Dall'esame di tutti i metodi possibili per determinare, con una doppia livel. lazione allineata, la lettura corretta y', da imporre per la rettifica di un livello a cannocchiale fisso è risultato che in ogni caso detta lettura è: Va =Yp+tMm * m, in cui y,, è calcolata attraverso le letture eseguite alle stadie, m, è la correzione per sfericità e rifrazione, + m, è l'errore quadatico medio accidentale da cui è affetta la lettura calcolata. I metodi esaminati si possono distinguere in 3 gruppi: 1° Gruppo - Metodi (n. 4 e n. 5) che forniscono per la lettura calcolata rela zioni del tipo 1 1 Ya= — hr lil) +14 —) bo 2a 2a a a la da in cui « è, secondo i casi, —— oppure — d d Questi metodi sono risultati di scarsa utilità pratica. 2° Gruppo - Metodi (n. 2—d, n. 3—d, n. 3—e) che forniscono relazioni del tipo do Uo Ya = (14 _) (Agtlotb)- — la 1—-% la, da, sa | che per a, = —— tendente a zero, tende alla espressione più semplice d 1) Yo = — li +la + la con la quale si utilizzano soltanto tre letture e che è analoga alla nota formula della livellazione dal mezzo e da un estremo. Alla relazione 1) si perviene esattamente con i metodi: n. I—b, i—-c, 2—b, 2—c, 3—b, 3—c. 3° Gruppo - Metodi (n. 1—a, n. 2—a, n. 3—a) infine che forniscono relazioni del tipo A OL Vos = 1/2 (1 + ——) (-+lg+1) + (1 vm —__) lo la la d,y d ‘x . . che per a = —— =-—— tendente a zero, tende alla più semplice espressione d d 2) yg= "2 (— Li +Lo + lu + lo) che è analoga alla formula della livellazione reciproca da due estremi. T4
Alla relazione 2) si perviene — e con esattezza — con il metodo n. 6 in genere e n. 6—a in particolare.
La correzione m, per sfericità e rifrazione risulta sempre positiva, sicché :rascurando tale correzione, la y, calcolata è affetta da un errore sistematico negativo, che in valore assoluto è sempre maggiore dell’errore di sfericità e ri :razione (e) corrispondente alla distanza a cui si intende eseguire la rettifica, u quale rappresenta il limite verso cui tende m, quando i rapporti a, ed a, (se condo i casi) tendono a zero, cioé quando si riducono a zero le distanze d,, 0 d,. d I SETT“ | Lug Xa2t ZavtZ2 ' } | 22 Î | . I I e IIC ZI. Salto I ul i Ly (lea J | : pi dr i Ì P. . Arp, P, STES LIE i L--- - dia 2) ln — dn ne 6 | i ) . li Lil | Za22 fa VE —— > 1 . * Var 1, TT Di | E | I 2TArp,P, dies ——_ 3 d ———_——=l Fig.7
L'errore quadratico medio accidentale m, della lettura calcolata può essere maggiore o minore dell'errore accidentale m relativo ad una battuta semplice effettuata alla distanza a cui si esegue la rettifica e precisamente: — nei metodi del 1° e 2° gruppo l’errore è sempre maggiore od eguale ad m — nei metodi del 3° gruppo può essere inferiore ad m ed ha come limite m inferiore il valore —, quando i rapporti x tendono a zero. y 2 TO
Da ciò è evidente che i metodi del 3° gruppo possono offrire maggiore preci. sione ed infatti, fra tutti, il minimo errore accidentale si è ottenuto con il metodo n. 3—a (livellazione dall’interno e dall'esterno con stazioni prossime alle stadie), con il quale però il calcolo della y,, dipende dal rapporto « e quindi dalle distanze d,, = day ne
Ma poiché quasi l’identico errore accidentale minimo sì ottiene con il metodo n. 6, che realizza la formula 2) indipendentemente da ogni misura di distanza, in definitiva il metodo più opportuno appare il n. 6—a e cioè: livellazione dall’ester no e dall'interno con ciascuna stazione prossima al picchetto di numero contrario, il quale metodo offre i seguenti vantaggi. 1) La relazione che fornisce la lettura corretta è molto semplice anche mne monicamente:
Va = 7/2 (— ly + Lo + la + Lo) semisomma di tutte le letture, di cui soltanto quella dalla 1° stazione alla 1° stadia con il segno negativo.
Si osserva che la maggiore economia di lavoro che sembrerebbe offrire la formula 2), la quale tiene conto di tre letture soltanto, è in sostanza soltanto apparente, perché in ogni caso è necessario eseguire la quarta lettura L, per controllare se occorre o meno procedere alla rettifica. 2) Il calcolo della lettura corretta è assolutamente indipendente da misure di distanze. 3) La correzione per sfericità e rifrazione, nei casi in cui è opportuno tenerne conto (livelli di precisione), si calcola molto semplicemente con la tabella n. 1, perché corrisponde esattamente all'errore di sfericità e rifrazione relativo alla distanza tra i picchetti, unica distanza — perciò — che occorre misurare per la rettifica dei livelli di precisione. 4) L'errore accidentale, con stazioni prossime alle stadie, è pressocché il mi m nimo che sia possibile ottenere: —— y 2
Di questo metodo, che è risultato il più adatto, si fornisce una semplice dimo strazione diretta, per superfici di livello piane (fig. 7).
Dalla prima livellazione con stazione S, sul prolungamento dell’allineamento P, P, e del lato della stadia su cui si eseguirà poi la rettifica, e dalla seconda livellazione con stazione S, posta all’interno del tratto P,P,, si ottiene il sistema \ APP, = (yu — Xx) — (la — xo)
APP, = (Ly Xx) — (la Xp)
Eguagliando i secondi membri si ricava un'unica equazione (con 4 incognite):
Xx 0 Xi — Za + Sola lhi +1
Ma poiché x,, = d,, tg e (ed analoghe) e poiché, qualunque siano le distanze d,, e da, è: d;;, = d,, + do + dg 76
si ottiene la eguaglianza x = dy tge = (dyt+d,+t0d,) tg E =XytXyt Xp che risulta evidente anche da semplici considerazioni geometriche. Pertanto la equazione si riduce ad una sola incognita 2 Xo = li la la + la da cul Xog = 2 i la hi + Ia) e quindi la lettura corretta, da imporre al cannocchiale per la rettifica, risulta: Vo = lo — Xo = 2-4 +hatla + Io) relazione indipendente da qualsiasi misura di distanza e da qualsiasi imposizione di rapporti tra distanze. Nota: Con il metodo proposto (n. 6—a), l'angolo di mancata rettifica viene implicitamente determinato con Ia precisione più alta tra tutti i metodi possibili. Difatti, Ia relazione che fornisce tg e, dedotta nelle premesse, si può trasfor mare in IM, tg e = z— — £ Img d in cui z rappresenta il valore di tg e calcolato attraverso le letture alla stadia (trascurando la sfericità e rifrazione) e precisamente: 8 z= — (bile lat lo) d I, -——- rappresenta l'errore sistematico per sfericità e rifrazione, ed mg è l’errore d accidentale che compete a tgg in conseguenza degli errori accidentali di cia scuna lettura. Con le ipotesi già poste (my = c v d;;), risulta m _ _—_________ me= — BY%wt+ta,ta,+1 d Per i diversi metodi esaminati si trovano i valori registrati nella seguente tabella, dalla quale risulta che il minimo di mg si ottiene con il metodo n. 6—a. TI