OSR OSA OAR OAS SRO SRA SOR SOA SAR SAO ARO ARS AOR AOS ASR ASO 6 6 6 6
Le disposizioni di classe 32, D4,3, sono 24, cioé 4x 3x2. Riepiloghiamo: D4,1 = 4 D42 = 4x3 = 12 D4,3 = 4x3x2 = 24,
Passando alla formula generica possiamo scrivere:
Dnr = n (n—-1) (n—-2) .... (n—r+ 1).
Il numero delle disposizioni di n elementi, presi ad r ad r, cioé di classe r, è dato dal prodotto di r numeri interi consecutivi, decrescenti a partire da n.
Così: D 10,4 = 10x9x8x7 = 5.040
D 205 = 20x19x18x 17x16 = 1.860.480.
Si è precisato che rs n; prendiamo r = n; per n= 4, r = 4: D44 = 4x3x2x1.
In termini generici possiamo scrivere:
Dnn=n(nT—1) (N—-2).... 3.2.1.
Dn,n si indica con Pn e si chiama permutazioni di n elementi. Pn indica il numero dei gruppi che si possono ottenere da n elementi prendendoli tutti insieme e ordinandoli in tutti i modi possibili. Pn si scrive anche n! oppure in (*)
Il fattoriale di un intero positivo n è il prodotto dei primi n numeri na turali. Esempio: 5! = 1.2.3.4.5.; 31 = 12.3.
Per convenzione si pone 0! = 1.
Adesso vogliamo vedere quanti gruppi si ottengono da n oggetti, presi a rar, qualora si considerino gruppi distinti solo quelli che hanno almeno un elemento diverso.
Nelle disposizioni, 2 gruppi venivano ritenuti distinti, e come tali con tati, anche se avevano elementi uguali posti in ordine differente. In questo caso (*) E si legge fattoriale di n. 50
invece più gruppi aventi elementi identici vengono considerati un gruppo unico ‘e contati una sola volta. I raggruppamenti di questo tipo vengono chiamati combinazioni di n ele menti classe r, e si indicano con Cn,r. Nello schema precedente si è veduto che D4,3 era costituito da 24 gruppi; di questi però 6 erano composti dalle lettere ORS, 6 dalle lettere AOR, 6 dalle lettere ARS e 6 dalle lettere AOS. Pertanto le 6 disposizioni ORS, e anche le altre, debbono essere considerate una combinazione sola. Inoltre le 6 combinazioni di ciascun gruppo altro non sono che P3, cioé tutte le possibili permutazioni che si possono ottenere con le 3 lettere formanti il gruppo stesso. Per ottenere il numero delle combinazioni basterà pertanto dividere D4,3 per 6 cioé per P3. In lettere possiamo scrivere: . Dn,r Cnr = ——_ Pr Si può anche scrivere: n(n—-1) N—-2) .... (o—r+1) | Cnr = 111/121) r! | In conclusione: il numero dei gruppi, differenti per almeno un elemento, che si possono formare da n elementi presi r alla volta, o combinazioni di n elementi di classe r, è uguale al rapporto fra il numero delle disposizioni di classe r ed il numero delle permutazioni di r elementi. Cn,5 = (Î ) che si legge enne su erre. Esempio: trovare il numero delle disposizioni e delle combinazioni di quarta classe di 6 elementi. Posto n = 6; r = 4: D6,4 = 6x5x4x3 = 360 P4 = 1x2x3x4 = 24 C6,4 = 360: 24 = 15 Esempio: Esprimere il numero delle combinazioni di 52 classe di n elementi: D Dn, 5 n(n-1) (n-2) (n-3) (n-4) Cnr =(z) = ——_—___ zz ———_—_—_—t ” P5 5! Enunciamo senza dimostrarli ì seguenti teoremi: l° - il numero delle combinazioni di classe r di n elementi è uguale al nu mero delle combinazioni della classe complementare (n-r): n) _ n | rio l n-r 20 - il numero delle combinazioni di classe r di n elementi è uguale alla somma del numero delle combinazioni di classe r di n-1 elementi e di quello delle combinazioni di classe r-1 di n--1 elementi: nu = (P1) (Ni | T n r}t r- 1) Elementi di calcolo delle probabilità. Si dice probabilità matematica di un evento il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al suo verificarsi e il numero dei casi possibili, purché tutti SI __ °° _—rrr_cr<_rrr———YY__TT m6m&6\\NM\MOMO\UV VU lieoIEHA) }—)e) ) ) )IIIÒ:Òo:ooGoGoG]]N ‘}O0e
tutti siano ugualmente possibili.
Se chiamiamocon K. il numero dei casi favorevoli e con Z il numero dei casi contrari si avrà:
K+Z=W W è il numero dei casi possibili.
Se p è la probabilità che ha l'evento di verificarsi e q quella di non acca- | dere jin una prova, si avrà:
K Z ! ps= —_ €dA=3—_-- W W
La probabilità di un evento è sempre una frazione propria. La somma della probabilità favorevole e di quella contraria è uguale all'unità:
K Z pta=-—+— = 1 W W da cui qa=l-pep=l_-aqa |
Esempio: qual'è la probabilità che lancaindo un dado si ottenga il numero 2? Le facce del dado sono 6; su una di esse è segnato il n. 2; l'evento favo- | revole (uscita del 2) è 1; i casi ugualmente possibili sono 6; p è pertanto ugua le a 1/6. Gli eventi contrari sono costituiti dalla uscita degli altri 5 numeri: q è quindi uguale a 5/6: p + q = 5/6 + 1/6 = 1. Teorema delle probabilità totali. | |
Si chiamino E, E., E, E.,, E:, E, l’uscita delle facce di un dado segnate, come è noto, dai numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6. Si esegua una sola prova: l'uscita di un numero, poniamo il 3, esclude la sortita degli altri. Allora noi diciamo che i 6 eventi, nella estrazione del tipo ipotizzato, si escludono a vicenda, sono cioè tra loro incompatibili.
Come abbiamo più sopra veduto, la probabilità di ottenere uno dei 6 numeri è uguale a 1/6; chiediamo qual'è la probabilità, che sempre in una sola prova, esca il numero 2 oppure il n. 3,
Evidentemente i casi possibili rimangono 6, quelli favorevoli sono 2 aventi ciascuno probabilità 1/6, cioè l'uscita del n. 2 o del n. 3. La probabilità del. l'evento ipotizzato, giusta la definizione di probabilità matematica, si è vedu to essere il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili.
La probabilità cercata è pertanto: 141 } 6
L'esempio altro non è che l'applicazione del teorema delle probabilità totali che dice che se due eventi E, E., si escludono a vicenda tra loro, la probabilità che si verifichi l'uno o l’altro è uguale alla somma delle rispettive probabilità.
Naturalmente la legge è valida, anche nel caso che gli eventi incompa tibili, invece di essere 2 siano n.
Teorema delle probabilità composte.
Perché, gettando due dadi, si possano ottenere dodici punti, occorre che si ottengano 6 punti da ciascun dado. 32
Se chiamiamo con E l'evento 12 punti, è evidente che esso risulta dal concorso dell’avverarsi di un 6 nel primo dado (Evento E.) e dal verificarsi di un6 nell'altro dado (Evento E.).Inoltre il verificarsi di un 6 in un dado è indipendente dal verificarsi diun altro 6 nel 2° dado.L'evento E risulta pertanto dal concorso degli eventi E, e E. fra loro indipendenti.Vediamo qual'è la probabilità di ottenere il 12.La probabilità di ottenere 6 dal primo dado è 1/6, la probabilità di ottenereun 6 dall'altro dado è uguale ancora ad 1/6.I casi favorevoli sono 1x1 perché il 6 del primo dado deve combinarsi conl’unico 6 del secondo dado.I casi possibili sono invece 6x6 perché ciascun valore del primo dado puòcombinarsi con ciascun valore del secondo dado.La probabilità dell'evento E è data dal rapporto del numero dei casi favorevoli rispetto al numero dei casi possibili, cioè dal prodotto delle probabilitàdi ottenere il punteggio 6 da ognuno dei due dadi:1/6 x 1/6 = 1/36Enunciamo la legge che con l'esempio abbiamo voluto chiarire: il teoremadelle probabilità composte. Le probabilità di un evento E risultante da piùeventi E,, E., E; ... indipendenti tra di loro (tali cioè che il verificarsi dell'unonon influisca sul verificarsi degli altri) è uguale al prodotti delle probabilità deglieventi componenti E.,, E., E: ...Frequenza.Si ‘abbia un sacchetto con m palline bianche e b palline nere. Abbiamo giàveduto qual'è la probabilità matematica di estrarre, in una prova, un coloreo l’altro. Supponiamo di ignorare tale probabilità. Si eseguano dal sacchettoun numero s di estrazioni. Le estrazioni debbono avvenire togliendo una pallinae, una volta vedutone il colore, rimettendola nel sacchetto in modo che laprobabilità di estrarre la successiva pallina, bianca o nera rimanga costante.AI termine delle s operazioni si saranno estratte r palline bianche e t pallinenere, in modo che r+ t = s.Il rapporto r/s è detto frequenza relativa di una pallina bianca e t/sfrequenza relativa di una pallina nera. L'esperienza insegna che in unaserie di prove ripetute un gran numero di volte nelle medesime condizioniciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa che èpress'a poco uguale alla sua probabilità teorica. L’approssimazione ordinariamente cresce al crescere del numero delle prove.Tale caratteristica viene chiamata legge empirica del caso.Le palline si è detto, debbono di volta in volta essere ricollocate nel sacchetto. Possiamo però immaginare un sacco contenente un numero infinito dipalline; in questo caso le estrazioni, per quanto numerose ,anche se non ripostenel recipiente non ne modificano la composizione. Così ci si comporta quandosi vuole studiare la frequenza, e da essa risalire alla probabilità matematica,di un certo carattere in una popolazione numerosa.Quando per esempio si vuol ricercare la distribuzione di un carattere somatico (altezza, colore degli occhi, ecc.) nella popolazione italiana, in genere nonsi ricorre alla misura di quel carattere in tutti i componenti la popolazionema in una sola parte di essi.Una volta che si è misurato il carattere di un individuo estratto a sortedall'insieme, questo viene escluso completamente dalle successive estrazionidò
senza che le misure effettuate sugli individui successivi ne subiscano qualche influenza.
Noi possiamo, per rimanere nell'esempio, considerare la popolazione come un sacchetto con un numero infinito di palline e le estrazioni altro non sono che un modo per valutare la composizione delle palline nel sacchetto stesso. Si chiama universo la massa infinita di elementi dal quale si suppone derivata una esperienza assimilabile ad estrazioni ed è detto campione il numero delle prove eseguite a caso nell'universo.
La legge empirica del caso non afferma senz'altro che in molte prove la frequenza relativa di un evento è uguale alla sua probabilità teorica, ma esprime una tendenza approssimativa.
Esiste comunque un legame tra frequenza e probabilità e la prima è una misura più o meno approssimata della seconda. La maggior o minor approssi mazione con la quale da misure empiriche sì può risalire a grandezze teoriche dipende dall’ampiezza del campione e dalla sua variabilità.
Per scoprire il legame esistente tra probabilità matematica e frequenza occorre studiare il problema fondamentale delle prove ripetute. Facciamo un esempio: in una popolazione caucasica (di razza bianca) gli individui pre sentano occhi chiari e scuri. Se assimiliamo la popolazione ad un sacchetto di palline bianche e nere la probabilità di scegliere a caso un individuo con occhi chiari è p, mentre q è la probabilità contraria di scegliere individui con occhi scuri: p+ q= 1
Dalla popolazione si vuole estrarre un grande numero di campioni ciascuno costituito da cento individui. Ogni campione è assimilabile a cento estrazioni a caso da un universo infinito.
Diciamo che se l'individuo estratto ha occhi chiari si è verificato l’evento E, che ha probabilità p, se invece ha occhi scuri si è verificato l'evento F con pro babilità q.
I singoli campioni possono presentare una composizione rispetto al colore degli occhi molto diversa.
Si può avere un campione in cuì tutti 1 soggetti estratti presentino iridi scure, oppure novantanove irìidi scure e una chiara, 98 iridi scure e due chiare, e così di seguito fino a 98 individui con iride chiare e 2 scure, 99 chiare e una scura, tutte le iridi chiare.
Gli eventi E e F si possono combinare tra di loro in 101 (n + 1) modi. Vediamo qual’è la probabilità matematica che ha ciascuna delle (n + 1) combi. nazioni che di verificarsi.
Se gli eventi E ed F, contrari, hanno come probabilità p e q in modo che p + q sia uguale a uno, eseguendo n prove, potrà manifestarsi 0, 1, 2, ... n volte il primo evento e, di conseguenza n, ... 2, 1, 0 volte ll secondo.
La probabilità che, in n prove, E non avvenga mai cioè che avvenga sempre F, si determina subito considerando che le prove sono fra loro indipendenti e : perciò il fatto che nella 1a, 2a, ... nima prova si verifichi sempre F è uguale, per la legge della probabilità composta, al prodotto di n probabilità, elementari uguali aq.
La probabilità che in n prove l'evento E non si verifichi mai è uguale alla probabilità che si verifichi per n volte l’evento q.
Primo risultato: qp.
La probabilità che nella prima prova si verifichi E e nelle successive n-1 si abbia F sempre per la legge delle probabilità composte, è pqP-!.
Però noi ci domandiamo qual’è la probabilità che in n prove si abbia una volta l'evento E e nelle altre F. E si può avere sia nella prima estrazione, come nella seconda, nella terza ... nelia n.ma:
Rientriamo pertanto nelle probabilità totali e si ha 54
1P Nt + gp ant + gp qNI +... + a, PANI + pan! = n pas!
Vediamo adesso la probabilità che l'evento E avvenga due volte e l'evento F n-2 volte.
Immaginiamo ancora che nelle prime due estrazioni si abbia l'evento E, nelle restanti n-2 l'evento F. La probabilità è p? qr-.
Però l'evento È si può avere anche nella prima e terza estrazione, nella la e 4a, nella la e n.ma, nella 2a e 3a ecc.
Le manifestazioni di E possono presentarsi in tanti modi quante sono le combinazioni binarie di n elementi, ossia ( 5 ) in base al teorema delle proba bilità totali sl avrà: 3° risultato: | 3 p? qr-? |
Con ragionamento analogo si perviene a: 4° risultato: 3 pì qn3 5° risultato: | 4 pi qn-4 r.mo risultato: ( n rl qu-rbi ” i r1}Po 9 n.mo risultato: | n \ p°! q i n-1 } n + 1° risultato: p®
Poiché ( n = 1 per il 1° teorema cosiddetto delle classi complementari mn nua no (2) (A )=| o )=1
Inoltre si scriverà q° = 1, p} = pe q! = q;si possono effettuare le seguenti sostituzioni:
Do np qpl = 1 ) pi qu-l po=(? )pr q° n Lo sviluppo completo di (p + gq)® = no uno mn n ( O p° q® + | 1 pI qn-! + ( 2 )p° qn-2 + uu È l L Ì no io p' qnI +... (ni )pro q + | n p® q°
Trattasi della somma di n + 1 termini ciascuno dei quali è formato dal pro dd
| . n | dotto di un coefficiente r per la potenza r ma di p per la potenza (n-r) ma di q. |
Poiché| 7 è uguale a| nr ), i coefficienti dei termini equidistanti dal ter mine centrale sono uguali fra loro a due a due. Se n e dispari il numero totale dei coefficienti, essendo essi n + 1, è pari: si hanno allora al centro due coefficienti uguali, se invece n è pari, al centro si ha un termine il cui coefficiente è senza simmetrico.
Lo sviluppo di cui sopra altro non è che lo sviluppo del binomio di Newton si può anche scrivere: n n (p + q) = > po] PPoaP r=o
L’espressione, come si è detto, misura le probabilità che in una serie di n prove si verifichino una qualsiasi delle (n + 1) combinazioni degli eventi contrari E ed F.
Combinazione tipica L’evento E, al suo verificarsi descrive la seguente variabile casuale: valori argom, 0 1 r n-l n n n n n n . Probabilità: p° q” p qr!; p qu; pr q; pr qî O 1 r n-1 n
Le probabilità prima aumentano, poi diminuiscono. Vogliamo vedere, dagli n -+ 1 valori interi argomentali, nelle prove ripetute, quale è quello, che chiameremo r, che ha la massima probabilità di verificarsi.
Si tenga presente che quando l'evento F assume il valore r levento E assume quello contrario di n - r: siamo sempre cioè di fronte alla combinazione degli eventi E ed F.
Si dimostra che Ia possibilità massima si ha quando np+p=r£®np_— gq .
La combinazione è una sola quando np + p e np — q sono frazionali; se invece gli intervalli sono interi consecutivi, con essi si identificano i due valori argomentali cui corrisponde la probabilità massima.
Poiché p e q sono frazioni proprie, se np è intero, anche r = np.
Quando np non è intero, la probabilità massima corrisponde ai due interi successivi, rispettivamente immediatamente inferiore e superiore a np.
Con qualche approssimazione possiamo dire, che nel problema delle prove ripetute con due eventi necessari e incompatibili, di probabilità p e q, la combi nazione più frequente è np che avviene con probabilità: n n(nT— 1)....(n— np + 1) )pro qnt = eee Tr pPP gni Db np! De la quale può anche iscriversi: 0 56
—_—____ p°P qnI np! nq! np si dice combinazione tipica e rappresenta il complesso dei successi (o degli insuccessi) che in n prove ha la massima probabilità di verificarsi. Nel caso particolare in cui p = q = ‘2, np è sempre intero quanto n è pari ed np + p è sempre intero quando n è dispari. Cioè per n pari la massima probabilità coincide con r = np, nel caso in cui n è dispari i due massimi sì hanno per np + p e np — q. Così per ("/2 + ‘2)) e (0/2 + 1/2)? Per n = 6 np = 3, la probabilità massima e unica corrisponde a l’unico valore argomentale di r = 3 cioè al 4° termine dello sviluppo. Per n = 7 np = 3,5 i due max corrispondono np + p cioè 3,5 + 7 = 4 e np —q = 3,5 — !'2 = 3 cioè al 4° e al 5° termine dello sviluppo. Scarto Si definisce come scarto £ la differenza tra il numero r delle volte in cui un evento E si è verificato in n prove e il numero delle volte che avrebbe avuto la probabilità massima di verificarsi: la differenza cioè del numero delle volte in cui è avvenuto l’evento E e la sua combinazione tipica. | {= r— np : Si dice scarto relativo L il rapporto tra lo scarto assoluto e il numero delle | prove eseguite: { r L= —- = —- —p n n La probabilità di uno scarto /è dato da: n! TOT. pap + qua - ( (np + 2)! (nq — Per quanto si è detto in precedenza, l’espressione assume il valore max per = 0 e diminuisce al crescere di 4 In base agli elementi di cui sopra si può enunciare il seguente teorema, detto di Bernoulli. Dato un evento E ia cui probabilità rimane costante e uguale a p, si può ese-. guire un numero di prove n tanto grande che sia prossima quanto si vuole alla { | unità la probabilità di uno scarto relativo — inferiore a un numero positivo e, n piccolo quanto si vuole cioè: r — — pe n in altre parole eseguendo un grandissimo numero di prove la frequenza relativa misura con quasi certezza la probabilità matematica di un evento dato. OT
cu il ” LO)
Î ata) 4 300:1024 mm LD 4 1)? / A \ > +3) / . " ì . _____ 1 10 o \ 20011024 7- curva di gauss 1001024 . _TTTTTTTTT ZE TIT TT —_—_— —<- i 5 4 +3 -2 -1 O +1 +2 +3 +4 +5 . FIG.) Rappresentazione grafica i
Dopo aver definito lo scarto, possiamo rappresentare graficamente, lo sviluppo binominale.
Nel caso in cui p = q = ’2 i termini dello sviluppo, simmetrici rispetto alla combinazione tipica, sono uguali tra di loro. Se p#q i termini simmetrici sono diversi tra loro ma, specialmente quando la differenza tra le p e q è piccola, la asimmetria sl attenua al crescere di n.
Nella tabella si sono riportati gli sviluppi al binomio ('/2 + 1’)? dove a n sono stati attribuiti i valori di 5, 7, 10; le probabilità delle colonne 3, 8, 13, sono state riportate tutte al medesimo denominatore 21 nelle colonne 4, 9, 14; nelle colonne 5, 10, 15 sono rappresentati gli scarti da n p.
Per la rappresentazione grafica, tenuto conto che gli scarti variano tra — n pe + np, si sono segnati sull'asse X gli scarti da — 5 a + 5, sull’asse delle Y si sono riportate le probabilità dei singoli scarti, espresse in 1024.mi.
Dalla Figura 1 risulta abbastanza chiaramente come, al crescere di n, diminui scono le ordinate massime (una o due a seconda che n è pari o dispari) e come nel medesimo tempo si allarghi la base del poligono.
Se sì immagina che gli scarti varino in modo continuo i lati del poligono si fondono in una curva continua a forma di campana.
Se n è molto grande, gli estremi della curva si avvicinano indefinitamente all'asse delle X senza mai toccarlo; la curva diventa asintotica: ciò vuol dire che; per n molto grande, la probabilità di ottenere n successi in n prove è molto pic cola ma non raggiunge mai lo zero.
Curva di Gauss
Poiché è praticamente impossibile calcolare i termini dello sviluppo binomiale, specie quando n è molto grande si sostituisce al valore esatto dei fattoriali, il ‘valore approssimato dovuto a de Moivre e Stirling. nl ner y/2TE Con tali sostituzioni la probabilità della combinazione tipica diviene:
anpa e la probabilità dello scarto £: 1 t° T_T --T-— e i 2npq SETTA i2aqanpa la quale per £ = 0 si riduce alla precedente.
La probabilità dello scarto f è detta formula esponenziale o anche funzione di Gauss.
Si dice funzione di Gauss perché questo matematico dimostrò che secondo essa si distribuiscono gli errori accidentali.
La funzione fornisce, in via approssimata, la probabilità di uno scarto da np, dove np è il valore medio teorico e dimostra che la probabilità di scarti piccoli dalla media è molto maggiore di quella relativa a scarti grandi.
Preme qui sottolineare inoltre il significato di np come media teorica: essa ha la massima probabilità di verificarsi.
La quantità npq viene indicata di solito u? ed è detta varianza teorica, mentre la sua radice quadra u = npq è detta scarto quadratico medio teorico. Esso misura la dispersione dei valori (le volte in cui l’evento E si verifica, distribuendosi intorno alla media) ed è pertanto un indice di variabilità.
E CN * VAT E AI I cp ce DI X -} o +7 60