Dr. Inc. ENRICO VITELLI È noto che la migliore condizione per la determinazione della posizione di un punto con il metodo della intersezione 1n avanti richiede che gli angoli alla base siano di 35° 15’ 30‘ (1). È tuttavia interessante osservare che la con dizione di cui trattasi non è quella che corrisponde a tutte le finalità topografi che che possono richiedersi alla determinazione di un punto: è fuor di dubbio che interessando la posizione assoluta le condizioni migliori siano proprio quelle citate, ma qualora dovesse interessare il calcolo dell’area di un trian golo conoscendo le posizioni planimetriche di due dei suoi vertici ed avendo effettuato le osservazioni angolari nei detti punti, si dimostra che la condizione migliore, in tal caso, è quella del triangolo rettangolo per cui gli angoli alla base siano di 45° (2). P | B A = FIG. I. i Ci domandiamo, ora, quali siano le migliori condizioni per la determina zione di una distanza compresa fra uno dei due punti assegnati ed un punto sconosciuto, operando con il metodo della «intersezione in avanti ». Lo schema del problema è quello rappresentato in figura 1, nella quale 4 è Il lato da determinare, A e Bi punti di coordinate note ed « e B 1 due angoli misurati con un teodolite. (1) Cfr. CicconETTI: Trattato di Geodesia e Topografia, Vol. II, pag. 874. Ì (2) Cfr. E. VITELLI: Analisi e critica di alcune formule per il calcolo delle aree dei trian goli, « Rivista Catasto », n. 5-6, 1952.
Dall’applicazione del teorema dei seni si ricava che i c sen a az ——__-: sen (x + 6)
Considerando la c come priva di errore e la @ funzione non lineare delle quantità osservate « e {, l’espressione dell’errore medio che compete ad 4 è data, come è noto, dalla: 1) 4 9a mi 9a ° n mM, = —_-- — ° val * \ap P ove con My e mp si sono indicati gli errori medi che rispettivamente affliggono gli angoli « e $, ed espressi in radianti.
Con facili operazioni risultano | da a sen B _ 94 a cos (a + 8) da = sena- senla +8) dB sen (x + L) Poiché 1 due angoli « e 8 potranno considerarsi come misurati con lo stes so ordine di precisione, porremo w x = # pg = #m e pertanto la (1) diviene + a Mm / , ; , mj=+ — _——__———_—__ . a ron | B + sen a * COS (a + B). L'errore medio relativo si otterrà dividendo m, per la distanza a: (2) Ma 4 Mm ; , , ba = 3 sen (a + 6) sen a sen? f + sen? a » cos? (a + 6).
Analizzando la (2) si rileva che l’errore ua si annullerebbe nel caso che risultasse (a + B) = 90° e B=09, ossia a = 90° e 8 = 00 il che, evidente mente, corrisponderebbe al caso limite della coincidenza del lato AB con il lato PB.
Ciò vuol dire, in ogni modo, che saranno da preferirsi quelle determina zioni del lato PB ottenute con la condizione che a + f sia il più vicino possi bile a 90° ed « il più prossimo possibile ch’esso a 909. Dette condizioni potranno
Ì 31 assere realizzate abbastanza bene quando il punto di appoggio A venga scelto molto prossimo al punto da determinare P e sensibilmente sulla normale per P alla congiungente P5.
B p A FIG. 2.
A conferma di quanto sopra esposto si è proceduto alla seguente appli cazione numerica: |
Di 4 punti A, B, P, C, (vedi fig. 2) sono state assegnate le coordinate: | X, = 5.000 m. Xg = 10,000 m. | X p = 9974,83 X c = 9074,84 m, ( ‘ | Y,= 6.000 m. | Yg= 13.000 m. | Yp= 7732,27 | Yo = 7736,59 m. in modo che rispondano alle seguenti condizioni: Do
I) nel triangolo PAB gli angoli « e f risultano entrambi di 350 15/ 50”, che corrisponde al caso più favorevole per la determinazione di P col metodo della intersezione in avanti; 2) Il punto C è situato molto prossimo a P e sensibilmente ubicato sulla normale alla direzione PB, come dalle osservazioni fatte.
Considerato, quindi, il punto P di posizione ignota, se ne sono calcolate le coordinate, nonché la distanza PB, sia appoggiandolo alla base 45, sia alla base Cb, aumentando, in entrambi i casi, gli angoli alla base di un ipotetico errore di 4,4. — Nella tabella sono stati riportati 1 risultati ottenuti dai calcoli e — allo scopo di effettuare un utile raffronto — sono stati calcolati, sia per la distanza PB che per la posizione del punto P, gli errori medi relativi.
Tali errori medi sono stati calcolati nel seguente modo: a) per la distanza PB uzs = = ove con Azz viene indicata la differenza fra il valore esatto . PB della distanza e quello calcolato con riferimento alla base AB e alla base CB. b) per la posizione di P
VA + Ay? o __ up= —===—___ __ se riferito alla base CB;
C B y Ax? + Ay° o. — pp= ——==——— se riferito alla base AB. AB Base n o ° || Ur | bp m m m CB — 0,018 —- O,II —- 0,II 34.10—7 209.10 —-$ AB — 0,081 + 0,02 + 0,08 154.10 —-7 95.10—? I risultati ottenuti, che sono riassunti nella tabella soprariportata, dimo strano, sia pure nella modestia delle differenze, effettivamente:
I) che un errore commesso sugli angoli alla base fa sentire la sua in fluenza nel calcolo delle coordinate in misura più modesta se detti angoli sono prossimi al valore citato di 35° 15’ 50°. 2) che il medesimo errore, ai fini del calcolo della distanza PB, fa sen tire meno la sua influenza se il triangolo è conformato in modo di avere in B un angolo assai piccolo e in C un angolo prossimo a 90°.
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