Prof. Uco BARTORELLI
Nel quinto nostro ragionamento, sempre considerando le stelle proiettanti come puri enti geometrici, e senza fare alcun ricorso alla loro realizzazione strumentale, siamo giunti a dedurre che è possibile la ricostruzione del modello della zona di terreno comune ai due fotogrammi di uno stereogramma utilizzando soltanto cinque dei dodici gradi di libertà, in totale, dei due fotogrammi; agendo cioè a cinque soli parametri.
Il modello del terreno — ricordiamolo — è costituito dall’insieme dei punti nei quali si intersecano le coppie di raggi omologhi delle due stelle; è geometrica mente simile al terreno e ne dà quindi la forzza.
Ma compito della fotogrammetria è tuttavia quello di ripristinare l’oggetto : fotografato anche nelle sue dizzezsioni; a questo proposito abbiamo già notato che traslando una delle due stelle, in modo che il suo centro rimanga sulla congiun gente i due centri delle stelle (vedasi la figura del IV ragionamento), si può variare con continuità la grandezza del modello — senza distruggerlo, ossia conservando la complanarità dei raggi omologhi — fino a fargli raggiungere una qualsiasi dimen sione assegnata, in particolare quella vera del terreno, che è ottenuta quando la distanza O; O: è uguale a quella della effettiva base 4 di presa, oppure quando i! segmento che ha per estremi due punti qualsiasi del modello è uguale al segmentc corrispondente sul terreno. Ovviamente in questa operazione di dirzensionamente il modello invece che alla grandezza vera del terreno può essere portato ad una dimensione che sia in un determinato rapporto di scala rispetto al terreno; ma nel seguito della nostra esposizione di carattere teorico supporremo di avere proprio dimensionato il modello alla grandezza vera del terreno.
In questa operazione di dimensionamento è necessario fare ricorso ad un solo parametro (in più di quelli già utilizzati), ad uno solo cioè dei dodici gradi di libertà disponibili. Veramente per traslare ad esempio la stella O. in O”, lungo la retta O; O: è necessario agire a tutte e tre le traslazioni del fotogramma O; secondo X, Y e Z (figura 1); potrebbe sembrare quindi che i parametri impegnati nel dimensionamento dovessero essere tre; ma se si pensa che due di questi para metri sono già stati utilizzati per ottenere l'orientamento relativo dei fotogrammi (che supponiamo realizzato, come è stato detto nel terz’ultimo capoverso del V ra gionamento, mediante due traslazioni e le tre rotazioni della stella O:) il nuove parametro da utilizzare risulta uno solo, la terza traslazione; del resto le altre due traslazioni vengono utilizzate per mantenere il centro O; sulla retta della dire zione primitiva O; O:, proprio al fine di non distruggere l'orientamento relativo. In sostanza le tre traslazioni AX, AY, AZ indotte alla stella O. devono essere tali da mantenere inalterato il rapporto di due delle componenti della base O; O;
rispetto alla terza; da ciò risulta che il dimensionamento consiste semplicemente in una trasformazione simile dello spazio (che lascia inalterati gli angoli), per il che basta appunto la variazione di un solo parametro: il rapporto di similitudine.
Ciò posto, possiamo affermare che per formare il modello e dimensionarlo è sufficiente fare ricorso a sei parametri soltanto. Al sistema delle due stelle restano ancora disponibili, quindi, sei dei dodici gradi di libertà.
Ma compito della fotogrammetria è anche quello di ripristinare il modello nel suo assetto angolare rispetto alla ferma di assi X, Y, Z, preordinata, solidale al terreno (vedasi la figura del IV ragionamento), il cui asse Z è nella direzione della verticale della zona fotografata (che supporremo cosf poco estesa da potere consi
Z , 0: si \ Y OT __+Axy Oi TT / ; IL ---- € AX X Fig. 1 derare parallele le verticali di tutti i suoi punti), l’asse X normale a quello Z in direzione assegnata, l’asse Y normale ai due precedenti, e l’origine in un punto pure assegnato.
Invece il modello dimensionato, ottenuto mediante solo sei dei dodici para metri disponibili, risulta orientato in un assetto qualsiasi rispetto a detta terna di assi, proprio a causa della maniera in cui l’abbiamo formato e dimensionato.
Siccome scopo ultimo delle nostre operazioni è quello di rilevare topografica mente, di « restituire » il modello, è molto importante orientare innanzitutto il modello in modo che la direzione della verticale, virtualmente contenuta nel modello stesso perché implicitamente vincolata ai suoi punti, sia parallela all’asse Z del rilevamento, dianzi definito; infatti solo se è soddisfatta questa condizione potremo rilevare la planimetria del modello e valutare i dislivelli fra i punti del modello, come sul terreno. Per meglio spiegarci supponiamo che nel modello esista un altis simo campanile con gli spigoli v che sul terreno siano veramente verticali; nel modello dimensionato, appena realizzato agendo a solo sei parametri, questi spigoli v formeranno in generale un angolo qualsiasi Av con l’asse Z del rilevamento (figura 2); avremo quindi bisogno di variare la posizione e, più precisamente, l’assetto angolare del modello in modo da rendere gli spigoli v paralleli all’asse Z (0, ciò che è lo stesso, da rendere la superficie di un ipotetico laghetto L contenuto nel modello, parallela al piano orizzontale XY).
Per ottenere tale parallelismo dovremo quindi ruotare il modello dell’angolo Av nella giacitura delle direzioni di v, quale è sul modello, e di Z, quale è sul terreno. È questa l’operazione che viene detta orizzontamento del modello, proprio perché con essa un qualsiasi piano orizzontale implicitamente contenuto nel modello (si pensi ad esempio al laghetto suddetto) viene reso parallelo al piano orizzontale degli assi X, Y del rilevamento.
Ruotare il modello significa evidentemente ruotare tutto l’insieme delle due stelle proiettanti, considerate ormai come un unico insieme rigido, solidale al modello “ Z4 _-h@d Vv: Z AQU\ i Ò | «lu Z X | À y Z ì \ | \) | | ai X X Fig. 2 stesso da loro generato; infatti le rotazioni, sia pure uguali, di ogni stella per suo conto distruggerebbero in generale il modello, ossia l'orientamento relativo già conseguito, a meno di non fare ricorso ad opportune variazioni delle traslazioni dei fotogrammi per mantenerlo inalterato. Non soffermiamoci su questa ultima affermazione che invero, al punto in cui siamo, con il nostro ragionare, può sem brare un po’ oscura (in proposito sarebbe desiderabile che chi segue questa rubrica facesse pervenire al Bollettino contezza di ciò, affinché chi scrive sapesse se valga la pena continuare 1 suoi ragionamenti), ma proponiamoci piuttosto di realizzare l’orizzontamento del modello attuando la rotazione di questo solidalmente con i due fotogrammi.
Quanti sono i gradi di libertà di tutto il sistema, ai quali bisogna fare ricorso pet ottenere tale rotazione? Sono soltanto due; sappiamo infatti che per definire una direzione nello spazio (che nell’esempio pottato è la direzione degli spigoli v) è necessario e sufficiente assegnare due dei tre coseni direttori della direzione rispetto alla terna di assi. Nel nostro caso i due gradi di libertà consistono nelle due compo nenti, che chiameremo AL e AD secondo le quali può essere scomposta la rotazione Av intorno a due dei tre assi ai quali abbiamo riferito i fotogrammi per ottenerne l'orientamento relativo.
E ovvio che per conoscere l’angolo Av, e la giacitura AvZ, in cui deve essere considerato, non si ricorre davvero agli spigoli del campanile o alla superficie di un laghetto, citati solo a scopo dimostrativo; in pratica tale angolo sarà determina bile con assai maggior precisione quando si conoscano due dislivelli fra punti del terreno, riconoscibili sul modello, ossia quando siano note le quote relative AH; e AH» di due punti qualsiasi, P,, P. rispetto ad un terzo punto Pi (figura 3).
Infatti soltanto quando la verticale, implicitamente contenuta nel modello, ri sulterà parallela all’asse Z del rilevamento, i dislivelli AH, e AH; potranno essere misurati nei loro veri valori, e, di conseguenza, le distanze orizzontali fra i punti del modello saranno uguali a quelle fra i corrispondenti punti del terreno. z Pi } AH, 2° I 4 i 2 Y Po” À t-_ 2° Pz% i | AH, , i | x Fig. 3
Tornando all’avere computato in due soltanto i parametri necessari e suffi cienti per l’orizzontamento del modello, si potrebbe obbiettare che, in realtà, la rotazione del modello, solidale alle due stelle proiettanti, che può avvenire intorno ad un centro qualsiasi, comporta generalmente la variazione di tutti e dodici i parametri, fra rotazioni e traslazioni, che definiscono l’orientamento assoluto dei due fotogrammi nello spazio. Per rendersi conto che, invece, i gradi di libertà tolti al sistema, dopo l’orizzontamento, sono soltanto due, si pensi di indurre le suddette rotazioni A{2 e A®, componenti di Av, necessarie ad orizzontare il modello, solo ad uno dei due fotogrammi; e poi, siccome con ciò il modello risulterà distrutto, di ricostruire l’orientamento relativo agendo a cinque dei gradi di libertà dell’altro fotogramma, ed infine all’altro necessario al dimensionamento. Alla fine di queste operazioni il modello risulterà orizzontato perché avendo dato ad un fotogramma la rotazione Av, anche l’altro, dopo il nuovo orientamento relativo, l’avrà subita.
Fatti i conti, sono quindi proprio ozfo, in totale, i gradi di libertà sottratti al sistema per ottenere il zodello formato, dimensionato e orizzontato.
A questo punto si potrebbe asserire che il nostro compito è terminato; infatti un modello siffatto può essere rilevato planimetricamente e altimetricamente in quanto è possibile, come abbiamo constatato, misurare su di esso i dislivelli nel
loro vero valore o ad una assegnata scala e di conseguenza anche le distanze orizzontali.
Ed infatti nel pratico impiego degli strumenti restitutori, capaci di realizzare le operazioni che noi abbiamo invece considerato soltanto nella loro essenza geome trica, con la determinazione di otto dei dodici parametri disponibili il problema della ricerca dell’orientamento assoluto dello stereogramma si può dire risolto, avendo conseguito il modello dimensionato e orizzontato.
Potrebbe sembrare quindi che quattro dei dodici gradi di libertà del sistema siano sovrabbondanti; il che evidentemente non può essere. Ed invero il modello ottenuto, pur essendo già in condizioni di essere « restituito », non ha assunto ancora la posizione originaria rispetto alla terna di assi X, Y, Z del rilevamento, il che, in teoria, è invece necessario per affermare che il problema fotogramme trico è stato compiutamente risolto. Il modello in effetti è stato ricostruito, ed anche alla vera grandezza del terreno come abbiamo supposto, ed in modo che la direzione della sua verticale v, in esso implicitamente contenuta, risultasse paral lela all'asse Z del rilevamento, ma abbiamo realizzato ciò in una regione qualsiasi dello spazio. In realtà la direzione dell’asse X, anch’essa implicitamente contenuta nel modello perché vincolata ai suoi punti, si troverà disorientata, rispetto all’asse X del terreno, di un angolo qualsiasi AK; e quindi di un uguale angolo la corri snondente direzione dell’asse Y sul modello rispetto all’asse Y del terreno.
Pertanto se vorremo che tutte e tre le direzioni X, Y, Z vincolate al modello risultino parallele a quelle degli assi corrispondenti del rilevamento, avremo bisogno di ruotare il modello, e quindi il sistema rigido delle due stelle, dell’angolo AK intorno alla direzione dell’asse Z. Ciò toglie al sistema «7 solo grado di libertà come è facile dedurre con ragionamenti analoghi a quelli sulle due rotazioni che hanno condotto all’orizzontamento.
Sottratto quindi al sistema un altro grado di libertà, ne restano ancora tre disponibili; ed invero ne abbiamo bisogno perché a questo punto il modello è formato, dimensionato alla vera grandezza, orizzontato, e orientato anche per quanto riguarda gli assi X e Y, cosicché qualsiasi segmento avente per estremi due punti del modello stesso è equipollente al corrispondente del terreno; però esso si trova ancora in una regione dello spazio diversa da quella originaria della presa. Se vogliamo quindi esaurire il nostro problema dovremo portare il modello addirittura a coincidere con il terreno di cui è la copia; ciò può essere conseguito ormai, manifestamente, con una traslazione del modello, le cui tre componenti sulla terna del rilevamento rappresentano gli ultimi tre gradi di libertà da utilizzare. In altre parole dovremo indurre al modello le traslazioni AXo, AYo, AZo capaci di fare assumere ad un punto del modello le sue vere coordinate sul terreno; consiste in ciò la cosiddetta « imposizione delle coordinate » ad un punto, con il che tutti i punti dei modello assumeranno Îe loro coordinate vere rispetto alla terna del rilevamento.
Ripetiamo che nel pratico impiego degli apparati restitutori, l’utilizzazione di questi ultimi quattro parametri comporta operazioni di scarso rilievo; tenendo presente che in essi il modello è realizzato non alla vera grandezza, naturalmente, ma ad una scala di riduzione, virtualmente tale utilizzazione viene conseguita, in generale, soltanto imponendo la quota assoluta, nota, ad un punto del modello (un 5.
parametro) alla scala del modello, ubicando planimetricamente su un punto noto (due parametri) il foglio destinato a raccogliere la restituzione, sul quale è trac ciato il reticolato X, Y di riferimento del rilevamento, ed infine orierzando (un parametro) detto foglio rispetto al modello con l’ausilio di un secondo punto noto.
Tornando al computo dei parametri che ci hanno consentito di risolvere com piutamente il problema fotogrammetrico, è importante notare che per l’orienta mento relativo vengono sottratti al sistema soltanto cinque gradi di libertà, per il che è necessario e sufficiente fare ricorso alla complanatità di cingue coppie di raggi omologhi delle due stelle.
Per l'orientamento assoluto del modello vengono tolti al sistema tutti i rima nenti sette gradi di libertà, per il che è necessario e sufficiente fare ricorso alla conoscenza delle coordinate di due punti del terreno (in totale sei dati) che consen tono il dimensionamento, l’orientamento planimetrico e la conoscenza di uno dei due dislivelli noti necessari all’orizzontamento, e alla conoscenza della quota di un terzo punto del terreno (un solo dato) che fornisce il secondo dislivello noto. I dati necessari e sufficienti per l’orientamento assoluto risultano quindi in totale sezfe, anche in questo caso quanti i gradi di libertà da sottrarre al sistema. In pratica ovviamente si utilizza un maggior numero di dati, costituiti da più punti del terreno noti nelle loro tre coordinate o solo in quota.
Altra osservazione importante è quella di considerare che mentre l’orientamento relativo è conseguito date che siano le due stelle proiettanti, ossia noto che sia l'orientamento interno della presa, senza far ricorso ad alcun elemento che non sia intrinseco dei soli fotogrammi, per l'orientamento assoluto è necessario invece fare ricorso a dati esterni alla presa, a punti di posizione nota sul terreno, che ven gono a costituire il vincolo fra la presa, il terreno e la terna di assi del rilevamento.
Concludendo possiamo asserire di avere posto il problema della ricerca dell’orien tamento assoluto di un modello fotogrammettico nel suo aspetto essenziale, che è quello proiettivo, e di averlo posto indipendentemente dalla conoscenza delle rea lizzazioni strumentali che lo possono realizzare.
Anche in questo caso il numero dei parametri da determinare uguaglia, come abbiamo constatato, il numero dei dati da utilizzare, il che è prova della corret tezza del nostro ragionare.