Comunicazione presentata al XIV Convegno Nazionale della SIFET Francesco Caruso (*)
I livelli che si costruiscono ed impiegano nell'epoca attuale sono i livelli a rammocchiale fisso, i livelli a manicotto con livella a doppia curvatura e gli auto Evelli.
Quindi è tuttora attuale il problema della verifica ed eventuale rettifica dei el da parte dell'operatore in campagna, con apposite operazioni di livella mom: a scopo di rettifica. È noto infatti che i livelli a cannocchiale mobile, e quindi anche i livelli a manicotto, possono rettificarsi con operazioni eseguite da una sola stazione; ma mer i livelli a cannocchiale fisso (del tipo inglese o del tipo con compensatore m.tomatico) è necessario ricorrere ad una doppia livellazione.
La presente nota intende soffermarsi su questo tipo di operazione (doppia \welazione a scopo di rettifica), che anticamente veniva eseguita con il metodo ce a livellazione reciproca da due estremi o con quello della livellazione dal mezzo e da un estremo.
Ma poiché in ambedue i casi si utilizzano misure di altezze strumentali, e difficilmente possono ottenersi con la necessaria precisione, questi metodi — pur comodi per la semplicità delle relazioni algebriche che forniscono la “wura corretta da imporre all'asse di collimazione per la rettifica — sono stati \-mamdonati e ne sono stati consigliati altri similari, quali la livellazione dal mezzo e da una stazione prossima ad un estremo, livellazioni simmetriche con wxroni interne od esterne al tratto compreso tra le due stadie, ecc.
Spesso vengono consigliati metodi con almeno una stazione prossima ad . estremo al fine di utilizzare le semplici relazioni algebriche dei metodi clas .. trascurando l’errore sulla stadia prossima al livello o per procedere ad una wr ma rettifica approssimata da perfezionare per successive approssimazioni.
Fermando l’attenzione sull'argomento, risulta che possono impiegarsi diversi metodi semplici che permettono il calcolo della lettura corretta da imporre per | rettifica con formule altrettanto elementari di quelle ottenute coi metodi “_w
Per determinare e confrontare i diversi metodi sopra accennati, tenendo emo anche della precisione conseguibile, si ritiene opportuno impostare il blema della doppia livellazione a scopo di rettifica nella forma più generale . cedurre da questa i diversi casi particolari, discutendo la precisione consegui mie in ciascuno caso.
Sia C (fig. 1) il centro di un livello che a bolla centrata (o con compensatore ero) abbia l’asse di collimazione inclinato rispetto alla orizzontale dell’angolo . omsiderato positivo verso l'alto.
L'intervallo di stadia x, compreso tra la orizzontale detta ed il prolunga mento dell'asse di collimazione si calcola con la formula: x. GIO: A rigore il valore esatto xo = AB va ricavato dal triangolo C A B in cui, nemendo conto dell'angolo al centro w compreso tra le verticali, risulta: d sen £ Xx) = ————— _ cos (e + ) avendo considerato la distanza topografica d = CB. * Professore nell’Istituto Tecnico « L. da Vinci » - Trieste. DÒ
alla distanza di 100 m). Sarà in mm: (105. 10*) — A XxX = —{_ ———_—<2,. 10émm 6,37 . 10°
Quindi anche in questo caso limite l'errore commesso calcolando x, con .- relazione x = d tg e, cioè trascurando la convergenza delle verticali, è infe dre a 2 milionesimi di millimetro.
Considerando, ora, una battuta semplice — a livella centrata — da una stazione con centro C, ad una stadia collocata su un picchetto P, (fig. 2), l'esatto dislivello tra la quota del picchetto e la superficie di livello (sferica) passante ner GC è:
A pici = la + rn — Xn Sn = hu — di to € — En -«vendo indicato con eu= sn — tu l'errore complessivo di sfericità e rifrazione “siativo alla distanza du. De I > Î Via A == da i] \u ” I 12 \ | \\ | PP ° | uu) / \ \ Fig. 2
Analogamente per una successiva battuta ad una stadia posta su picchetto ?. eseguita dalla stessa stazione e con livella sempre centrata (o con compexn -store libero) talché si possa considerare costante l'angolo £, qualunque sia la :*rezione di collimazione in avanti o indietro, sarà:
A paci = la — deg 18 E — Cn 2 il dislivello tra i due picchetti risulta in valore e segno, indipendentemente da zualsiasi misura di altezze strumentali:
Spie = Apici — Apaci 3 (li — lo) — (di, — dp) tge— (en — C,9).
DÒ
Se da una seconda stazione con centro in C, si batte con lo stesso livello e con le condizioni suddette alle stesse stadie o ad una stadia posta successiva mente sugli stessi picchetti P, e P., sarà:
A pipg = (li — ho) — (dg — dp) igE— (C) — €99)
Dalle due relazioni che forniscono lo stesso dislivello si ricava: (i la D+ lo) (n Co a + C9) figo E llele@@|]e "" di, ° d,, n da + deo La lettura corretta y°, da imporre al cannocchiale nella seconda siazione sulla seconda stadia, affinché l’asse di collimazione risulti orizzontale è: Von = lo — Son = In — dn tg E e sostituendo il valore di tg £ Vo = B (A +ho + La) + (1- 8) Lo + B (en a —6 + €») . . doo IN CUI 3 eee ee—-.__—— dy dyy na d,, v dn,
Nei simboli indicati il primo indice si riferisce sempre al numero della sta zione, il secondo indice al numero della stadia (o al numero del picchetto, se si impiega una sola stadia).
Si osserva che mentre il dislivello A p;j pg € l'angolo e possono essere positivi o negativi, tutti i termini che intervengono nelle formule di tg e e di y°,, cioè letture alla stadia, distanze ed erruri complessivi di sfericità e rifrazione sono esclusivamente valori assoluti.
Indicando con m, la correzione finale per sfericità e rifrazione e quindi con — m, l'errore sistematico che si commette se si trascura detta correzione e con + m, l’errore quadratico medio (accidentale) sulla lettura da imporre, derivante dagli errori accidentali di cui saranno affette le singole letture alla stadia, si potrà genericamente porre:
Va = Vo © M, £ Mm, in cui Vo = B (dg +Fla +W)+1- Ba m, = Ben —en — Ca > Co)
Dalle relazioni che forniscono l’angolo di mancata rettifica e e la lettura corretta y',,, risulta che è possibile la loro determinazione soltanto se il deno minatore di tg e, che è anche denominatore del coefficente 6, è diverso da zero.
Dev’essere quindi: dij — dig — di + dg = (dj — dg) — (dj — d) #0. Pertanto non è possibile determinare y,, se le stazioni sono scelte sull’alli neamento P, P, ambedue esterne e dalla stessa parte, perché essendo in tale caso dj — dg = dy— dg = PP, Ovvero 56
ti rrrTr>r>roOroRroUoùRUò‘R©@]* \@ @>*>M*u k' CcK\1m <.< ||—.—.—.—.—<.. |< Il Èl|<— | ...,.hih<-|
Analoga indeterminazione si ottiene se si scelgono le due stazioni planimetri camente sull'asse di simmetria del segmento P,P, per cui dj, — dg = 0 e dy—- d,= 0.
Escludendo questi casi di indeterminazione e riferendoci a stazioni scelte sal'allineamento P, P,, resta possibile la determinazione della lettura corretta da mporre per la rettifica con i seguenti metodi, salvo particolari condizioni di determinazione che verranno esaminate per ciascun metodo:
I. - Stazioni esterne e da parti opposte al tratto P, P, compreso tra le due stadie. 2 - Stazioni interne al tratto P,P.,. 3. - Prima stazione interna e seconda esterna, dalla parte di Pi. * - Prima stazione interna e seconda esterna, dalla parte di Ra 3 - Prima stazione esterna dal lato di P, e seconda interna. © - Prima stazione esterna dal lato di P, e seconda interna.
Sono casi limiti dei metodi sopradetti quelli classici e cioè: ® - Livellazione dal mezzo e da un estremo. S - Livellazione da due estremi (reciproca).
Al fine di eseguire il confronto tra i diversi metodi possibili, si considererà ossa la distanza d,, alla quale si intende eseguire la rettifica, che è opportuno sa la distanza alla quale si impiega il livello nell'uso normale, e, per brevità di simbolo, tale distanza sarà d’ora in poi indicata semplicemente d, cioè d= dy
Indicheremo poi con appositi simboli i rapporti delle altre tre distanze ri spetto a d di, do da,
Gig Pre Gar Ia d d d
Tali rapporti non sono tra di loro indipendenti, poiché fra le distanze consi terate intercorre una relazione di somma o differenza del tipo * dj *dyg£d,=d roe si trasforma nella seguente sep O e ile 1 = quale dà luogo a 8 relazioni algebriche diverse, numero delle disposizioni complete di bit (i segni + e —) in gruppi di tre.
Ma poiché è stato escluso il caso delle due stazioni esterne e della stessa parte (con il quale si otterrebbe d,, — d,, = d — d,, e quindi — gg + &, + % = 1) e poiché la distanza d deve risultare in ogni caso positiva (le distanze ed ‘oro rapporti sono esclusivamente valori assoluti), escludendo le disposizioni tz segni — + + e — — —, restano possibili 6 diverse relazioni che, come si redrà, corrispondono ai 6 metodi elencati.
Of
Impiegando i rapporti sopraddetti, il coefficiente che interviene nel calcolo della y», si trasforma in
Co — % — do + 1 Errore sistematico La correzione per l'errore sistematico di sfericità e rifrazione, calcolata pre cedentemente, tenendo presente il valore di £} e che 1T-K eggs —___ di 2R risulta Co _. 1,3 _ 05° + 1 ma=se-—_——___———_—_—— a — & — co + 1 Si è indicato con e l'errore di sfericità e rifrazione che corrisponde alla distanza d, cioè 1-K 1-K e= -—d = — d, = €, 2R 2R Nella tabella n. 1 sono riportati i valori di e corrispondenti alle varie distanze, per K = 0,14 ed R = 6370 Km. TABELLA N, 1 Distanza di Errore di sfericità battuta e rifrazione d e m 10 mm 00i 20 0,03 30 0,06 40 0,11 50 0,17 60 0,24 70 0,33 80 0,43 90 0,55 100 0,68 Errore accidentale L'errore accidentale medio m, che compete alla lettura y,, determinata mediante funzione lineare delle letture alla stadia, dipende dall’errore acciden tale m,;, di ciascuna battuta eseguita alla stadia con livella centrata (o compen satore libero) e con stadia verticale. L'errore m,, di ciascuna battuta deriva da: 8
l.- imprecisione nella verticalità della stadia, che provoca un errore m, = C, indipendente dalla distanza di battuta; 2 - imprecisione nell’apprezzamento dell'intervallo di graduazione della stadia (se la lettura è eseguita a stima) o nel puntamento (se la lettura è eseguita con l'ausilio di lastra pian parallela); tale errore risulta proporzionale alla radice quadrata della distanza di battuta, secondo le classiche esperienze di Reinhertz, i cui risultati — almeno qualitativamente — sono normalmente accettati: m, = CVd,. % - imprecisione nel centramento della livella o minima imprecisione nello sta bilizzarsi del compensatore, che provoca alla stadia un errore proporzionale alla distanza: m. = Cd.
Quindi per l’errore medio di una battuta vale la relazione: mi; = mi, + m°, + m°, = Cl, + Cîd, + Cid;
Nelle livellazioni per rettifica, nella ipotesi che siano verificate con la ne ——«saria accuratezza la verticalità della stadia ed il centramento della livella = ciascuna battuta e che le distanze di battuta non siano eccessivamente grandi, | secondo dei tre termini che compongono m?,, può considerarsi prevalente mapetto agli altri, per cui si può porre: m',, = Cd, = quindi mj= Cl Vd,, Con tale ipotesi, l'errore medio accidentale, che compete alla lettura cal colata m°, = bm, + f° my + Rm +(1- BL my susulta mî, = C'[6" (dy + dg + dg) + (1— BYdl
Sviluppando, ponendo in evidenza d, tenendo presente il valore di (} in fun me dei rapporti &,, % a, e chiamando con m l'errore accidentale di battuta = distanza d a cui si intende effettuare la rettifica, cioè ponendo mae Cva, =CVa me ottiene aTuazat ta ta + Mi SID ————_————____—_————__—t__—_—_k on — & — dg + 1
Per ciascun metodo si potrà calcolare l’errore accidentale con cui si deter === la lettura corretta esprimendo uno dei coefficienti a in funzione degli altri, x seconda del metodo che si considera.
Con la guida delle relazioni generali esposte, si possono facilmente studiare x momfrontare i metodi possibili. 59
Metodo n. 1 Livellazione da due stazioni esterne Le due stazioni, come già osservato, devono essere da parti opposte al tratto P, P, compreso tra i due picchetti. Siano scelte le stazioni nell'ordine: S, — P, — P, — S.,. Si ha: dj, + d,, = dg td con d.,, > d e quindi + a %& + ag = l con a, > 1. Siano, invece, scelte le stazioni nell’ordine S, — P, — P, — S, Sarà: z d, +d,=d+d, con d,, < d e quindi + C_- 0 +% = l con &, < l. Pertanto la ultima relazione scritta tra i rapporti resta valida sia per a, > 1 che per a, < 1. Esprimendo a, in funzione di q; ed a, e sostituendo tale valore nelle formule generali si ottiene: 1 8=77— 2(1—- 4) Si ha indeterminazione per a, = 1, ossia d,, = d. Ciò si verifica soltanto se i picchetti P, e P, coincidono. Escludendo tale caso con cui verrebbero a mancare 2 delle 4 letture, abbiamo Lu da da n. Yao = | (dt 2 (1, Hot) +A- 2) ly 2 l— a, I a, m, = e (1+a)>e m a, + mas {{1+ ——___ v2 F (1 — qa Poiché il minimo errore accidentale m, si ottiene per a, ed a, tendenti a zero, converrà adottare esclusivamente la successione S, - P, - P, - S, con cui è a, < 1. Casi particolari. Metodo n. 1 — a — Chiameremo condizione (a) la posizione q; = &, = & Si ottiene: livellazione dall'esterno simmetrica, in cui d,, = d. 1 Sarà = ——T — 2 (1—- a) _ a x | Ya = "2 (1 + O) (Att) + (1- —) 1a | la la 60
Ya = du + ho + la i m= e (1+ 0) m,=my1+2a, > m
Tale metodo offre ìl vantaggio di un calcolo particolarmente semplice per la lettura corretta, analogo a quello per la livellazione dal mezzo e da un estremo, e che è valido qualunque sia la distanza d,,, cioè la posizione della 1° stazione, purché esterna e dalla parte opposta di S,.
Per ridurre al minimo l'errore accidentale converrà scegliere la stazione S, (esterna) prossima il più possibile alla 2° stadia. d Si fissi per esempio: d = 44m. d, = — = 4m. e quindi PP, = 22m, 11 1 per a, = — risulta 11 1 m, = e(1+—)= e. 109 11 — 2 m=m 14+— = m. 1,09 11 Metodo n. 1 - c - Chiameremo condizione (c) quella che soddisfa contempora neamente alle condizioni (a) e (b). Ponendo: a,=au= a= sì ottiene: livellazione simmetrica e con distanza tra le stadie pari a metà i d della distanza di rettifica, con d,, = d,j, = — = P,P, 2 Yo = lu + ha + la m, = e(1+ 2) = e.1,50 m=my2=m.14l>m
Questo metodo è proposto dalla Wild per la rettifica dei propri livelli, per la semplicità della formula che fornisce la lettura corretta.
Si osserva però che lo stesso risultato si ottiene con il metodo 1-b più gene rale; quindi non è necessario che le due stazioni siano simmetriche, anzi per aumentare la precisione della rettifica è opportuno che la prima stazione sia pros sima alla 2° stadia.
Metodo n. 2 Livellazione da due stazioni interne
La posizione delle stazioni può essere nell'ordine P,—S,—S,—P, oppure
P_S,_S, Ps 62
meaem_ = m .0,75
dd, = — con cui f} = 1+—. 11 10 Si ottiene 1 1 Voga = (1+4) (A +le+hb)- — bo 10 10 1 m, = e(1+4—)= e + 1,09 11 6 mm, = mit = m .120>m 5 Metodo n. 3 Livellazione con prima stazione interna a P,P, e seconda stazione esterna (dal lato di P.) La successione delle stazioni sarà nell’ordine: S,—P,—S,—P, e quindi: d,, + dj + d,,=0 con d, +d,
Si verifica indeterminazione per a, + &, = 1 ossia d,,+d, = de cioè se la stazione S, è scelta nel picchetto P,. Ma con ciò si ricadrebbe al limite del caso delle due stazioni esterne e dalla stessa parte, che è stato escluso a priori. Escludendo tale condizione, abbiamo
Do C+ Co | U, + o Cl Vo = A A y + th) + d- ——) kh | LL 1l—-a — 0%, l-a,—4, n C, + do m, = e(1+ —__)>e 1T— 0, — Uo In Ci | Lo n Mm, 3 1 {—_____ V2 | 1a —@,
Casi particolari.
Metodo n. 3 - a - Fissando la condizione (a) cioè a, = «, = a Si ottiene: livel. 66
Infatti se nelle formule ricavate per il metodo n. 3 — d poniamo d,, = P,P, = — e cioè a, = '/2 si ottiene:
Vo, = 2 (At lo +) — ha m, = e (1+ 2) = e è» 1,50 m, = m {5 = m » 2,24
Metodo n. 4 Livellazione con prima stazione interna a P,P, e seconda stazione esterna (dal lato di P.)
E’ analogo al metodo n. 3, ma con successione nella posizione delle stazioni diversa e precisamente: P, — S, — P, — So.
Si osserva che, fissata la distanza di rettifica d, possono scegliersi a piacere le distanze d,, e d,,, mentre resta obbligata la distanza d., dalla condizione: d, = dj, + dg+d con d,, e d,, arbitrari ossia — (O — + a,= l con a, ed «, arbitrari E' quindi opportuno esprimere le relazioni generali in funzione di a, ed g; che sono arbitrari; ricavando o =l+ta +0 e sostituendo tale valore nelle formule generali, si ottiene: 1 8=- 2 a,
Si verifica indeterminazione per a, = 0, cioè se la stazione S, è scelta nel picchetto P, (d,, = ©), con che si ricade al limite del caso delle due stazioni esterne e dalla stessa parte, escluso a priori.
AI di fuori di tale particolare condizione, si ha: 1 1 Ya = — (lr la) +(1+ >) Ia 2 a, 2 a, Co m,=e(1+a, +0, + —) > e x; 3 l+a, mM, = m 1 + —— + — 2a, 20 70
Dalla espressione di m, sì osserva che per ridurre l'errore accidentale occorre operare con valori di a, grandi.l sa, / doEsempio: per a, = 1 cioè d,, = d risulta m, = m 3+-— >my 3Quindi per ottenere valori di m, sensibilmente inferiori a m y 3 occorrerebbe scegliere la distanza d, notevolmente maggiore di d (a, notevolmentemaggiore di 1), con la quale condizione però aumenta molto Yerrore sistematico m,.Pertanto il metodo in esame, che in sostanza corrisponde al metodo n. 3con la variante di utilizzare per la rettifica la stadia più prossima alla stazioneda cui si esegue la rettifica stessa, come risultava intuitivo, non offre praticautilità.Metodo n. 5Livellazione con prima stazione esterna a P,P, (dalla parte di P,) e secondastazione interna.La successione nella posizione delle stazioni sarà: S, — P, — S, — P..Si osserva che fissata la distanza di rettifica d, possono scegliersi a piacerele distanze d,, e d,,, mentre la d,, è obbligata dalla relazioned, = dj +d,y+d con d,, e d,, arbitrariossia:—aqg+a,- a = con a, ed «, arbitrariE' perciò opportuno esprimere ie relazioni generali in funzione di «, ed ,.Ricavandoa=l+t& +e sostituendo tale valore nelle formule generali, si ottiene1g=—- —2Indeterminazione: per a, = O, cioè se la stazione S, è scelta sul picchettoP, (d,, = O), caso limite della livellazione da due stazioni esterne e dalla stessaparte, che è stato escluso a priori.Al di fuori di tale caso particolare, si ottiene:1 1Yo = ——_ My lb) + (1+ —) log2 o 2 %om =el(ltata+_—) > edoTI