Date le coordinate dei punti A, B, C, nonché gli angoli « € £, il calcolo degli angoli x e y occorrenti per la determinazione del punto P viene — come è noto — effettuato mediante le seguenti formule:
I I r=— (1 +y) + (ay) 4A 2 o 2 2 | Ng 90- DL J | ON i I I < 7/6 v=T +4) ey). ERFÙA |, ] a Z 2 | Sag / \ \ b I | È / /] d \ in cul 1 termini 3 (x+y)e | 5 Lu \ I | LOD _ — (x — y) si calcolano come | d \ UT 3 2 » de | \ / segue: I | \ A i (x + y ) = | ‘ 2F i 2 I \\v \,7 I A i A — 1800 — — (a +8 + d); I , \ 2 2° \ | 7 \ sI / \ tang — (x — y) = | 2 \ 2 I # 6 Î 7 \P_ I 2° " 2 = tang-- (x+y)tang(45°2), è VA ant / ST ove l'angolo ausiliario X sl ot- | (277 tiene ponendo EP7F I, I b sen a L” tangà — asen 8° ° Fis. 1.
L'insieme di tali formule costituisce in sintesi il classico procedimento che di solito si riscontra nei vari trattati di Topografia per la risoluzione del cosidetto problema di Snellius; procedimento che è caratterizzato dalla pre senza del predetto angolo ausiliario 2.
Premesso quanto sopra si considerino due punti ausiliari E e F tali che st abbia —._- a BE =————— cos (90 — a)
——_ b cos (90 — fa) (BE) = (B 4) — (90— a) (BF) =(BC) + (90— 8), ove (B A), (B E), (BF)e (BC) sono rispettivamente gli azimut fra il punto Bei punti A, E, F, C.
Le coordinate degli stessi punti E e F (come in figura) potranno allora essere espresse come segue: Xx = Xg — BE cos (BE) Yr = Yg BE sen (BE) Xx = Xg — BF cos (BF) Y:=Yy + BF sen (BF). È evidente che in tali condizioni i tre punti E, P, F verranno a trovarsi su di una stessa retta, risultando il lato B P normale sia al lato E P sia al lato PF (1).
Gli angoli risolventi x e y potranno perciò essere calcolati — oltreché col classico procedimento al quale in principio abbiamo accennato — anche con le seguenti formule: x=(EB)T— (EF) y=(FB)—(FE), ove l’azimut (E F) sarà ricavato mediante le coordinate dei punti E e F.
Ottenuti gli angoli x e y si potranno risolvere i due triangoli rettangoli BEP e BFP;il che consentirà di dedurre in triplice modo le coordinate del punto P.
La determinazione analitica degli angoli risolventi x e y, sia che venga effettuata col procedimento classico, sia col procedimento che ad esso abbiamo fatto seguire, comporta dunque la necessità di avvalersi di elementi a carattere ausiliario.
Nel procedimento classico si tratta di elementi ausiliari aventi vero e proprio carattere analitico e cioè gli angoli ausiliari di tipo X ricavabili dalla I b sen a tangià asenpo (1) Si tenga presente che B E e B F sono diametri delle circonferenze rispettivamente circoscritte ai triangoli A BP e BCP.
Nel secondo procedimento non sì hanno elementi ausiliari di tipo analitico ma in loro vece si riscontrano elementi ausiliari di carattere geometrico (quali i punti E e F, che col punto 5, formano il triangolo ausiliario B E F).
Appare comunque opportuno osservare che il secondo procedimento dà iuogo a formule estremamente semplici.
In esso — infatti — riscontriamo soltanto le comunissime formule che ser vono al passaggio delle coordinate da un punto ad un altro mediante la loro distanza e relativo azimut; nonché quelle che consentono il calcolo dell’azi mut fra due punti una volta che siano note le loro coordinate.
Altro vantaggio di ordine pratico dovuto alla introduzione degli elementi ausiliari E e F consiste nel poter accertare con notevole facilità se sussistano — o meno —- le condizioni geometriche atte a consentire una buona determina zione del punto P. È ovvio che per dar luogo a idonee determinazioni del punto P occorrerà non soltanto che le coordinate dei punti £ e F abbiano il dovuto grado di precisione, ma che i punti stessi risultino anche abbastanza distanti fra loro.
A maggior chiarimento si prolunghino 1 cateti A £ e C F, e su tali prolun gamenti si consideri una qualsiasi coppia di punti dello stesso tipo dei punti E e F: ad esempio la coppia di punti ausiliari E° e F°, molto prossimi al punto di incontro Q di detti prolungamenti.
Tenendo presente quanto innanzi abbiamo detto per la terna dei punti E, F, P, ne consegue che il punto generico P* corrispondente alla nuova cop pia di punti E° F° si otterrà prolungando la congiungente degli stessi punti E° F° e abbassando su tale prolungamento la perpendicolare dal punto 5. È evidente allora, come in tali condizioni, anche un piccolo errore conte nuto ad esempio nelle coordinate di F° possa apportare variazioni molto rag guardevoli nella posizione di P’ (data appunto la vicinanza dei punti E°, P°).
Concludendo, anziché ricorrere al consueto esame delle cosidette visuali composte dello Jordan (1), nonché dell’angolo sotto il quale si intersecano le circonferenze circoscritte ai triangoli A B P e BC P (esame che di solito si effettua quando si risolva il problema di Snellius col procedimento classico), converrà semplicemente accertare:
I) che i triangoli rettangoli A BE e BC F risultino di conformazione atta a consentire una buona determinazione dei punti E e F; 2) che la base ausiliaria E F non risulti mai inferiore a ciascuno dei lati BE e BF (il che assicura che il punto P da determinare cada entro la stessa base E F). È ovvio infine che il problema risulterà indeterminato nel caso in cui i punti ausiliari E e F siano coincidenti (nel caso cioè che entrambi assumano. la posizione del punto Q indicato in figura). (1) Esse hanno — com'è noto — per espressioni FA x PB di ) PEN O , e non debbono superare certi limiti.