Valentino Tomelleri de! Politecnico di Milano SOMMARIO - Si generalizzano i classici metodi di intersezione inversa multipla nel piano per via angolare con l’introduzione di una coppia e terna di distanze tra oppor tune coppie di vertici da rilevare. Una sola coppia di lati estremi condurrebbe ad una doppia configurazone, venendo a dipendere, il problema, da una equazione quadratica; un terzo lato linearizza la soluzione. Nel procedimento rientrano oltre ai problemi sem plici ed ampliati di SNELLIUS - COLLINS - POTHENOT, HANSEN, MAREK, i vari metodi di determinazione indiretta di distanze topografiche. 1 - Generalità introduttive.
La gamma delle intersezioni inverse classiche nel piano, tramite esclu sive nuove misure’ angolari, si estende attuaimenie, com'è d’altronde ben noto, dal vetusto problema di SNELLIUS - COLLINS - POTHENOT al più recente di MAREK ampliato con catena di quadrangoli, attraverso le fasi intermedie vieppiù generalizzate dello SnELLIUS multiplo, del problema di HANSEN e dell’originario problema semplice di MAREK (*).
Pur la fase più avanzata, quale appunto il MarEKk ampliato, è subordi nata a condizioni geometriche di concatenamento quadri-triangolare non sempre riscontrabili, anche se alquanto generali, nella realtà del rilievo per le accidentalità del terreno che spesso ostacolano la visibilità fra 1 punti incogniti ed i noti secondo le esigenze dello schema risolvente in que stione. Si richiederebbe, ad esempio, tra l’aliro, che da ciascuno dei due vertici estremi della poligonale, che ci si appresta a rilevare angolarmente, fosse visibile una coppia di distinti punti noti: qualora, però, da un estremo fosse visibile un solo trigonometrico, il dato angolare mancante, stretta mente necessario nel novero delle equazioni risolventi, dovrebbe venir sur rogato da altro opportuno elemento, angolare o lineare, ampliando o ridu cendo la poligonale in gioco, modificando, se del caso, lo schema originario o ricorrendo ad altri possibili procedimenti.
In difetto di altre possibilità angolari, non resterebbe che procedere al rilievo, diretto od indiretto, della distanza corrente tra detto estremo ed il vertice immediatamente consecutivo della poligonale, ritenendosi per lo più inaccessibili, di fatto o per ragioni di comodo, i trigonometrici o punti di appoggio. A favore di una tal surrogazione in extremis, sta la circostanza che la valutazione indiretta della distanza menzionata è spesse volte di fatto una conseguenza del rilievo a poligonale di altri punti secon dari che, per altri motivi, sono talvolta da inserire tra i vertici fonda . (O V. TOMELLERI, « Sul problema di MAREK ampliato con catena di quadrangoli », Rivista del Catasto e dei SS. TT. EE.,, nuova serie, anno XIX, 1964, nn. 5-6, pagg. 266-272. 7
mentali della poligonale angolare originaria da posizionare nel corpus cartografico preesistente.Con una siffatta sostituzione d’una misura longimetrica ad altra angolare, ne nasce un nuovo procedimento di intersezione inversa quadraticanel piano, oggetto di studio della presente nota, comprensivo a sua volta,in condizioni normali, dei già citati MAREK ampliato, ecc.Come spesso avviene in analoghi problemi, la surrogazione d’una misuradi distanza ad una angolare, l'introduzione cioè d’una circonferenza in luogod'una coppia di semirette orientate, altera, in genere elevandolo, il gradodel problema dando così luogo ad vn numero finito di configurazioni geometriche solutrici teoricamente possibili tra cui optare in base a qualcheulteriore elemento ausiliario discriminatore. Elementi siffatti, sovrabbondanti o di controllo, in genere non mancheranno mai in un rilievo ad hoc,sì che qualcuno d’essi potrà essere utilmente impiegato fin dall'iniziodell’elaborazione dei dati, soprattutto là dove si sia in difetto di buoneposizioni approssimate, al fine di semplificare e rendere univoca la soluzione,suscettibile, peraltro, di variazioni a seguito di eventuale compensazionesecondo il metodo dei minimi quadrati. |Ed è appunto in questo senso, determinabilità cioè dell'unica configurazione possibile caratterizzata dal dato discriminatore, che il presente studioprosegue in un secondo tempo, dopo aver primariamente prospettata e discussa la soluzione rigorosa plurivoca derivabile dagli elementi cosiddetti« strettamente necessari », per concludersi, in un terzo tempo, sulle applicazioni alle determinazioni indirette di distanze topografiche quali particolari intersezioni inverse univoche nel piano.Con ciò, non si disconoscono i vantaggi, soprattutto di carattere didattico, come solitamente avviene nella propedeusi topografica, di una presentazione separata delle determinazioni indirette di distanze e delle intersezioni inverse classiche nel piano. Si vorrebbe solo che, in fase di sintesi,fosse giustamente messa in luce le dipendenza di quelle da queste comeloro particolarizzazioni. Equivarrebbe, questo, a riconoscere la validitàdel procedimento proposto quale principio generale informatore di quantoattiene alle intersezioni inverse nel piano ove non vi sia intervento esclusivodi soli dati longimetrici.2 - Sinossi propedeutica.Per maggior chiarezza ed agilità della successiva presentazione e di.scussione del problema, converrà qui premettere, una volta per sempre,una sintesi di notazioni, convenzioni, equazioni, relazioni, ecc. cui far riferimento nei vari tempi della trattazione.Siano dunque, per intanto, (fig. 1):(O; X, Y) il sistema d’assi cartesiani ortogonali, orario da X + ad Y *,cui si riferiranno in genere, salvo casi eccezionali dichiarabili all'occorrenza,i punti del piano interessato (orizzontale, verticale, obliquo, cartografico,ecc.) ove s'ha da risolvere il problema in istudio;Tr= (X:, Yr), (r=1, 2, ..., n-1, n), n trigonometrici o comunquepunti noti(*) del piano predetto, di cui due almeno sieno tra loro distintie di note coordinate cartesiane (X,, Y+) nel premesso sistema;(*) Per lo più propri; in particolari condizioni e situazioni limite, qualcuno potrebbeessere o divenire improprio.9
xi, X tha \ fi \ \ sE | } ' i Intersezione Inversa \ _ \La 2% i i quadratica multipla. l dz } i CPI T, Mis. Ei 3 i i | ch i iL! i i \ : ! pi ì i] i Vo a _ da a i ti TO i, i | . ì . i “in301 e do23 ni ‘en SLA 3% AS VA ing i e A i vi dd, V di VO i Vn-a Vai di ti I / 4 Vila v, d, +1 Via V..2 Va-2 "Ln Vi I a / + xt o 57 pio n fig.1 Vi: = (x, ye) (r= 1,2, ...., n-I, n), altrettanti punti incogniti dello stesso piano, cioè a coordinate (xr, yr), nell’anzidetto sistema, al momento incognite, costituenti gli n vertici (al limite anche coincidenti) della spezzata angolare (propria o degenere, riducibile eventualmente cioè anche ad un punto) da posizionare rispetto ai 77, cui essa s’'appoggia visualmente ed angolarmente, come si andrà ora a precisare.
Tra le due successioni di punti (Vi, Va, ..., Va-,, Va), (Za, 72, ..., In-1, Tn), ugualmente numerose, intercorrerà la corrispondenza ordinata derivante dalla effettiva visibilità (e conseguente direzione angolare) del punto 7» dalla corri spondente (od omotetica) stazione o vertice Vr, una volta ordinata la succes sione delle V- in base all'ordine di effettuazione reale od ipotetica (nel caso di punti coincidenti o di schemi geometrici idealizzati) della generica V..
Ciò premesso ed introdotto nel novero dei Vr e con questi stessi com planare (pur non interessando di determinarne la posizione come per questi) pure un punto Vo (proprio od improprio) opportuno visibile da Vi al solo scopo di definire la direzione origine Vi Vo generica degli angoli misurati in V,, si indicheranno con: (2. 1) ar= Vr-1Vr Tr, (Fr= I, 2, 10) n-l, n), or = VrV, Vr+i, (7 = 1, 2, +00) n-2, n-1) ie 2n-1 misure angolari (orizzontali, verticali, parallattiche, ecc.) effettuate od effettuabili, sul terreno o nello schema geometrico idealizzato, tra le di rezioni ai vertici indicati, in senso orario dalle Vr-1V7 alle susseguenti V:Tr 0 Vr:V:+1, modificate al consueto, se necessario, per le esigenze della eventuale proiezione cartografica utilizzata onde potersi riferire alle direzioni delle corrispondenti corde rettilinee.
Sarà pure conveniente, per l'elaborazione dei dati, assegnare un orien tamento anche ai vari lati in gioco; precisamente, le varie semirette spicca bili dalla generica stazione V, ai vertici circostanti V:-1, Tr, Vr+1 sì intende ranno orientate dal vertice V ai periferici oppure da questi a quello secondo 9
- — che il numero d’ordine r di V+ (a prescindere dalla eventuale coincidenza-limite con altri) sia rispettivamente pari o dispari.
Della prima direzione Vo Vi così orientata da Vo. a Vi sia poi è l'angolo d'orientamento (o di direzione od azimut-rete od anomalia od ascissa angolare o distanza zenitale od altezza angolare, ecc.) rispetto alla direzione origine X + - del sistema cartesiano di riferimento, da computarsi, al solito, in senso orario. Per una maggior concisione di scrittura e regolarità di formule, si ponga poi pure, sinteticamente: s= sinò, Cc = COSÌ, t= tanò, c'o= 0 = go, (2. 2) r oe Zi ali, (r — 1,2, ..., n-2, n-1), i s'= sino'r, c'r = COSO”, tr = tano”, Or — g'r-1 + ar, (7 = 1, 2, see) n-l, n), sr — SIN gr, Cr = COSGr, tr — tanor.
Attesi i convenuti orientamenti dei lati V, 7, Vr Vr, Vr Vr+i spiccati da
V,, è immediato riconoscere che le forme lineari: (2. 3) d + or, Ùù + or non sono altro che gli angoli di orientamento (o di direzione, ecc.), rispetto sempre alla direzione origine X +, delle semirette orientate Vr, Tr: e V, V+41, rispettivamente.
Accanto, poi, alle coordinate (X:, Y:) di 7» saran da considerare le trasformate (secondo sistemi variabili con Tr e V): (2. 4) Pr=aT—-Xr.singr: + Yr.cosor, Or = — Xr. cos er — Y..sin Or, (r= 1,2, ..., 1-1, n), oppure, più semplicemente, quando sia cos or £ O: (2. 5) pr = Yr tr .Xr= P:/cos Oi, qr = — (Xr + ir. Yr) _ Or/cosTr, (r=1,2,..., n-I, n), e le loro combinazioni differenziali successive, cioè: (2. 6) pr = pr+i— pr= Yi Yr+ tr Kr tre. Xe, qr = qGr+1—- gdr = Xr Xrxi1 + tr. Yer trt1 . Yr+1, (r= 1,2, .., n-1.
E così pure, a fianco dell'originario sistema cartesiano (0; X, Y) sarà da considerare quello ruotato di è, in senso orario, attorno ad O, cioè (O; X, Y), tramite la trasformazione destrorsa: (2. 7) _ X= X.cosd + Y.sinò, Y= —X.sind + Y. così. L'inversa, ovviamente, sarà: (2. 8) _ _ X= X.cosd —Y.sini, Yz X.sind + Y. così. 10
Le somme angolari or e g' sono allora interpretabili quali angoli di direzione delle semirette orientate V,- 7: e VrV,+: rispetto al semiasse Xt+, parallelo ed equiorientato al primo lato o direzione Vo Vi da Vo a Vi.
Queste premesse autorizzeranno a scrivere due tipi di equazioni:
I) per le direzioni V+- 7} ai trigonometrici o punti noti 77: (2.9) (YrT—- yr) . COS (è + or) = (Xr — Xr) . sin (è + or), od anche: (r= 1,2, ...., n-1, n), (2.9) n Cr. Vr — Sr. Xr = Pr.cosî + Or. sinò, che si utilizzerà per lo più nella forma: (2.10) ° Yr — tr. Xr = pr. cosà + gr. sinò, (r=1,2,..., n-1 n), posto che sia cr = cosor # O, essendo (xr, yr) le trasformate di (x, yr) nel sistema (O; X, Y);
II) per le direzioni Vr V1+1 fra stazioni o vertici consecutivi: (2.11) (yr+1—yr). cos(d + o%) = (xr+1— xr). sin(d + ol), (r=1,2,...., n-1), oppure: (2.11')
C'r.yr Sr. Xr Cr. yr+1 + Sr. Xr+1= 0, da impiegarsi anch'essa per lo più nell'aspetto: (2.12) n _ _ Ve tr «Xr-- Vr+1 + fr. Xr+1 = O, per c'r £ 0. (r=1,2,.., n52 n-1).
Le (2.9), (2.9”), (2.10), (2.11), (2.11’), (2.12) sussistono invariate pur se il parametro è viene alterato di un multiplo dispari di n.
III) Ai due precedenti tipi di equazioni sarà da aggiungerne all’occor renza un terzo derivante dalle eventuali misure di distanze Vi Vi+:, dirette od indirette, lungo la poligonale angolare da posizionare.
Detta di, i+1 la distanza corrente tra Vi e Vi+: ridotta, al solito, se necessario, alla eventuale corrispondente corda cartografica, risulterà: (2.13) (Yi — yi+1). singoli + (xi —xi+i). coso = (—1)'#! di, is1, cioè, se c'i £ O: (2.14) tilyi Pxit ti. yizi—xi41= (1) di, i+1/c4, per quei pochi valori di i (in genere, i= 1, i= n-1, ed un terzo intero tra questi I ed n-1 intermedio) interessati.
Ed infine per le distanze tra i vertici V; ed i corrispondenti ed omonimi
I+, quali differenze di lati di opportuni triangoli, risulterebbe, ad esempio: 11
tr 1)Y+! . sin (or+1 —_ Gr) . Î VrTi | = = [(XK+1—Xr). cos gr41+(Yrx1: Yr). sinor+1].sind + + [(Xr+1— Xr). sinor+1— (Yr+1— Yr). cos gr+1].cosà + + (— 1Y+}. dr, r+1. SIN gr+1, (r=1,2,..., n-2, n- 1); (2.16) (— 1). sin (or — or-1). |VrTr| z i i = [(Xrt— Xr-1).cosogr-1+(Yr Yr-1).sino:-1].sind + - + [(X— Xr-1).sinor-1T— (Yr— Yr-1). cos or-1].cosà + (1). dr-1, r.sin(o’r-1— or-1), (r=2,3,..., n-1, n), la cui pratica utilizzazione è subordinata, ovviamente, alla conoscenza degli elementi angolari e lineari ivi presenti. 3. - Intersezione quadratica inversa. 3.1. - Il problema specifico che si intende affrontare, e che denomi neremo appunto dell’intersezione quadratica inversa dipendendone la solu zione rigorosa da una equazione di 2° grado, può essere così formulato, (fig. 1). « Sono assegnati, nel piano, n % 3 generici punti 7 = (X.Y) propri(*) tramite le coordinate cartesiane ortogonali (X,Yr) rispetto ad un sistema (orario) d’assi di riferimento. Da altrettanti vertici Vr dello stesso piano, da posizionare rispetto ai Tr, si valutano gli angoli seguenti, in numero di 2n-]1:
Or = Vr-1 VrTr, (7 = 1, 2, 00) n-1, n), ole= Viu Vi, V+41, (y = 1, 2, c00) n-2, n - 1), in senso orario attorno ai rispettivi vertici V- a partire dalle direzioni. -‘origine rispettive Vr Vr-1, essendo Vo un opportuno punto, dello stesso piano però dei Vr e visibile da Vi, dalla cui direzione Vi Vo si contano gli angoli in V.. i i i
Sono pure conosciute le lunghezze dei due lati estremi della poligonale dei Vr: die —_ Vi Ve, dn-1, n = Vn_1 Vn.
Determinare le coordinate cartesiane (x, vr) dei V+, (r = 1,2, .., n-1, n), nel sistema prefissato sul piano, o per lo meno il valore di un qualche para metro che ne permetta un susseguente facile computo ». 3.2 - Si osservi anzitutto, dal punto di vista del numero di dati « stret tamente necessari » e della determinazione - indeterminazione del problema, che gli elementi valutati a disposizione [angoli a'1—a1, ar &"r, (f1= 2, n-1), an e distanze dir, dn-1, n] sono tanti quante le 2n incognite principali (xr, vr), (r= 1, 2, ..., n-1, n), da determinare e perciò, salvi casi eccezionali di completa indeterminazione, il problema dovrebbe risultare determinato ed ammettere al massimo un numero finito di soluzioni tra cui eventualmente optare secondo un qualche opportuno criterio pratico.
Una abbastanza facile impostazione è dettata dalla geometria analitica (*) In particolari situazioni limite, qualcuno potrebbe divenire improprio. 12
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. del piano, secondo appunto le anticipazioni del n. 2 precedente, in accordo con quello che è il principio generale d’elaborazione di dati relativi ad un qualsivoglia insieme limitato di punti (propri od impropri) e lati (reti, catene, poligonali, successioni, ecc.) comunque conformato di un piano ge nerico (orizzontale, verticale, obliquo).
Si dirà ancora è il parametro d'orientamento (o angolo di direzione, ecc.) del primo lato o direzione Vo Vi, orientato da Vo a Vi, rispetto alla direzione X- origine cartesiana. Ed (x, yr), (r = 1, 2, ....., n-1, n), siano ancora le trasformate (incognite) delle (xr, yr), secondo le (2.7), nel sistema transitorio (O; X,Y) ruotato di è, in senso orario, rispetto all’originario (O; X, Y). Alle 2 n incognite (xr, yr) s'aggiunge così l’ausiliaria è.
Una volta procuratosi quanto richiedono le (2.2) e (2.5), sì è in grado di scrivere:
TI) x equazioni (lineari in xr, yr) del tipo generale (2.9’) o, se tutti i coseni cr non sono nulli, del tipo (2.10) derivabili dalle altrettante direzioni Vr1 ai trigonometrici o punti assegnati 77 dalle stazioni o vertici V;
II) n-1 equazioni lineari del tipo (2.11’) 0, se c'» # o, (2.12) relative alle direzioni intercolleganti V, V,+1;
III) ed infine le due equazioni, pur esse lincari, del tipo (2.13) © (2.14) attinenti alle due distanze estreme note di, dn-1, a.
Si compone, dunque, in tal modo, un sistema di 2 n + / equazioni, lineari nella 2» incognite (xr, yr), con la presenza dell'ulteriore incognita 3 al 2° membro di alcune non omogenee; la loro coesistenza, per noti teoremi d'’al gebra, comporta sia nullo il determinante della cosiddetta matrice comipleta del sistema. Ne nasce così l'equazione determinatrice dei valori possibili del parametro d'orientamento è.
In termini espliciti, converrà disporre l'equazione (2.13) relativa a di: quale 1° equazione del sistema e l’analoga per dn-1,n quale (2n + /)-esima e tra queste, alternatamente, una equazione (2.9) ed una (2.11’) secondo l'ordine r crescente di V..
Il sistema che se ne ottiene è quello presentato nel quadro 1, ove s'è fatto uso della notazione matriciale.
La matrice dei coefficienti delle incognite (y-, xr) andrà orlata con la colonna a 2° membro; ne nasce la matrice completa del sistema, ch'è qua drata d’ordine 2n + /, il cui determinante ha da essere nullo per la coesi stenza delle 2n + / equazioni lineari.
Attese le proprietà dei determinanti ad elementi polinomiali, una siffatta condizione di coesistenza si traduce nell'equazione in è: (3.0) Di. cosà + Da. sind + Ds= 0, con ovvie posizioni dei determinanti a coefficiente D:, D:, Ds funzioni dei Cr, Sr, Cr, Sr, di, ivi noti. 3.3 - Quando tutti i coseni cr, c' (od i seni sr, s) fossero non nulli, si presenterebbe possibile una riduzione regolare di dimensioni, a struttura cioè più compatta. Si supponga siano non nulli i coseni cr, c'» e si inco minci a dividere ogni riga per il corrispondente cr 0 c'» e successivamente a modificare le righe 38, 5°, ...., (2n — 3)f, d'incice dispari, relative alle dire zioni Vr V++1, togliendovi la riga immediatamente precedente ed aggiungen dovi quella immediatamente seguente, ricordando pure le posizioni (2.6); appariranno così alcune colonne aventi un sol elemento non nullo. 14
Limitandosi poi, per ora, alle prime cinque righe, alla 3% e 48 colonna si aggiungano rispettivamente la 1% e 2* colonna; dopo di che, alla 2? riga si aggiungano la 3° e la 4%, moltiplicata questa per — 1. Risulterà: ti 1 0 0 dea di2/c'1 Ì — ti 0 0 eee 0 0 ti t1 tr î2 00... pr. COS d + Qi. sin d 0 0 tata tata... ++ pe. COS È + Qq2. sin è
Si tolga poi la 2* riga moltiplicata per t’1 dalla 1*; si elimineranno così la 1° colonna e 2° riga ed il fattore non nullo 1/c"È, atteso che: ti—-t1=— sin (agi — a) / (cI. cli).
Non resterà allora altro che moltiplicare la 1° riga per sin(a’\— a;) / ci ed aggiungerla alla 28.
Si prendano ora in considerazione le ultime cinque righe. Elaborazioni analoghe alle precedenti permetterranno intanto di scrivere: tina tn-2 t'n-2— fini 0 pn-2 .COS è + Qn-2. sin d 0 tin-1— in tn — tne1 pn-1, COS ù + Qn-1. sin Ù 0 0 1/c'2n-1 (1) da-i,n / Cn
Sì ricordi ora essere: sin(on— o'n-1) sin an tnt Uni Ti T-___-——_—____T_—==z: Tr COST. COSO'ne1 Cn. C'n-1 e si potrà quindi togliere dalla penultima riga l’ultima moltiplicata per sin qn/Cn.
L'assetto finale d’una siffatta equazione di coesistenza delle 2 n + / equa zioni lineari del sistema è allora quello del quadro 2 a pag. seguente.
E’ evidente la regolarità di struttura del termini differenziali, tranne che per le righe estreme (1* ed ultima) influenzate dalle distanze (non nulle) di12, dn--1, Na Associando alle prime n —/ colonne della matrice a 1° membro dell’equa zione del quadro 2 ora la colonna delle pr, ora quella delle ‘9: ed in un terzo tempo quella delle dir. sin (a, a) / ci, 0, 0, ...., 0, 0, (1° dn-1, n. sin an/Cn, si ottengono tre matrici quadrate i cui rispettivi determinanti saranno ricordati sinteticamente con A, 5, C, che permetteranno così di presentare l'equazione del quadro 2 nella forma semplice: (3.1) A.cosgà + B.sind +C=0.
Essa, o ancor meglio la più generale (3.0), è appunto l’equazione deter minatrice del parametro d'orientamento è. A motivo della presenza, assieme ai termini in cosà e sinò, degli elementi lineari di: e dn-1, n non nulli, la sua risoluzione dipenderà in genere, quando non abbia coefficienti tutti nulli, da una equazione di 2° grado completa in tan(%/2), salvo che in casi parti. colari non sia nullo qualche coefficiente, [il termine noto C, ad esempio, com'è quando contemporaneamente fosse gi = ai (mod 1), an = 0 (mod x), cioè per Ti ViV: tra loro allineati e così pure per Va-1Va Tr ]. 34. — Se i punti 77 e Vr sono veramente punti del terreno o, per meglio dire, immagini (cartografiche) di punti realmente esistenti nel mondo fisico, su cul sono stati di fatto rilevati o si sarebbero potuti rilevare gli elementi originari di ar, ar, di2, di-1,», non v'è dubbio che vi sarà almeno un valore reale di è soddisfacente l'equazione di coesistenza, e quindi le radici della equazione quadratica risolvente, posto logicamente che le soluzioni non siano infinite a causa di una completa indeterminazione, saranno entrambe reali. 15