciò discende che il problema della catena di triangoli deve essere risolto indipendentemente dalla esistenza -- o meno - della visibilità fra i punti PeQ0.
In effetti, ciò che il Baggi consiglia di fare nel « caso b » deve essere appli cato anche nel caso in cui i punti P e Q siano visibili fra loro.
A questo proposito giunge però opportuna una ulteriore osservazione. . Se si considerano i valori provvisori dei lati PA, AB e BQ che il Baggi ottiene in precedenza dal calcolo della intera rete dei triangoli (assegnando un valore arbitrario — ad esempio: l’unità — al lato PD), e con tali valori si de terminano le coordinate X, Yo del punto Q nello stesso sistema di assi consi derato nel predetto « caso b », si potrà evidentemente scrivere: tang QPD = D2; i do te. Xo cos QPD sen QOPD . L x i.
Il valore / (e conseguentemente il rapporto 7) può dunque ottenersi in modo molto semplice e rapido, una volta calcolato l'angolo che la PO fa con PD, ovviando così alla risoluzione alquanto laboriosa dei triangoli PAB e PBO; risoluzione della quale si serve appunto il Baggi per la determinazione del detto valore / onde calcolare il rapporto s occorrente per passare dai valori provvisori dei lati PA, AB..... ai corrispondenti valori definitivi.
Altro procedimento atto a risolvere lo stesso interessante problema con siste nel dedurre il valore definitivo del lato BQ direttamente dalla distanza nota PQ mediante gli angoli BPO e BOP determinabili col metodo da noi esposto nel n. 3, anno 1958 di questo Bollettino, e nel risolvere poi tutti 1 trian goli della catena avvalendosi dello stesso lato BQ nonché di tutti gli angoli mi surati e compensati.
Vediamo come occorre procedere: |
Si misurano tutti gli angoli dei vari triangoli della catena e si provvede - nei consueti modi alla loro compensazione.
Si considera poi il primo quadrilatero PABD; se ne uniscono i vertici