Dott. Ing. Mario FoNDELLI Università degli Studi di Firenze Comunicazione presentata al X Convegno nazionale della Società Italiana di Fotogrammetria e Topografia (Varese, Aprile 1965) 1. La scelta di uno strumento di misura è generalmente affidata, in una cor retta prassi operativa, alla valutazione delle sue possibilità d’impiego ed alla pre ventiva nozione dell’approssimazione di misura che risulta capace di assicurare.
Questa buona norma di carattere generale risulta essenziale in Geodesia ed | in Topografia ove, una volta stabilita la precisione da conseguire in un determi nato lavoro od in una particolare misura, appare univocamente stabilita anche la gamma dei mezzi strumentali atti a garantirla.
Logicamente, il preventivo accertamento delle caratteristiche intrinseche di uno sttumento viene comunemente affidato all'esperienza mediante un preliminare esame qualitativo dello strumento medesimo. Quest’esame, nel caso dei moderni strumenti di misura angolare, verte essenzialmente nella verifica della bontà di graduazione del cerchio orizzontale.
Il procedimento impiegato per l’esame sperimentale dei cerchi azimutali degli strumenti geodetici destinati ai lavori di Astronomia è nella generalità dei casi quello suggerito dal Prof. H. J. Heuvelink nel 1913 [1]. Questo procedimento ri sulta nel suo complesso di lunga e laboriosa applicazione, ma consente tuttavia una valutazione molto accurata dell’errore di graduazione del cerchio considerato, che viene addirittura scomposto nelle sue due componenti fondamentali accidentale e periodica.
Gli strumenti impiegati nei lavori geodetici e topografici, i teodoliti ed i ta cheometri, non vengono di regola sottoposti ad alcun esame preventivo né tanto meno ad alcuna determinazione dell’errore di graduazione del relativo cerchio azi mutale. Quest'ultima viene ritenuta infatti del tutto superflua, dato che i metodi di misura adottati nella corrente prassi operativa attribuiscono a quest’errore un carattere preminentemente aleatorio e gli effetti sistematici di tipo periodico ten dono ad eliminarsi nella media generale delle misure. È comunque evidente che la miglior utilizzazione di uno strumento a cerchio graduato non può prescindere, anche in questo genere di lavori, da un preventivo esame della sua qualità che, oltretutto, diviene indispensabile specialmente in sede di collaudo o di accettazione dello strumento medesimo. Scopo di quest’esame ri mane, naturalmente, la definizione dei limiti di applicabilità dello strumento, in riferimento alle prestazioni che gli sono attribuite o che gli possono essere richieste.
Senza fare immediato ricorso all’applicazione del metodo dell’Heuvelink si può tuttavia ottenere una prima indicazione della qualità della graduazione stru mentale attraverso l’analisi statistica di opportune serie di misure angolari. I me todi statistici possono consentire infatti di raccogliere, anche in questo campo, nella maniera più semplice e più immediata, interessanti informazioni sulle qualità stru mentali indagate, con evidente vantaggio pet l'economia generale della ricerca spe rimentale. 2. Com'è noto, le diverse cause di errore influenti nella misura di un angolo sono da ascriversi, in particolar modo, ad una collimazione difettosa, ad una im perfetta lettura dei cerchi graduati, alla eventuale mancanza di rigidità dello stru mento ed agli inevitabili difetti di graduazione del cerchio e del micrometro.
Lo studio approfondito di queste cause di errore suddivide i diversi errori che ne risultano in due distinti gruppi principali: quello cui appartengono gli et rori di collimazione, di lettura e di non rigidità, e quello cui appartengono invece gli errori di graduazione del cerchio e del micrometrto. Mentre il primo gruppo congloba gli errori di carattere accidentale, il secondo raccoglie invece gli errori di carattere periodico o regolare.
Considerato che nella misura di un angolo qualunque i diversi errori si som mano, è naturalmente lecito inferire che le loro differenti caratteristiche abbiano un ruolo determinante nella fluttuazione dei risultati di misura, ottenuti in una opportuna serie di osservazioni, e che l’eventuale predominanza di un gruppo di errori rispetto all’altro influisca sulla distribuzione di frequenza relativa alle osser vazioni compiute e sul valore dello scarto quadratico medio risultante.
Logicamente, nota la distribuzione di frequenza delle osservazioni compiute e calcolato lo scarto quadratico medio relativo, l’analisi statistica potrebbe consen tire allora di valutare l'adattamento della distribuzione sperimentale all’ipotesi guas siana che regola — com’è noto — la propagazione degli errori con carattere ac cidentale. Ovviamente, il grado di adattamento rilevabile nell’analisi di frequenza, mediante l’indice yx°, costituirebbe in tal caso un importante indizio della qualità controllata e consentirebbe, nel contempo, di utilizzare in maniera più conveniente lo strumento soggetto all’esame. È stato però, già da tempo, messo in evidenza che gli errori di osservazione in strumenti a cerchio graduato presentano una distribuzione di frequenza pro pria [2], e che gli scarti quadratici medi ottenuti nella misura di un angolo non risultano indipendenti dalla sua ampiezza [3].
La ricerca del grado di adattamento della distribuzione sperimentale all’ipo tesi teorica, riconducibile a quella messa in evidenza da C. V. L. Charlier, F. Y. Edgeworth e H. Cramér come estensione asintotica della distribuzione normale [4], perde pertanto il significato che potrebbe esserle attribuito.
Tuttavia, ricordando in particolare che le cause di errore classificate nel se condo gruppo — quello degli errori sistematici o regolari — hanno per effetto un addensamento od una rarefazione dei vari tratti di divisione del cerchio in deter minate e ricorrenti zone della graduazione, l’applicazione dell’indagine statistica sembra poter fornire preziose informazioni nel ricercare se la varianza fra i valori medi corrispondenti alla misura di un angolo, nelle varie zone della graduazione,
possa fornire un indizio dell’esistenza o meno di effetti diversi nelle zone medesime. Naturalmente, com'è nella prassi statistica, la significatività della prova dovrà es sere anche qui interpretata con riferimeno all’ipotesi nulla.
L’applicazione dell’analisi della varianza, nell'esame degli strumenti a cerchio graduato, offre senza dubbio un contributo notevole alla valutazione della loro qualità. Oltretutto, essa può consentire infatti di mettere in evidenza l’opporttunità di sottoporre gli strumenti studiati ad una più approfondita ricerca dei rispettivi errori di graduazione, o ad un più attento e circoscritto impiego. 3. Senza entrare in merito ai fondamenti teorici del metodo di analisi in ar gomento, illustrati nella letteratura specializzata [5], si noterà comunque che il procedimento operativo applicato al caso esaminato, allorché si desideri evidenziare gli effetti degli errori periodici o regolari, comporta ovviamente la misura di un angolo campione a, mediante una opportuna serie di osservazioni che replichi di verse volte l’esplorazione della graduazione azimutale in un certo numero di zone prescelte.
Misurato cosî, a tal fine, l’angolo campione a, un numero # di volte in cia scuna delle prescelte r zone del cerchio, si potrà con gli r gruppi di x valori xi; (i = 1, 2,..redj = 1,2,... n) formare il quadro
Xii XI * * © Xin XI X21 X22 0 0% 0 X2n X2 Xrl Xr200* * * * Xen Xr Xm dal quale, sussistendo le condizioni previste per la validità del metodo [5], po tranno poi esser agevolmente tratti, una volta calcolati i valori medi x; ed xm, gli elementi della tabella seguente: Variazioni Somme dei quadrati Gradi Valori medi di libertà quadratici r Qi Tra i gruppi O; = n X (x; — x) t_-1 0, = — i=1 r—-] rn Q; Entro i gruppi Q. = X Z (xjg— xi) Dr r S, = — i=1 j=1 nr—r tu n Q Totale Q = * E (xij — xm) arT—- 1 Ss = i=1 j=1 nr—1l
che permettono di trovare il rapporto — = F e la vatianza totale S? corrispon Si dente alla misura dell’angolo campione a.
Com'è noto, il rapporto S°:/S% ha una distribuzione di Fischer con r—1 gradi di libertà al numeratore ed nr—r gradi di libertà al denominatore. Calcolato il va lore di F e stabilito un certo livello p/100 di significatività, il confronto di F con il valore F, fornito dalle tavole in corrispondenza del livello percentuale predetto e dei gradi di libertà sopra menzionati da la stima dell’accettabilità o meno del l'ipotesi nulla.
Se l’ipotesi della non esistenza degli effetti nelle varie zone della graduazione corrispondesse ai fatti, il valore di F dovrebbe approssimativamente risultare uguale all'unità. La non ammissibilità dell’ipotesi nulla risulterebbe allora rivelata da va lori di F molto maggiori dell’unità; riflettendo insieme all’effetto causale anche quello sistematico degli errori di graduzione nelle diverse zone del cerchio, il nu meratore del rapporto che definisce F sarebbe infatti più grande del denominatore.
Nell’intento di approfondire le possibilità per un’applicazione pratica del pro cedimento di analisi statistica predetto, si è utilizzata a tal fine una speciale serie di osservazioni angolari realizzata, già da tempo, con un teodolite Kern DKM 3 (N. 49306).
Stabilite, pertanto, 18 diverse zone del cerchio, si sono cumulate per ciascuna di esse 8 diverse misure di un angolo campione « dell’ampiezza di 45° + x;j”.
Nella Tavola 1 sono state riportate per ciascuna di queste misure le medie ottenute nelle osservazioni coniugate. Le osservazioni medesime, compiute con la massima cura, sono state eseguite secondo la prassi operativa normale appros simando le letture con la stima dei cinque centesimi di secondo sessagesimale (0”,05).
= Do 0 A Vv HT O + 2 O Aq IN + 0 WD Ce S A N +tgarniI Aa lS n na \ì “ © nia riaî“ "‘Qq O -xr Ù TOT TrRoaonn a £ mq A + n = MA_NM_ON INON INRMNMSNARONMOINROMRNRO ON IN IAA _N OSSIA A —PT _ ____—————_—_r....__———m—m—— no i i: ll li razss"2d rr 29r}/e 8} en nno gr NNSSSrAKRAkAfZKERrAaESAqdN{a{Slokîi fd 2Î 00 di Lxao n T
Calcolate le medie dei valori ottenuti nelle diverse zone e ricavato il valore medio generale, si è proceduto alla determinazione dei valori riassunti nella Ta vola 2 che segue:
TAVOLA 2 | Valori medi Variazioni Somme dei quadrati G radi quadratici di libertà Tra i gruppi Qi = 2,294 088 17 52, = 0,134 946 Entro i gruppi Q, = 24,914 354 126 S°, = 0,197 733 Totale Q = 27,363 119 143 Sì = 0,191 350
Da essa si è ricavato quindi il valore del rapporto F che è risultato pari a 0,68 ed è stato infine confrontato, per i gradi di libertà sopra indicati, con quelli forniti dalle tavole per Fs ed F;, rispettivamente uguali a 1,78 ed a 2,17 [6]. Confron tando questi valori, non può ovviamente escludersi l’ipotesi nulla. È evidente, come del resto era stato già provato pet altra via [7], che nello strumento esaminato l’influenza degli errori periodici di graduazione risulta note volmente ridotta rispetto a quella degli errori accidentali di misura. Merito, questo, anche del sistema di graduazione a doppio cerchio adottato dalla Kern & Cie S.A. per tale tipo di strumento.
Naturalmente, l'introduzione dell’analisi della varianza nell'esame qualitativo degli strumenti a cerchio graduato dovrà subire, rispetto all’esempio sopra illustrato, ulteriori perfezionamenti, specialmente per quanto concerne la prassi operativa. L’applicazione più logica di questo metodo d’indagine dovrebbe, infatti, compor tare la misura di un angolo campione avente un’ampiezza inferiore a quella dell’in tervallo corrispondente alla suddivisione in zone della graduazione, con un numero di repliche leggermente superiore a quello sopra considerato. Prescelto cosî ad esempio, un intervallo della graduazione pari a 15°, l'ampiezza dell’angolo cam pione a dovrebbe aggirarsi sui 7--8°, mentre il numero delle repliche dovrebbe essere almeno equivalente alle 12-15 volte. È evidente, concludendo, che una più approfondita esperienza nell’applica zione dell’analisi della varianza a questo suggestivo campo della sperimentazione geodetica e topografica, potrebbe infine suggerire l'opportunità di allargare le r'. cerche ad un maggior numero di fattori, influenti nelle osservazioni angolari, prc. disponendo allo scopo una più attenta prassi operativa capace di evidenziarne adeguatamente gli effetti.