“= MMARIO — Vengono esaminati e raffrontati alcuni procedimenti applicati per la com pensazione lineare delle poligonali, con particolare riguardo al sistema in uso nel
Catasto italiano.
Nella compensazione delle poligonali d'appoggio ai rilievi topografici non trovano applicazione (salvo casi del tutto eccezionali) i metodi rigorosi, basati sulla teoria dei minimi quadrati e che forniscono simultaneamente i valori più ‘onvenienti delle correzioni da apportare agli angoli e lati misurati. L'impiego i tali metodi, non necessario in relazione agli scopi della poligonazione ed al zrado di precisione richiesto da essa, comporterebbe infatti un onere molto no tevole, specialmente quando l’operatore debba calcolare un grande numero di poligonali, come avviene nei rilevamenti estesi, ad es. in quelli catastali.
Per maggiore celerità si preferisce perciò ricorrere a procedimenti semirigo rosi o empirici (giustificati per lo più mediante considerazioni di carattere geo metrico) nella cui applicazione, considerando che la misura degli angoli è indi pendentemente da quella dei lati, si ritiene lecito scindere la compensazione in due successive fasi, compensando cioè separatamente dapprima l'errore di chiusura angolare è, indi l'errore di chiusura lineare Ò/.
Nella presente nota riteniamo non inopportuno esaminare brevemente al cuni di tali procedimenti nei riguardi concettuali e nel pratico impiego, effet tuando altresì un raffronto comparativo fra essi, con particolare riferimento al sistema di compensazione lineare, adottato nelle poligonazioni del Catasto i italiano. I. — COMPENSAZIONE ANGOLARE. Facciamo riferimento alla poligonale generica di x vertici (compresi gli estremi), collegante due vertici assegnati P, e P,,, di coordinate note (%, y1) e (x, v,) attraverso i vertici intermedi P,, P3..., P,__.;. E chiamiamo (fig. I): L, = P, P., lL, = P,P,, k,_,= P,_,P, 1 successivi lati; a, = AP, P, l’angolo di apertura (misurato fra il primo lato Z, e la di rezione di orientamento P, A ad un punto noto A, esterno alla poligonale);
v.,,= P,_P,B l'angolo di chiusura (misurato fra l’ultimo lato /,_. e la direzione P,, B ad un punto noto B, pure esterno alla poligonale); A A A . . . co = P, P, Pg; ag = Po Pa Pai. an. P._.P,_P,glangoli mi surati fra 1 successivi lati; Ho, Vai May Vai «0 Xi Va_x le Coordinate non compensate dei vertici intermedi, %> Ya; X3 Va ecc. le corrispondenti coordinate compensate. Intendiamo che la poligonale sia stata determinata secondo la prassi der Catasto (!), cioè misurando tutti i lati e tutti gli angoli sopra indicati, e che siano 3 4 | | \ t r ! \ 1 \ f \ a I \ N-p? A3 i (pì Sq La Xn-1, “7 SI e no 3 3 n-1 P, DB o La P, Po_: n P,
FIG. I. assegnati i valori degli angoli di direzione 0, = (P, A) della visuale d’orienta mento e 0, = (P, B) della visuale di chiusura (?).
L’angolo di direzione (non compensato) del lato /, generico è percio espresso da: i i [I] 0; — d,_, - A; + 1800 _- 0, + x Ki + (1 — I) 1809. I Nei procedimenti semirigorosi o empirici che stiamo considerando, la com pensazione angolare viene costantemente effettuata secondo la ben nota prassi. ossia applicando a ciascuno degli x angoli misurati la correzione —- --, pari n al quoziente, cambiato di segno, fra l’errore $ di chiusura angolare e il nu mero dei vertici. o (4) Vedasi la recente « Istruzione sulla poligonazione », pubblicata dalla Direzione Generale del Catasto (Istituto Poligrafico dello Stato, Roma 1953). (*) Trattasi perciò del tipo di poligonale che i francesi denominano cheminemen: enquadré ei doublement orienté (au depart et à l’arrivée).
I valori compensati degli angoli «, e degli angoli di direzione 6, sono “erciò, rispettivamente: | ò n - , , ) i . . Ò n ; n
Pure costantemente, nei procedimenti considerati, con gli angoli di dire zione così compensati ed i valori misurati dei rispettivi lati /; si calcola linear mente la poligonale i cui errori di chiusura 3 x, è y secondo i due assi risultano zutoriamente ! UH —- I \ da =: (x, 7-4): L AX; . I ° 4] #— I |sy=,—y)-- £ EV; . I dove 5] XAX,=;cos0;; AY,=/,senl,-
La compensazione lineare della poligonale può essere eseguita con uno dei sistemi che qui appresso indichiamo, mediante 1 quali le correzioni vengono apportate alle proiezioni A X, e AY, dei singoli lati sugli assi coordinati.
II. — COMPENSAZIONE LINEARE MEDIANTE RIPARTIZIONE PROPORZIONALE.
Trattasi del procedimento di compensazione più noto, nel quale si consi derano reciprocamente indipendenti gli errori è x, $y, cioè le componenti dell’er rore di chiusura $/ (considerazione che, per altro, non è immune da arbitra rietà).
Per effettuare la compensazione, si determinano i rapporti i dx Ò Y [6] dba na da x A X; : N° i À Y, | I . I : | fra le componenti dell’errore lineare di chiusura e le somme dei valori assoluti delle A X,, AY, rispettivamente; indi alle singole A X,, AY, sl applicano le correzioni — d,«AX,,- - p,°AY, ottenendo i valori corretti 1 \ NK TAX Pri Ag; [7 > 7 v IAY/=AY; 9A Y,
Le coordinate compensate dei successivi vertici si ricavano perciò da quelli — pure compensate — del vertice precedente con le note formule ricorrenti: > >, + , [8] \ AiZXiLi FAX, 13 ir FAX; PrAX_, { > 3 9 3 4 | VV FAV 13 Ya FAY; PAY; (1 = 2, 3, ..... 1)
Come controllo, le coordinate x',,, y°,, ottenute mediante le [8] per il verticem P,, di chiusura debbono risultare uguali ai valori x,, y, dati.
Le correzioni complessive dx, = x°;--- x;, dy, = y;— y; che, col procedi- i mento sopra accennato, risultano applicate alle coordinate x;, y; del verticei generico per ricavarne quelle compensate, hanno perciò i valori i | i!
AS | AS [o] da PE Ia dvi = PE Ye -Vea |» 2, 2°. cioè sono proporzionali alle somme dei valori assoluti delle proiezioni (sugli assi % € y rispettivamente) dei lati compresi fra il vertice iniziale P, e quello P.4 considerato.
III. — COMPENSAZIONE LINEARE MEDIANTE RIPARTIZIONE PARALLELA.
Più razionale del precedente è l’altro procedimento meno noto e che indi chiamo qui appresso. Calcolando linearmente la poligonale, con gli angoli di direzione compensati secondo la [3] ed i lati misurati, per il vertice generico P, sì ottengono le coordinate provvisorie: i-1 iI [10] x,=% + Z, AX,, V=V + Z, AY, I ” I e per il vertice di chiusura n_-I #_— I . Na ) o __ / [11] Xn = % + D, AX,, Va=%V1 + 2, AY,. I I
I valori [II] rispetto alle coordinate assegnate x,, y, del vertice P,, presen tano evidentemente scarti uguali alle componenti dell’errore di chiusura li neare, cioè [x2] i dx = Xn — ao dx = Va —Y.
Alle coordinate x}, y7 corrisponde perciò sul terreno un punto P°, pros simo a P,, ma non coincidente con esso. La distanza tra tali punti P,, P° = dI rappresenta ovviamente l'errore lineare di chiusura (segmento orientato).
Per effetto degli scarti [12] l’asse della poligonale, ossia la retta P, P,, con ..ngente i vertici estremi, subisce pertanto una rotazione e ed una variazione - lunghezza A = P, Pi — PP,
La rotazione e la variazione di lunghezza suddette possono essere eli z:inate ruotando di — « l’asse della poligonale ed applicando inoltre alla lun -nezza P, P} un allungamento o accorciamento percentuale s (ossia una varra . me di scala 1 + s) in modo che si abbia 23] P,P,(1+s)=PP,.
Se ci riferiamo alla poligonale (anziché al suo asse), potremo pervenire 2) medesimo risultato ruotando di — e i singoli lati ed applicando a ciascuno
Pg . ll 9 P, P ER LL O _ Pros | ! p Corte SITI Sl 2 Te LL RL po NT ---LeM Don $® Phi P_ SÀ Q FIG. 2. di essi la detta variazione di scala (1 + s); nel qual modo è x, è y (e quindi l’er rore di chiusura lineare $/) verranno ripartiti fra tutti i successivi vertici.
L’accennato procedimento consiste perciò in una ripartizione parallela del errore Sl (1).
Indichiamo con òà = P,,0 (vedasi fig. 2) la componente dell’errore di chiu sura $/ secondo l’asse della poligonale (errore longitudinale di chiusura), con 3- = Q P° la componente nella direzione perpendicolare all’asse (errore tra sversale).
Poiché la differenza di lunghezza fra P, P° e P, P, è molto piccola, po sto in approssimazione D = P, Pî = « P, Pî si avranno per dA e èr le espres sioni [14] SA =D-s, St=Dee. (1) Come è noto, il punto P ubicato sopra una retta 7 passante per un altro punto A fisso, per lieve errore è d’orientamento di tale retta subisce uno spostamento trasversale è. AP (misurato perpendicolarmente ad AP), il quale nel calcolo dell’errore medio di P può essere considerato come derivante da uno spostamento parallelo di 7 (Cfr. JORDAN W., Handbuch der Vermessungskunde.
Vedasi anche E. DAUBRESSE, Topographie des grands levés et plans géneraua, Bru xelles, Imprimérie Denis, 1941.
38 | mentre è evidentemente
Analiticamente, se © è l'angolo di direzione dell’asse della poligonale nella posizione P, Pi, le componenti di D secondo gli assi coordinati saranno x — =D cos®; y°— y;= D sen®. Portando a coincidere Pi con P, mediante la rotazione «e la variazione di scala sopra accennata, si avrà \ %,--%,= D(1+ s) cos (0 + 2) [16] . ly, -y=D(1+s)sen(0+%)
Per determinare i valori incogniti sed e, osserviamo che se nelle [16] si sv luppano in serie il seno e il coseno limitatamente ai termini del prim'ordine e sì eseguono i prodotti trascurando i termini d’ordine superiore, si ottiene [17] | Xn 2% = (4) + i Ve + (A — 1) S
I ( Iron = My Me +0), ovvero, nello stesso grado d’approssimazione, sostituendo x,, y, ad x, y° ne termini a fattore e ed s e tenendo conto delle [12], I 8] | dx = — (V, a Va) ET (%, — 41) S 1 i dy = (4, -— Xx) e — (Y, — Va) S .
Per determinare le incognite e ed s basta perciò risolvere il sistema di equa zioni lineari [18], nei cui secondi membri sono note le differenze fra parentesi Si ottengono i valori cercati | ce — dy (%,, a x) -- dx (Y, se Va) . \ (%, °° xy)? + (V, a Va)? [19] se — dx (%, —- %a) — dy O, — Vi) , (%,, ua %)? + (A a Va)? | 1 cui denominatori sono uguali a D?,
Calcolati s e s, le correzioni da applicare alle coordinate x;, y; del ver tice generico si ottengono con le 20] | daj=— (vi Ye — (4 — x) s 20 Idyj= (xa)e--(viv)s
Il procedimento suindicato è praticamente assai semplice, riducendosi all'applicazione delle [19] e delle [20].
Infatti mediante le [19] si calcolano e ed s, indi con le [20] si ottengono le correzioni dx;, dv; da applicare ai singoli vertici P,. Tale calcolo è tuttavia alquan ‘o più lungo di quello occorrente per il procedimento precedente.
Aggiungiamo qualche altra osservazione, che ci occorrerà fra breve.
L’angolo w formato dall’errore 3/ con l’asse della poligonale, tenuto conto delle [14], si calcola con la dò 7 € 21 È = =--) 2) 50 dÀ S e l'angolo di direzione @ di $/ è perciò [22] o=0 — @. |
Quadrando e sommando le [20], lo spostamento che mediante l’applica zione di esse viene attribuito al vertice P, risulta [23] di? =D? (8 +22), se con D, si indica la distanza D, = V(x, — x)? + (Yi — Y)? fra il vertice P, e quello iniziale P, .
Dividendo membro a membro la [23] e la [15] si ottiene [24] di, = $l Di 2 l,= o 4 D
La tangente dell'angolo di direzione ©, di di, è espressa dal rapporto dei valori [20], cioè $ _ dy, _ (Yi — Va) s (a; 21) e 8933 3TT7T7X 7, dx; (a, — 43) S + (V, — Va) €
o, dividendo ambo i termini dell’ultimo membro per (x, — x;) s e indicanti con 6; l’angolo di direzione della congiungente P, P,,
I+itg09,igw
L'angolo di direzione %, della correzione dl, relativa al vertice P, è perl uguale a quello 6; della congiungente il vertice iniziale P, con P,, diminuit dell'angolo .
IV. — COMPENSAZIONE LINEARE APPLICATA NEL NUOVO CATASTO (1)
Nel Nuovo Catasto italiano, compensata angolarmente la poligonale con le [2], [3] ed effettuato il relativo calcolo lineare ottenendo le componenti dx, 9 y dell’errore di chiusura lineare $/ mediante le [4], si determinano i rapporti. dx dx dy Ò y daga ai ya i 26 n I L y n I L 120] x 1, DI I I n —— I nelle quali L = £ 4 è lo sviluppo totale della poligonale (somma delle lun I ghezze dei lati).
Indi alle proiezioni A X,, AY, del lato /,; generico si applicano rispettiva mente le correzioni
L; L; dl =dx è ay =dY 7 > (1) L'adozione di tale sistema di compensazione fu motivata con considerazioni di carattere intuitivo (vedasi Boll. Uff. della Direzione Generale del Catasto, anno 1924, normale 64, pag. 307), riguardanti due inconvenienti che hanno luogo con l’applicazione di correzioni proporzionali alle singole coordinate parziali (vedasi punto II del presente articolo) e cioè: 1) quando una poligonale ha andamento generale sensibilmente parallelo ad uno degli assi e soltanto uno o pochissimi lati inclinati rispetto ad esso, si vengono ad attri buire correzioni minime o nulle ai lati paralleli all’asse e quasi tutta la correzione viene applicata ai lati inclinati; 2) effettuando la compensazione col citato criterio le correzioni complessive, ap plicate ai vari lati, a parità di errore di chiusura della poligonale, variano col variare dell’inclinazione di quest’ultima rispetto agli assi coordinati; ciò che è irrazionale.
Gli inconvenir iti sopra accennati vengono praticamente eliminati effettuando la compensazione mediante correzioni proporzionali alle lunghezze dei singoli lati (anziché alle singole coordinate parziali).
sì che le correzioni apportate alle coordinate del vertice generico P, risultano iI L. \ dx;= q, 2, i,=dx- 1 1 L 27] i | dv; = Wy 5 L, _ dy di ! oi L
Dalle [27], quadrando e sommando ed estraendo la radice quadrata, si ottiene 128 usi T ] it! LU espressione dello spostamento del vertice P, per effetto della compensazione lineare.
Dividendo la seconda delle [27] per la prima, può inoltre ricavarsi l'angolo di direzione ©, di d/; con la relazione [ { i 3 _igo=1l (0 — ©) 20] 89 de, © da 897% )
La [28] e [29] dicono perciò che lo spostamento subito dal vertice generico P, in dipendenza della compensazione lineare è proporzionale allo sviluppo del tratto di poligonale compreso fra il vertice stesso e quello iniziale P, e che tale spostamento ha, per tutti i vertici, la medesima direzione, uguale a quella dell’errore di chiusura 3/ della poligonale. | V.- RAFFRONTI E CONCLUSIONI.
Notiamo anzitutto che, nei riguardi applicativi, tutti e tre 1 procedimenti sopra considerati sono ammissibili e pressoché equivalenti, giacché tutti e tre conducono ad una ripartizione, praticamente soddisfacente, degli errori 3 x e è y (e quindi dell’errore di chiusura lineare $/) fra i vari vertici della poligonale.
Aggiungiamo che qualora 3 x e è y siano molto piccoli basterebbe ripar tirli a vista, con segno cambiato, fra le proiezioni A X, e AY, dei vari lati /, o di alcuni di essi saltuariamente scelti.
Concettualmente il primo procedimento (ripartizione proporzionale di è x € è y) non può considerarsi ineccepibile, giacché in esso (come abbiamo accen nato) si suppongono indipendenti l'uno dall’altro gli errori $x e è y; ipotesi non rispondente alla realtà.
Tale procedimento presenta il vantaggio di una facile e celere applicazione numerica.
II secondo procedimento tiene conto della reciproca dipendenza degli er rorl $x e $y e quindi, come metodo semi-rigoroso, deve essere considerato corretto e pienamente ammissibile.
La sua applicazione numerica, tuttavia, risulta alquanto più laboriosa rispetto al metodo precedente.
Infine il terzo procedimento (cioè quello del Nuovo Catasto italiano ) ancht esso, come il primo procedimento, è implicitamente basato sull’ipotesi (arbi traria) che 3x e $y siano fra loro indipendenti. «— Osserviamo tuttavia che le relazioni [28] e [29], (esprimenti la grandezza € direzione dello spostamento dl, subito dal vertice generico P; per effetto della compensazione) hanno /a stessa forma delle analoghe relazioni [24] e [25], che forniscono i medesimi elementi nel caso del secondo procedimento.
Dalla [24] si passa infatti alla [28] sostituendo al rapporto Di fra le distan ze der vertici P; e P, da quello iniziale P,, l'analogo rapporto—' fra lo svilupf: del tratto P, P, della poligonale e lo sviluppo totale di essa. L
Parimenti dalla [25] si ottiene la [29] sostituendo l’angolo di direzione 6 della retta congiungente P, P, (cioè della distanza D,) con l'angolo di direzione © della congiungente i vertici estremi P, P, (cioè di D)).
Il terzo procedimento conduce perciò a risultati tanto più vicini a quell ottenibili col secondo, quanto più il rapporto generico ci e l'angolo © sianc a . | D; prossimi, rispettivamente, al corrispondente rapporto D ed all'angolo 0,.
Ciò si verifica approssimativamente qualora la poligonale non si discos:: troppo dal proprio asse (come è prescritto dalle Istruzioni del Catasto), ovver: anche quando essa sia abbastanza uniformemente sinuosa rispetto ad esso, oy pure il suo andamento segua, grosso m0do, quello di una curva rivolgente la concavità verso l’asse della poligonale e rispetto ad esso presenti una freccia non eccessivamente notevole ecc.
Riguardo all’applicazione numerica il procedimento catastale risulta al trettanto agevole e rapido che il primo procedimento sopra considerato.
Si può concludere che il procedimento di compensazione lineare in uso nei Catasto italiano realizza praticamente, in via approssimata e nel modo più sem plice, il secondo dei metodi considerati (cioè quello di ripartizione parallela e lo realizza con approssimazione tanto maggiore, quanto più l'andamento della poligonale (pur non essendo rettilineo) risulti abbastanza regolare e prossim: al relativo asse.