Comunicazione presentata al XII C.N. S.I.F.E.T. - Viterbo, 26-29 ott. 1967 Antonio Dragonetti
Professore ordinario nell'Istituto Tecnico Statale « C. Cattaneo » di Milano
Riassunto. Si analizzano le poligonali geodetiche con lati di parecchi kilometri, oggi molto diffuse per la loro utilità e convenienza economica rispet to alle triangolazioni secondarie. Si dimostra come ad esse si pos sano applicare i metodi di compensazione delle poligonali normali topografiche, se si calcolano le coordinate nella proiezione conforme di Gauss. 1. — Premessa.
E’ noto che le poligonali normali hanno una Iunghezza complessiva di al cuni kilometri e che ciascun lato al massimo raggiunge una lunghezza di al cune centinaia di metri. E’ pure noto che la misura dei lati di tali poligonali si fa con metodi diretti (triplometri, nastri d'acciaio) o indiretti (stadia ver ticale od orizzontale), e che la misura degli angoli si esegue con buoni tacheo metri, come sono la maggior parte dei tacheometri moderni. Poichè si è nel campo topografico, cioè si assume come superficie di riferimento un piano orizzontale, dei vertici delle poligonali si calcolano le coordinate cartesiane ortogonali rispetto ad un opportuno sistema di assi, facendo precedere i cal. coli da una eventuale compensazione empirica o rigorosa.
Non è da molto che gli apparati elettronici nella misura delle distanze (geodimetro, tellurometro, ecc.) hanno consentito di estendere il campo di ap plicazione delle poligonali, che sono diventate più lunghe ed hanno quasi sop piantato le triangolazioni secondarie per la loro grande utilità e convenienza economica. La rivalutazione delle poligonali nei lavori geodetici e topografici é arrivata a tal punto, che attualmente si nota la tendenza a sostituire con le poligonali non solo le triangolazioni secondarie, ma addirittura quelle prin cipali. Oggi con facilità, mediante gli apparati elettronici, si possono misu rare distanze fino a 50--60 Km. Di conseguenza le poligonali possono avere lun ghezze di parecchie decine di kilometri con lati pure di parecchi kilometri, e non é più possibile considerare quesie nel campo topografico, ma in quello geodetico più vasto. Per quanto riguarda la misura degli angoli occorre usare un teodolite, non essendo più sufficiente il tacheometro. Nasce quindi il pro blema di come trattare agli effetti dei calcoli tali poligonali, che si possono chiamare geodetiche per distinguerle da quelle topografiche più corte.
Se una poligonale geodetica congiunge due vertici trigonometrici, cioè. risul ta vincolata, si dovrebbero calcolare dei vertici della poligonale le coordinate geografiche e non più quelle cartesiane ortogonali. Ma, far precedere i calcoli da una compensazione, sarebbe difficile a causa delle complesse formule di geodesia per il trasporto delle coordinate geografiche. Tuttavia, se dei vertici trigonometrici si conoscono le coordinate piane gaussiane nella proiezione con forme di Gauss, allora il problema si riduce a quello delle coordinate cartesiane e non esiste più alcuna differenza di calcolo fra le poligonali geodetiche e quelle topografiche, comprese le compensazioni con i noti procedimenti. Natural mente occorre tener conto che le misure si eseguono sul terreno, cioè sull’ellissoide, mentre 1 calcoli si fanno sulla superficie deformata della proiezione conforme. Occorre cioè apportare agli angoli ed ai lati, misurati sul terreno, opportune correzioni in modo da avere le stesse misure che si sarebbero fatte nel piano gaussiano.
L'utilità di questo procedimento è notevole, tenuto conto che la rappre sentazione conforme di Gauss, con riferimento all’ellissoide internazionale di 20
Hayford, è adottata in Italia non solo dall’I.G.M., ma anche dal Catasto e da tutte le ditte private che fanno lavori topografici e fotogrammetrici. Si tenga presente inoltre che la proiezione conforme di Gauss è stata inserita in quella più vasta proiezione conforme di Gauss «Universale Trasversa di Mercatore (U.T.M.)», adottata attualmente da numerosi Stati Europei e dagli Stati Uniti d'America.
Note le coordinate piane gaussiane, è possibile passare facilmente a quel. le geografiche ed a tutti quegli elementi sull’ellissoide, che si desiderano ot tenere. La determinazione poi delle quote dei vertici delle poligonali si farà, come è noto, con livellazioni trigonometriche. 2. — Applicazione e discussione delle formule di passaggio dagli elementi misu rati a quelli gaussiani.
Occorre premettere alcune considerazioni sulle misure dei lati e degli angoli delle poligonali geodetiche. Sul terreno si misurano angoli fra sezioni normali ed archi di sezioni normali, che nel campo di Weingarten sì possono ritenere uguali agli angoli ed agli archi delle geodetiche sull’ellissoide. Poiché i la proiezione di Gauss è conforme, gli angoli fra due geodetiche, che partono da un punto dell’ellissoide, sono uguali a quelli fra le corrispondenti trasfor mate nella proiezione gaussiana, che si dipartono dallo stesso punto. Non è così per le lunghezze degli archi di geodetiche e delle relative trasformate, essendo queste ultime deformate rispetto alle prime. Inoltre nel piano gaus . siano agli angoli fra le trasformate si sostituiscono quelli fra le corde, che congiungono gli stessi estremi. Si tratta di vedere quindi le formule di pas X saggio degli elementi
Q misurati a quelli gaus siani, studiate dal Prof. | Boaga e pubblicate nei È testi tecnici dell’I.G.M. A, [1]. En Lac EA i Ana End Ei Ai i Eta Ì Ei Ai t4/75 E, Aci Ei-4 E3 P n. €3 La £ . A, 7% \\l Ei A, | O Y 26 fig.1
A questo scopo si consideri, come esempio, una poligonale aperta vincolata P. Ai Az, Az; cer Apo Ai4n e Aoc An, Q e sviluppata nel piano gaussiano di un . determinato fuso dell’ellissoide {(v. fig. 1). Siano P, A, An, Q i vertici trigono metrici, dei quali si conoscano le coordinate piane gaussiane; A., As, ..., Arr Ay Aj+13 +» An 1 vertici, del quali si vogliano calcolare le coordinate piane gaussiane. Come è noto, l'origine 0 degli assi cartesiani è sull’equatore, l’asse delle ordi nate X è il meridiano centrale del fuso e l’asse delle ascisse Y è l’equatore stesso. Si indichino con A,;* gli angoli misurati fra le geodetiche e quindi fra le trasformate, con 1; gli archi misurati delle geodetiche, con A; gli angoli calcolati fra le corde delle trasformate e con, 1’ le lunghezze calcolate di tali corde.
Come si vede dalla fig. 1, per avere gli angoli fra le corde occorre calco lare le riduzioni angolari £, che sono date dalle formule: (Xi — Xi) Vai (Xi — Xi4 i) Yi (1) (e) = ——_—_————_—_——— (e) = —_____, 2 N’, Q, ATC 1” 2 N”, QU, ATC 1”
Nelle (1) le ordinate y’ ed y”, sono quelle dei punti, posti ad un terzo dei lati l;-, ed l; a partire dal vertice A;; analogamente gli elementi di curvatura delle grannormali N',, N”, e dei raggi del meridiano %Q', 2”; si calcolano per le latitudini degli stessi punti e precisamente: , 2Y; + Vi o 2Yi tVisi , 20: + pi , 2 Di + i+
Vi = ——————€&€& Vi E e eee pi = e «—n——__ (pi = a Ie 3 3 3 3 Gli angoli fra le corde si ricavano con la formula: (2) A’; = A; | e, — eg.
Le riduzioni angolari e, che vanno prese col loro segno e si considerano sempre dall'arco della trasformata alla corda, sono dell'ordine del secondo. Se, per esempio, sulll’ellissoide si prende un fuso di 6° di ampiezza (come si fa nella cartografia italiana ed in quella mondiale U.T.M., dove si adottano fusi di 6°) e si considerano due lati di 10 Km di lunghezza massima, paralleli al l’asse X e posti alla latitudine media per TItalia di 42°, uno vicino al meri diano centrale e l’altro all'estremo del fuso, si ha per l’ellissoide internazionale:
X; — Xi-1 = 10.000 m yi = 10.000 m e” = 0,254”
Xx — Xi = 10.000 m Vi = 250.000 m e = 6,342”,
Le lunghezze delle corde, che sono praticamente uguali a quelle delle tra sformate (v. [1] e [2]), si determinano con le formule:
V; +Vi4r + Yi Viti (3) PV; = m]}* m= 1l+ -———_—__, | 6 Nm Qm essendo m il modulo di deformazione lineare valevole per differenze Vis — Vil non superiori a » 60 Km [3], Nm e 9Qm gli elementi di curvatura calcolati per la latitudine media. Come per le riduzioni angolari, considerando gli stessi due lati di 10 Km, uno vicino al meridiano centrale e l’altro all'estremo del fuso, si hanno per il modulo m i valori: | Yi = Via, = 10.000 m m = 1,0000012 Vi = Visa, = 250.000 m m = 1,0007687, l'ultimo dei quali è già abbastanza grande. Come si vede dalle formule (1), (2) e (3), per passare dagli elementi mi 21
surati sull’ellissoide a quelli piani della proiezione gaussiana occorre conoscere le coordinate gaussiane dei vertici della poligonale. Queste si determinano in via approssimata, compensando la poligonale con gli elementi misurati nel noto modo empirico (eventualmente sarebbe bene dare una prima correzione gros solana agli angoli ed ai lati, assumendo per i calcoli i valori che si ricavano da una rappresentazione grafica della poligonale). Corretti gli angoli ed 1 lati, si una rappresentazione grafica dell poligonale). Corretti gli angoli ed 1 lati, si procederà ad una compensazione rigorosa col metodo dei minimi quadrati.
Se in particolare si considera una poligonale geodetica all'estremità di un fuso, può darsi che la poligonale si sviluppi a cavallo fra due fusi adiacenti. Qualora si verifichi questo caso, dopo aver fatta la compensazione nel fuso | della parte maggiore, occorre ritornare sull’ellissoide col trasformare le coor dinate piane gaussiane della parte minore nelle geografiche e poi ritrasformare queste nelle gaussiane riferite al meridiano centrale del nuovo fuso. Questi calcoli sono facilitati dall'uso dei testi tecnici dell'I.G.M. [1]. Prima di procedere alla compensazione rigorosa, come si vedrà nel pros simo paragrafo, occorre però accertarsi che i coefficienti di riduzione, determi nati con le coordinate gaussiane approssimate, non diano luogo ad errori su periori a quelli delle misure eseguite. Anzi, fissata l’approssimazione delle coor dinate gaussiane provvisorie e fissati gli errori delle misure sul terreno, si potrà calcolare la massima lunghezza dei lati della poligonale consentita dal metodo proposto. i
Si prendono in considerazione dapprima le riduzioni angolari. Differenziando la prima delle (1) e ponendo per semplicità N = p = a, si ha: Vi (Ax; — AXi-1) (X} — Xi-1) ÀAyi (4) AES SZ E + e e)e. 2a° arc 1” 2a° arci”
Dalla (4) si ricava facilmente: 2a arc 1”. AUsi AX; — Ax; Xi — Xe SS Tee YA °/&ZAY__—_ « AY: AY;i Anche ammettendo y; = 250 Km (estremità del fuso di 69°), A” = 0,5”, Ax, — Ax, = Ay,= 100 m = 10 Km, si ottiene: 2 (64 . 10°) x 0,5 250 x 10 Xx — Xx-1 2 —————— ——— — ——_— 2048 — 250 = 1800 Km, 2 x 10° x 10 10-' al cui valore corrisponderebbe un lato di lunghezza superiore senz'altro a quelle usate nelle applicazioni pratiche.
Si analizza ora il modulo di deformazione lineare. Ponendo Nm = pm = a, si ottiene in modo analogo dalla (3): 2Y: + Viti 2Vign + Vi (5) Am = ——_—_ Ayr. + —_T___AViw. 6 a? 6 a° Se si pone Ay; = Ayjx,, la (5) diventa Vi +Yit 2y:+ (Via — Va) 2Y: vini Yi AM = ——— Aya ———————_ 4yg = 49 +-——_— A, 2a 2 a? 2a? 2a? dalla quale si ricava: Am » 2a? Vai, TIE TTT 2Y. AyYi 28
Anche ammettendo Am = 10° (errore relativo degli apparati elettronici più precisi), yy = 250 Km, Ay; = 100 m = 10” Km, si ottiene
Yigg Wi 2 e —_—_———— — 2 x 250 = 819,2 — 500 = 3192 Km, 10-! valore di molto superiore a quello ammesso di .- 60 Km per l'applicazione della seconda formula delle (3). È 3. — Compensazione rigorosa delle poligonali. Apportate le correzioni agli angoli con le (1) e (2), calcolate le lunghezze del ; le corde con le (3), si hanno tutti gli elementi delle poligonali nel piano gaus siano, come se fossero stati misurati direttamente. Quindi è possibile proce dere alla compensazione rigorosa con il metodo dei minimi quadrati, com pensazione che si rende necessaria nelle poligonali geodetiche. Infatti se la compensazione empirica è sufficiente per le poligonali normali, non lo è per quelle geodetiche. Si citano alcuni testi, nei quali è trattata la compensazione rigorosa delle poligonali chiuse e aperte vincolate, come quelli del Prof. Cicco X ‘ l p ti ss” I (AAN= $ } pina] AF À, tt ' ia An . (AA) À. {n.4 0 fig. 2 Y netti [4] e dello scrivente [5]. Pure dallo scrivente sono state risolte in alcune memorie altre poligonali caratteristiche, come la « Compensazione di una poli gonale aperta senza punti noti» [6] e la « Compensazione di un nodo di po ligonale » [7].
Nel presente studio, con riferimento alla fig. 2 analoga alla fig. 1 ma senza le trasformate per maggior chiarezza, si espone la compensazione di una poligonale aperta vincolata secondo gli sviluppi dati da O. Eggert [8]. Poiché si hanno tre misure esuberanti, due angoli ed un lato, si hanno di conseguenza tre equazioni di condizione, delle quali una angolare e due laterali. Indicando con A, 0, 1 gli angoli, gli angoli di direzione ed i lati compensati, le tre equazioni di condi zione risultano:
TTAT TT} (Ax0) — (AP) + s + 1800 £ Soto Ò (6) Il sen BI — Ya — yi) = 0 [1 cos 0] — (Xx — x) = 0, essendo s un determinato numero intero. Se agli elementi compensati si sosti tuiscono quelli calcolati A’, 0’, l’, si ottengono gli errori di chiusura angolare e laterale: A = [A] — | (A,0) — (AP) + s. 1800 | (7) Ay = [sen Bl—- (ya yi) Ax = [T' cos @] — (x — x;). | 29
Si fa dapprima la compensazione empirica degli angoli, ripartendo l'errore
A in parti uguali fra gli angoli. Se a ciascun angolo si somma la correzione — -—, ottenendo gli angoli compensati empiricamente A 7 A” = A’ —_ , n e si pone A = A” + 6a, l'equazione di condizione angolare assume la forma semplice: (8) [$a] = o. Occorre ora semplificare anche le equazioni di condizione laterale. Indi cando con 0” gli angoli di direzione compensati empiricamente e posto 1=l+òl 0=0" + 60, poiché i residui gl e $0 si ritengono tanto piccoli da poterne trascurare i qua drati e le potenze superiori, Ie due equazioni di condizione laterale risultano [(' + 61) sen (0” + 50)] — (ya —y) = 0 [(1'+ dl) cos (0” + 60)1 — (xx —x%) = 0, che con òvvi sviluppi diventano: [sen 0” +. gl] + [Ycos@” .;9]+Ay=0 [cos 0” . $1] — [l sen 0”. 601+A4'x=o, dove A’y = [Il sen @”"] — (ya — yi) e Ax = [TY cos 0@”] — (xx — Xx) sono gli errori di chiusura laterale, ottenuti con gli angoli di direzione 0” compensati empi ricamente. Tenendo conto che 50, = ban 50: = 8a + Baz + 6001 = bw + dar + + + dan ed essendo [$a] = 0, si ha sostituendo e sviluppando: [I° COS g°” e 691 —_ I, COS 9”, o Ò 01 + 1. COS 0”, (801 | 602) |- secco + lat COS Oni (6a: + da + een d0n-1) = [x . 6a)] [Y sen 0” +. 80] =; sen” è. far + la sen 0" (San + Baz) +. + Piet sen Oa (da | da Lo Leeso + È ata-1) i [y' . da] [sen 0” . 51] — [x -. 6a1 + Ay= 0 [cos 0” . 611 + [y' è» dal + Ax=o. Se si fa una traslazione degli assi cartesiani, portando l'origine nel bari centro dei vertici della poligonale di coordinate [y'] [x'] Y»à= ——— Yà= ——- n n e si indicano con y"=y—y, e xX”=XxX—x le nuove coordinate, poiché [vo © Sal = [xo + ga] = 0, si hanno le tre equazioni di condizione nella seguente forma lineare (i residui $g si esprimono in secondi sessagesimali): [sen 0”. gll — [X” è» ga” arc 1"] + A'y = 0 (9) eos fY” è. sIl + [y” è. ga” arc 1"] + A°x = 0 [6a] = 0. 30
Per i calcoli successivi, cioè per ricavare le equazioni correlanti con i correlativi Ki, K., K: ed i residui incogniti &1l, $L, ...., Sh-, San Saz -—«-» Sas Conle equazioni correlate, si procederà nel modo suggerito dal Cicconetti [4], assumendo i pesi degli angoli uguali ad uno e quelli dei lati inversamente proporzionali ai quadrati dei lati (praticamente gli errori dei lati si possono ritenereproporzionali ai lati stessi). Però nelle equazioni correlanti, essendo [y”"] = [x"] = oe mancando il termine noto nella terza equazione di condizione, saranno nulli icoefficienti del correlativo K; nelle prime due equazioni e la terza risulteràK: = o. In definitiva il sistema correlante si ridurrà a due sole equazioni condue correlativi e con notevole vantaggio nei calcoli.4. — Considerazioni sulla validità della compensazione.Per maggior comprensione degli argomenti esposti si consideri la stessa poligonale geodetica della fig. 1, sviluppata sull’ellissoide. In luogo delle coordinategeografiche dei vertici della poligonale si considerino le coordinate geodetiche‘rettangolari X e Y, che praticamente sono le coordinate cartesiane del piano.Dalle (7), tenendo conto dei valori misurati sul terreno, si hanno i seguentierrori di chiusura angolare e laterale:cio) | AT TAI — | (Ax0Y} — (AP) x s + 180° — [a] |A*y = [l*seng*] — Yn + [Sy] A*x =’[1* cos d*] —(Xn — dx).Nella prima delle (10) sì è tenuto conto della convergenza dei meridiani [q],nella seconda si è considerato il restringimento dei meridiani [gy] nel passaggio dal vertice A, a quello A,, e nella terza si è diminuita la coordinataXn di $x per il fatto che A’n si trova un po’ al disopra del parallelo di An.Infatti, considerando la fig. 3 e tenendo conto di note formule di geodesia,N ri NI 70ieAn "I{ \ ILE.i 7Ai /(dàx Ì ih A .Ci : A *i \Xdh,xi, |i A LaP VaifaMeatI) Fig. 3sì ha per la convergenza dei meridiani:i=n-l” 0 Ii + pi[al = (Zia — è) sen ——TT—__—_—__.2i=ldl
Sommando, si ricava i=sn—- 1 [qal= Ya N_ > (Lit e), i=1l e quindi: i (11) A = [A*] — i (AnO)* — (A;P)* x s è. 180° — [q] — A*.
Considerando la seconda delle (7), si ottiene:
A, = [ml1* sen 0* + (e y) J_- m Va + [xl A, = [ml* sen @*] + [m 1* cos f* . (e— mM] —m' | y + 81}, | Poiché [ml* cos 0* ». (et Y)] = -+ 0, si ha: (12) A, = [ml seno — m' fy, + (81 {= — Ay*°.
Analogamente dalla terza delle (7) si ‘ricava: l
A, = [ml* cos } 0 + (e — y) { Im $)= = [ml* cos 0*] — [ml* sen @* . (st Y)Il-m(Xkx Ss). Poiché [ml* sen 0* . (e— yY)] = + 0, si ha: (13) A, = [ml* cos g@*] — m° (Xi — gi) = — A;
Si conclude che la compensazione di una poligonale nella proiezione con forme di Gauss non modifica praticamente quella che si otterrebbe operando direttamente sull’ellissoide.
Si porge il più vivo ringraziamento al Prof. Mariano Cunietti per i pre ziosi consigli avuti nella stesura della presente memoria.
BIBLIOGRAFIA [1] Istituto Geografico Militare - Collezione di testi tecnici: a) Sulla rappresentazione conforme di Gauss - II ediz. - Firenze - 1943; b) Sulla rappresentazione conforme di Gauss - Allegati - Parte I - Tavole numeriche riferite all’elissoide di Hayford - Firenze - 1942; c) Sulla rappresentazione conforme di Gauss - Allegati - Parte II - Tavole ausiliarie per il calcolo delle coordinate conformi e della convergenza dei meridiani con riferimento all’ellissoide di Bessel - Firenze - 1942; d) Sulla rappresentazione conforme di Gauss - Allegati - Parte III - Applicazioni - Firenze - 1942. | [2] G. Inghilleri - Sulla compensazione delle figure ellissoidiche trilaterate per mezzo della rappresentazione piana conforme. Bollettino di Geodesia e Scienze Affini - A. XVI - n. 4, 1957. [3] Carmelo F. Aquilina - Lezioni di Topografia - Casa Editr. Cedam - Padova - 1962-63. [4] G. Cicconetti - Trattato di Geodesia e Topografia - Vol. II - Casa Editr. Dott. Fran cesco Vallardi - Milano - 1938. [5] A. Dragonetti - Esercizi di Topografia - Edizioni Libreria Cortina - Milano 1957. [6] A. Dragonetti - Compensazione di una poligonale aperta senza punti noti. - Rivista del Catasto e dei Servizi Tecnici Erariali - n. 4, 1955. [7} A. Dragonetti - Compensazione di un nodo di poligonale. Rivista del Catasto e dei
Servizi Tecnici Érariali. - n. 1, 1957. | 18] O. Eggert. - Die Ausgleichung von Polygonziigen nach der Methode der Kleinsten
Quadrate. « Zeitschr. f. Verm. - 1928» S. 657-675. dò