Geom. FRANCESCO ALBANI PREMESSA.
Nel Bollettino Geodetico dell’I.G.M. del maggio 1942 lo scrivente ha mo strato la risoluzione grafica del problema di Hansen ai fini dell’orientamento della tavoletta pretoriana. È stato cioè dimostrato come disponendo di due soli punti noti A e B ed associando al punto P di stazione un secondo punto 0, si possano determi oo, La 7A veda ab pren SAR si : . y N 27° TR ; \ n , v. 21 » 7 7 \ ".
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I TITO Ca A y N fig. 1 nare per intersezione diretta da A, B, i due punti ausiliari corrispondenti & ed S che risultano disposti sull’allineamento PQ (fig. 1).
Gli angoli da sommare algebricamente all’azimut gaussiano (AB) e (BA), per ottenere gli azimut gaussiani relativi ad R ed S, sono contraddistinti, sia nella figura I che nelle seguenti, attraverso una freccia che indica anche quale segno algebrico devono assumere rispetto ad (45) e (BA). Nel caso della fi gura I, infatti, è (AR) = (AB) + 8 e (BR) = (BA) ++ («x + 8) (il segno e va lore della tangente è lo stesso per angoli supplementari) e (AS) = (AB) — — (a° + 8), (BS) = (BA) — a.
n In tali casi, infatti, come sarà mostrato nell'esempio numerico, l’angolo 6 Li si misura graficamente usufruendo di un rapportatore.
Nel Rapporto presentato in seno alla III Commissione della Federazione Internazionale dei Geometri (F.I.G.) in occasione del IX Congresso Interna zionale dei Geometri tenuto a Delft dal 28 agosto al 4 settembre del 1958; è
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E stato dimostrato, cioè, come sul piano di Gauss-Boaga l’azimut gaus siano (PC) si possa calcolare usufruendo del punto di Collins il quale si deter mina esclusivamente per intersezione diretta da 4, B, introducendo in calcolo (1) F. ALBANI: / problemi dell’intersezione inversa (problema semplice e composto di Snellius e problema di Hansen) risolubili, sul piano di Gauss-Boaga, con la sola interse zione diretta, attraverso i problema composto di Snellius risolto senza determinare il rapporto dei seni degli angoli x ed y.
1 due angoli « e ? misurati sul terreno in P rispetto ad A, B, C (figure 7, 8,
Poiché il punto di Collins viene determinato con un angolo d’intersezione espresso dall’ampiezza dell'angolo «, nelle figure II e 12 è mostrato la solu zione del problema di Snellius usufruendo del punto di Collins, mantenendo inalterato il simbolismo degli elementi noti che lo determinano e cioè, 4, B ed q.
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Per quanto su richiamato, le coordinate gaussiane del punto ausiliario R e del punto di Collins sono ottenute esclusivamente attraverso il calcolo dell’intersezione diretta, previo la determinazione dell’azimut gaussiano fra i punti noti A e B. Ciò praticamente semplifica il calcolo dell’intersezione diretta per cui trova utile impiego anche la macchina calcolatrice semplice (l’im piego della macchina calcolatrice doppia sarà illustrata in una prossima nota).
Infatti, come è noto, le coordinate gaussiane di un punto P determinato per intersezione diretta, conoscendo le coordinate gaussiane dei punti noti A
e Be gli azimut gaussiani (AP) e (BP), possono essere ottenute risolvendo il sistema costituito dall’equazioni relative alle rette AP e BP e precisamente dal sistema: E=N fg (AP) — E,j-- N, tg (AP) E=N tg (BP) Eg — Ng tg (BP) per cul vi DD (E, — Es) i+ N, tg (AP) - Nytg (BP) ° tg (AP) — tg (BP) € Ep=(Np-- Ni) tg (AP) + E, oppure Ep = (Np-— Ng) tg (BP) — En. € Cc A bf ; : \/% Ù “3 a 3 :NJColhins Collins\ /° nu in /\} ia SI fig.Il fig.12 P P Se consideriamo fra i valori numerici assoluti delle due tangenti quello maggiore e si assume il vertice relativo quale origine della coordinata parziale x, l’espressione di N, si può semplificare nelle: o (Ea --Eg) + X%atg (AP) Xp = TETTI 1] te (AP) —- tg (BP) oppure — (Ei Ex) — %gtg (BP) ee __1__—r _'—’e©“ [II] tg (AP) —- tg (BP) tenendo presente che in tali espressioni la x, o la xg è la coordinata parziale di A o di B rispetto a Bo ad A e, di conseguenza, lo è anche la xp. Per il calcolo dell’espressioni semplificate [I] e [II] è necessario, quindi, conoscere sia il AE fra A e B sia il AN che rappresenta, in funzione del va
lore assoluto maggiore di una delle due tangenti, la coordinata x parziale di A rispetto a B o viceversa. Tali elementi sono già necessariamente noti sia per determinare il punto ausiliario R che il punto di Collins in quanto gli azimut gaussiani relativi ad R . i. . . AEÎ e Collins sono ottenuti in funzione di tg (AB) = RT per cui anche la A macchina calcolatrice semplice trova utile impiego nell'esecuzione di tali calcoli. Esempio numerico usufruendo dei punti ausiliari. In occasione della campagna aerofotogrammetrica in Italia Settentrio nale, si è presentato il caso di un punto d’appoggio fotogrammetrico P la cui CA RI BÀ. PB A A_\ 1.77, À e. . A N 2 . P Fig. 13 determinazione dipende dalle osservazioni eseguite ai punti trigonometrici A, B, C, D che solo sono visibili da P e precisamente: A B C D 0° 17° 00° 17° 32° 40° 09" 133° 06° 19” Riportando alla scala I : 100000 la posizione sia di P che di A, B, C, D (fig. 13) si scorge come il punto A giaccia pressoché sulla circonferenza che con
tiene P, C, D. A sua volta i punti P, B, D giacciono su di una circonferenza che non si discosta molto dalla prima.
(fig. 15) in modo che il problema di Snellius sia risolto nelle migliori condizioni, e precisamente usufruendo di R,,, R, ed A (fig. 17).
36 | È possibile infatti, come su mostrato, realizzare delle soluzioni con estre ma semplicità che sarebbe impossibile ottenere operando sulla sfera locale.
La risoluzione del problema di Snellius è pertanto possibile usufruendo solo di A, B, C introdu i cendo in calcolo però gli ea TI angoli a e @ dell'ordine Zi N di 17° e 15°. / Dalla figura 13 ap SI \ pare che la circonferenza (SESIA \_ che contiene P, B, D, in asa \ terseca la congiungente DA uva |
PCinun punto, che indi SA di cheremo ausiliario R,, ad ge una distanza di circa 1,0 \ a AU 9 | km dal trigonometrico C FLO i e, quindi, pur essendo i Bi NI valori del giro d’orizzonte
Attraverso le coordinate gaussiane di B, D rispettivamente: | 5 I6I 063,08 m | 3 158 68273 m risulta noto l’azimut gaussiano (BD) = 103° 29’ 53” e reciproco, e di conse guenza risultano noti gli azimut gaussiani (BR,) = (BD) — &, = 103° 29° 53° — 100° 26° 10°” = 3° 03’ 43” e (DR}) = (DB) -- (ax---B,) = 283° 29° 53” + 150 39° 52” = 299° 09° 45”. Ri 27 pe 27 A | 27 ? \ . \ ' \ ‘ \ \ CA \ N ! | | n : \ n \ ca 95 ' n N Ar 9 P Fig. 16
Attraverso le coordinate gaussiane di R, e cioè: 1 689 390,96 m, 5 164 124, 89 m, risulta noto l’azimut gaussiano (PC) = 323° 16° 46” (le coordinate gaussiane di C sono: I 688 504, 30 m e 5 165 313,54 m), e, quindi, risulta noto l’azimut gaussiano dell’origine di 290° 36° 37°”.
Le coordinate gaussiane medie del punto d’appoggio P divengono: I 694 983,17 m +4 3 cme 5156 627,95m + 1cm.
Con tale calcolo è stato mostrato il caso pratico di risoluzione del pro blema di Snellius usufruendo del punto ausiliario R, in sostituzione del punto di Collins.
Per ottenere un ulteriore controllo si può usufruire di un secondo punto ausiliario R,, prescelto, questa volta, sulla circonferenza che contiene P, C, D
La direzione PR,; = 72° 30° 00” si ottiene attraverso la misura grafica a mezzo di un rapportatore.
Con riferimento alla figura schematica 6, viene in tal caso determinato l'’azimut gaussiano (CD) = 121° 55° 58°” (e reciproco) per cui risultano noti gli azimut gaussiani (CR7) = (CD) — 8, = 121° 55° 58” — 60° 36’ 19” = 61° 19° 39° e (Dr) = (DC) + (an — By) = 301° 55° 58” + 39° 49° 51” — eye ! n \ “ ; A x | i ri k \ \ i Ni i | \ | . LN i \ i \ x x / i ' x : \ ‘. " \ n \ d VT A / “A \ \ e A o dre. \ ba 4 co SRO A Ai y =--C ori P . Fig. 17 341° 45’ 49” e, quindi, le coordinate gaussiane di R,, e cioè: I 695 667,099 m, 5 169 231,08 m.
La risoluzione del problema di Snellius con R,,, R, ed A (fig. 17) dà luogo al punto di Collins che giace pressoché a metà distanza fra A e P. L’azimut caussiano (PA) di 290° 36’ 33°, cioè in tal caso l’azimut dell’origine, differisce li 4°” rispetto al valore ottenuto con XK, per cui le coordinate gaussiane di P subiscono una variazione di 0,22 m in E e 0,00 in N.
Praticamente, quindi, trattandosi di un punto di appoggio fotogramme zrico, le due soluzioni coincidono.
Con tale esempio numerico rimane ancora una volta dimostrato il grande vantaggio di poter eseguire i calcoli numerici sul piano di Gauss-Boaga.
In particolare, in questa nota, è mostrato come sia possibile determinare esclusivamente per intersezione diretta dei particolari punti ausiliari, che pos sono essere prescelti usufruendo di un grafico al 100000, i quali permettono di risolvere il problema di Snellius anche se i punti noti a disposizione non sono ubicati nelle migliori condizioni, e soprattutto permettono di eseguire 1 cal coli d’intersezione diretta eliminando gli angoli acuti per cui il problema di Snellius risulta generalizzato al massimo grado e le direzioni ai punti noti pos sono sempre essere ottenute eseguendo solo due strati (1).
Dato l’approssimazione ammessa per i punti d'appoggio fotogrammetrici. le direzioni misurate in campagna si sono ritenute quali direzioni gaussiane.
Comunque è stato più volte richiamato l’attenzione che il calcolo per ri durre le direzioni ellissoidiche osservate in direzioni gaussiane osservate è di immediata e semplice esecuzione (2), per cui eseguendo 1 calcoli sul piano di Gauss-Boaga non vi è più limite fra campo topografico e campo geodetico in quanto tutti i calcoli dipendono dalla sola applicazione della trigonometria piana e della geometria bidimensionale. |
Se le direzioni ellissoidiche su riportate fossero state ottenute osservando punti trigonometrici distanti anche 30-40 km(naturalmente dalla media di un numero superiore di strati) i calcoli di cui sopra sarebbero stati condotti con la stessa semplicità previo la riduzione di tali direzioni ellissoidiche nelle corri spondenti direzioni gaussiane. (*) È necessario tener presente che il punto ausiliario R,7 è stato prescelto grafica mente sulla circonferenza PCD verificando, sempre graficamente, che il punto di Collin venga determinato per lo meno a metà distanza fra A e P dato che il valore dell’azi mut gaussiano (Collins-A) lo si attribuisce all’azimut gaussiano (PA).
Poiché la direzione PR; è misurata graficamente usufruendo di un rapportatore arrotondandola al mezzo grado od al grado, è evidente che la posizione di Py, definitz attraverso Il calcolo non coinciderà con quella grafica prefissata, e, di conseguenza, ana logamente avverrà per il punto di Collins. È altrettanto evidente, però, che l'eventuale spostamento di 2 0 300 metri del punt ; di Collins non altera l’approssimazione prevista per (PA), per cui è sufficiente usufruir:3 di un grafico alla scala 1 : 100000 per prefissare i vari punti ausiliari necessari e misurar. graficamente al grado le loro direzioni. (2) G. Boaga: Trattato di Geodesia e Topografia. CEDAM, Padova, Vol. I, parte IV cap. III da pag. 556 e pag. 568 e cap. VI da pag. 614 a pag. 630.