Dott. Ingg. Antonio Dragonetti e Arutiun Kasangian
Si tratta del caso più semplice delle osservazioni indirette, quello cioè di una sola grandezza incognita funzione di altre grandezze direttamente misurate. La relazione analitica, che lega la grandezza incognita X alle n grandezze direttamente misurate X, X;, ......, Xn risultano in forma esplicita: [1] Xo= f (Xi, Xa, e, Ka).
In generale la relazione analitica è di origine teorica ed è accettata senza alcuna discussione sulla sua veridicità. Le grandezze misurate X, si chiamano determinanti, la grandezza incognita X determinata. Se si vuole che il valore di f risulti definito e calcolabile, occorre che le grandezze X, siano tutte misurabili in maniera diretta o riducibili a misure dirette.
L'operazione di una misura indiretta può essere suddivisa idealmente in tre fasi: definizione della funzione, misura diretta delle grandezze determinanti, calcolo della misura della grandezza determinata. 2. — VALORE VERO ED ERRORE QUADRATICO DI UNA MISURA INDIRETTA,
Poiché le grandezze X, sono ottenute direttamente, di solito con misure ripetute e con risultati diversi fra loro, ci si può domandare: quali valori si dovranno assumere per la grandezza X e per il suo errore medio? Si tenga presente che è sempre possibile determinare delle grandezze misurate X, non solo i valori medi empirici, ma anche 1 loro errori quadratici medi empirici. Se nella [1] si potessero porre 1 veri valori delle grandezze misurate X,;, si avrebbe il vero valore della grandezza incognita X. Ma questo non si può fare. Prima di tutto si dovrebbero teoricamente considerare delle grandezze misurate X, le corrispondenti popola zioni delle misure possibili, introdurre nella [1] tutte le combinazioni possibili dei valori ottenuti dalle n popolazioni e ricavare così la popolazione di tutti i valori possibili della grandezza incognita X, cioè il suo valore medio teorico che coincide con quello vero. Inoltre occorrerebbe che ia f sia una relazione lineare nelle X,.
Poiché delle grandezze misurate X, si conoscono i valori medi empirici X.m, che si possono assumere in luogo dei valori medi teorici e. quindi dei valori veri, il valore più probabile della grandezza incognita X risulta: [2] A —_ f (Kimi Kam, ++10013 Xam). |
Occorre ora determinare l'errore quadratico medio della misura indiretta, che si indica con m,. Sviluppando la [1] in serie di Taylor nell’intorno dei valori medi teorici, si ottiene l’espressione: . | ” 0 dè of [3] X= fa +| —_ | dai + | — | dx +... + | —— | dx + R, dx, , do i dXa , 69
nella quale i dx, rappresentano gli errori delle X,, cioè le differenze fra i valori misurati ed i valori medi teorici, ed R è il resto che contiene tutti i termini di secondo grado e superiore. Poichè gli errori di misura delle determinanti X, sono di tipo accidentale e quindi così piccoli da poterne trascurare i quadrati e le potenze superiori, nella [3] è possibile trascurare il resto R. Essendo [4] dx = X — fm l'errore della misura indiretta X, dato che f, può assimilarsi al valore vero della grandezza incognita, la [3] diventa:
Of i di "0 [5] dx =|-— |dx + [ — | dx +... + | — | dx dx, — dX, ; x, n
Ma delle grandezze misurate X, si conoscono i valori medi empirici X;», di conseguenza nella [5] le derivate s'intendono calcolate per questi valori ed ai dx si possono sostituire gli scarti o residui v. Si ha ° df of " 0f [6] ve {__Jwv+f{[—__ | va +... + a Va; dk |, OX |, ka /, o più semplicemente: [7] v= avi + Dbv +... + Z Vo, la quale formula esprime l'errore della misura indiretta X in funzione lineare degli errori delle misure dirette X,.
Il valore quadratico medio di tutti gli scarti v si ottiene ponendo nella [7] tutte le possibili combinazioni degli scarti vi delle misure dirette. Per definizione esso è dato dalla media dei quadrati di v e risulta: [8] M (v°) = M (a vi + b vi + La + Z Va).
Tenendo conto che M (v°) = m?, e sviluppando il quadrato del secondo mem bro, si ricava: [9] m?, = a? M (vi?) + b?M(V#) + ..... +Z2M(V_) + +2abM(ve vi) +... + 2 az M(Vi è Vi) +
Dato che gli scarti v, si possono considerare come appartenenti a variabili casuali indipendenti, sviluppando la media di un prodotto si ha per la proprietà degli scarti: [10] M (v. v;) = M (vi) . M(v)=o.
Quindi, ponendo per definizione [11] M (vr) = mM?,:, 6, M (vg) = Ma, e ricordando l'origine dei coefficienti a, b, ......, z, si ha infine: 70 |
of od dî \? [12] mi, - (x mi: + a) Mo + verse + TT Mn: Xi 7, da |, 0 |,
La [12] è la formula cercata dell’errore quadratico medio della misura indi retta X in funzione degli errori quadratici medi delle grandezze misurate X,. E’ bene ricordare ancora che la [12] è valida soltanto se le grandezze misurate X, sono indipendenti, cioè affette da errori accidentali. Le derivate parziali, come si è già detto, s'intendono calcolate per i valori medi empirici X;m. 3. — ERRORE QUADRATICO MEDIO DI UNA MISURA INDIRETTA IN PRE- SENZA DI CORRELAZIONI FRA LE MISURE DIRETTE.
Può darsi che alcune grandezze determinanti X;,, misurate nelle stesse condi zioni ambientali, non siano assolutamente indipendenti, ma in un certo qual modo correlate. Se sono correlate le grandezze X;, saranno di conseguenza correlati anche i rispettivi errori quadratici medi m,;. Infatti la correlazione può nascere dal fatto che una medesima caratteristica ambientale influenzi alcune delle grandezze X,, che sono misurate contemporaneamente. Cioè la popolazione delle misure possibili e quindi degli errori di una grandezza risulterà correlata alla popolazione delle misure possibili e quindi degli errori di un'altra grandezza.
Di conseguenza non è più valida la [10] e neila [9] non è possibile trascurare i doppi prodotti. La correlazione si può considerare di tipo lineare entro il limitato campo di variabilità degli errori, che d’altra parte sono piccoli. Invece della [12] occorre applicare la seguente formula: (’) [13] m?, = a? my + b° mM + e + Z° Mn + 2a db rr Ma Ma + + .u60 +2 AZ Fin My My + nella quale si dovrebbero introdurre i valori veri dei coefficienti di correlazione lineare r;;, se con i ed j si indicano le due generiche grandezze correlate. Invece anche dei coefficienti r;; si hanno soltanto dei valori empirici ed approssimati, che la statistica ci insegna a calcolare con l'ipotesi della correlazione lineare fra le popolazioni delle misure eseguite. Si ottiene:
M (v; v;) [14] tjg,i/=
Oi di essendo M (v; v;) il valore medio del prodotto degli scarti, g; € 0; le varianze delle grandezze misurate X, e X,.
Se alcune delle grandezze determinanti X, sono a loro volta funzioni di altre grandezze direttamente misurate ed indipendenti, allora il coefficiente di correla zione lineare r;; va calcolato non più con le correlazioni statistiche, ma con quelle di tipo funzionale. Siano X, ed X, le grandezze determinanti, a loro volta funzioni delle grandezze direttamente misurate ed indipendenti y,, e precisamente: (1) Si consiglia di consultare il libro: M. Cunietti - Corso teorico e pratico delle misure - III Ediz. - Edizioni Libreria Cortina - Milano 1964 - pagg. 403 e seguenti. 7Ì
[15] x = fi (Y1, Ya, «0 Ya, see) x; = fi (Yi, Ya, 04) Var ee).
Il coefficiente di correlazione lineare di tipo funzionale è dato dalla formula: aaa + bb’; +e + SS + [16] fo E ZIÀZÀ=àlil.M}À_M—>.-@«{w{;w;.. Di Mx;
Nella [16] i coefficienti a/,, b', ..., Sk... € 8, D/, ..., Si, +. sono le deri vate parziali delle funzioni f; ed f; rispetto alle grandezze y,, calcolate per i valori medi empirici delle misure eseguite: of, of, di = (—_)n d; = (—Tu dy, dy, Of; 0f, bi = (—_)mn bi = (—_)an d 2 [17] Va 0y; Of; df; sia (—)n S; = (—)n dys dy,
Gli altri termini m,; ed m,; sono gli errori quadratici medi delle grandezze determinanti correlate X;, ed X, m,; gli errori quadratici medi delle grandezze direttamente misurate ed indipendenti y.. 4. — PESO DI UNA MISURA INDIRETTA.
In alcuni casi può essere richiesto il peso p della grandezza incognita X in funzione dei pesi p, delle grandezze determinanti X;. Si sa che il peso in generale è inversamente proporzionale al quadrato dell'errore medio: m?, [18] pae —, mi essendo m, l’errore medio dell'unità di peso, costante cui corrisponde il peso p. = 1. Tenendo conto delle relazioni [19] mi. pi = Mu Pi = Mx po =... = Mn Pa = M% Po = Mo, e della formula [12], si ha: mi mi mM m [20] —— — = a — + b—— + an + 2 —. p Pi P2 Pa Eliminando nella [20] la costante mÈ, si ottiene: 72
x 6 Z b 1) 55,7528 89,9588 83,5168 andata 3) ,749 ,955 ,513 ritorno 4) ,755 ,957 ,917 100,23 m 5) ,151 ,951 514 Calcolare il valore più probabile dell'altezza H ed il suo errore quadratico medio ma, supposto che esista correlazione fra gli angoli azimutali a e £{} (°). N.B. Per semplicità si suppone che i vertici A, B e il piede dell'antenna siano sullo stesso piano orizzontale. Soluzione. Si calcolano dapprima i valori più probabili e gli errori quadratici medi degli angoli a, 8, z e della base b (media aritmetica): N. a Vv Vv IN. B Vv v? 1 55,7528 0 0 1 89,9588 +2 4 2 ,153 +1 1 2 ,959 +3 9 3 3,149 —3 9 3 ,955 1 1 4 ,155 +3 9 4 957 +1 1 5 ,751 —1 1 5 ,957 | —_5 25 1. l'e... dii. —_—_ _rPTTrr_rPrPrP—r_ Pr. Cm=f 55,7528 } [v]}=0 | [vw] = 20 Om=|] 89,9568 TSI [v?]=40 N. Z V Vv? 1 83,5168 +1 1 2 1515 0 0 3 ,9 13 —2 4 4 55917 +2 4 5 1514 —i 1 Zn=| 83,5158 I[v] = 0| [v?]=10 {/ vi 20 ma = * — — = + —— = x 2,248. 10 “ n-l 4 (2) Si consiglia di consultare il libro: A. Dragonetti - Esercizi di Topografia - Edizioni Libreria. Cortina - Milano 1957. 14
mf = è —— = * —— = x 3,168 . 10* i va | IPO i 10 fa n-l ! 4 ma 224 . 10° n °° man = TS È = * 18. 105 vo V5 m6h 3,16 + 10° se min = TE £ ———— = * 1418. 10° sa . yn V5 mi 00 1,58 + 1080. se mon = TT = È ___ = * 0,18. 10° b,.= 100,22 m yn V5 : 0 [v?] /(G1LP+(D n o Mon = È — ——6 = —_ —_ L= #1, 10-mz= 001 m. I n(n-1) _ Pe 2x1 ° i Con riferimento alla fig. 1 si hanno le formule: | b sen GB i E d= — __ H=gdctgz | d = 13142 m sen (a+) e Sn H = 34813 m. a + f = 145,7088. o Il valore più probabile dell’altezza dell'antenna risulta quindi: H, = 34,813 m. Per calcolare l'errore quadratico medio mg sì applicano le formule [13] e [14]. Si ha, tenendo presente che gli errori angolari vanno espressi in radianti: b sen f} ctg z se H = —T ______ m°= amm + bm Bum + Cm a + 0972 +2a bI,6 Mom «Mm sen (a+) dH a = -—— = — H ctg (a+) a = + 304ì a? = 924,77 da 2ab = + 2.186,48 dH H sena ba — = —T_—_———_—___—€@— b = + 35,95 b° = 129240 06 sen f} sen (g+8) dH H C = -—T __ —T C_= + 0,35 c_= 0,12 . ob b TÒ