Valentino Tomelleri del Politecnico di Milano (seguito e fine dal n. 1/1972, pag. ) 4 - Procedimento d’'univocità. 41 — La possibilità teoretica d'una coppia di configurazioni obbliga, come s’è detto, all'acquisizione, in fase di rilievo (in mancanza di altre possibilità o notizie), di un qualche ulteriore elemento, ampliando eventual. mente la catena, che metta in grado di operare una scelta a posteriori. Poiche un qualche dato sovrabbondante, per ragioni di controllo e precisione, v'è sempre in qualsiasi operazione topografico-geodetica, converrà adottare fin dall'inizio dell’elaborazione un procedimento a soluzione unica annove rando l'elemento « superfluo » nella famiglia, ampliata, degli « strettamente necessari ».
Precisamente, oltre ai dati angolari e lineari di cui s'è detto al prece dente numero, con n però ora non inferiore a 4, si ponga di conoscere, per rilievo diretto od indiretto o comunque altrimenti, pure la distanza di, i+1, (ridotta alla proiezione cartografica in uso), tra le stazioni o vertici Vi e Vik, (Li gn—-2)
Si è allora in grado di associare la (27n + 2)-esima equazione, del tipo della (2.13) o (2.14), alle 2n + / strettamente necessarie del quadro 1.
Data la presenza lineare delle incognite cosò, sinò a 2° membro delle equazioni relative alle direzioni V, 77, una volta portati questi termini a 1° membro ne consegue un sistema di 21 +2 equazioni lineari nelle altret tante incognite (xr, vr), (r = 1, 2, ..., 1— 1, n), cosà, sinàò, i cui termini noti sono per lo più nulli, all'infuori dei tre relativi alle distanze die, di, i+1, dn-1, n (non tutte nulle, almeno in una prima ipotesi generale).
Si ha così il sistema generale del quadro 3 da risolvere con i noti al goritmi. 4.2 — Per una proficua riduzione a dimensioni alquanto ristrette e l'acquisizione di formule generali risolventi finite da utilizzare sia in fase pratico-numerica (quando possibile) che in sede di discussione teoretica in tema di unicità e particolarizzazioni secondo i classici noti procedimenti, si suppongano ora non nulli, ad esempio, tutti i coseni cr e cr. Divisa cia scuna equazione per il corrispondente cr o cr, nel quadro 3 modificato ap pariranno 1 in luogo dei cr e cr, le tangenti # e #' al posto dei seni s, ed s/, le funzioni pr e gr ove stanno le P; e Q,, ed infine nei 2! membri compari ranno i divisori non nulli ci, ci, cu.
Si chiami A il determinante di un tal sistema, cioè della matrice qua drata dei coefficienti delle 2 n + 2 incognite (quadro 3 modificato). 19
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Inserendo l'equazione del tipo (2.14) relativa alla distanza di, i+: tra quella della direzione Vi Vi+: e quella della Vi+1 Ti+: ed orlando la matrice a 1° membro del quadro 1 con le colonne di 2 n + 2 elementi:
O, — pi, 0,— pz, ..., — pi-1, 0, — pi, 0, 0, — pui, eee, TT Pal, O, — pr, 0, per la funzione incognita cos è, e:
O, — qg1, 0, — g2, ....., — Gi-1, 0, — gi, 0, 0, — gi+1,
Lie, TT Gn-1, O, — gn, O, per l’altra sind, per il determinante A del sistema, con analoghe elabora zioni alle già in precedenza attuate, si ottiene l’espressione presentata nel quadro 4 qui a lato.
Trattasi di determinante a matrice quadrata d'ordine n — 1, per la cul struttura e stesura, in termini generici, sarà solo da sottolineare la diversa composizione delle colonne 1*, (£— 1)? ed (n— 3)* dalle altre intermedie | a motivo, appunto, della influenza delle tre anzidette distanze. Si indichino a loro volta con A cos e Asino i 1 determinanti delle matrici quadrate per la determinazione delle incognite rispettive cos, sinò tramite l'applicazione della consueta regola di KRA- MER. Con la sostituzione della colonna dei termini noti alle corrispondenti . (2n +1)? nella matrice quadrata del sistema (quadro 3 modificato), se ne traggono le espressioni ridotte opportunamente sintetizzate nel quadro 5 con la legenda seguente per i simboli fun, e ed f: della colonna (n — l)-esima: 1) fun = cos, e=it1l, fi=q, (4.1) (r=1,2,...,n-2,n—-- 1); Il) fun= sin, e=i, fr= pr, (r=1,2,...,n_-2n_-1l).
Volendo, complicando alquanto l’ultima colonna ad esempio con i termini: (4.2) (— 1). di, i+1. SIN dj.3/ COS G;11, (1). di, i+1 . sin(a;/.i — iui). COS a; / (COS gi+1. COS gi'+1), previa fusione delle colonne (i— 1)* ed i (aggiungendo questa a quella), sì potrebbe eliminare la riga (1 + 1)? e la colonna ?, conseguendo così una matrice quadrata d'ordine n — 1 con le prime n— 3 colonne uguali alle cor rispondenti della matrice di A del quadro 4.
Per completezza di indagine e per una maggiore semplicità d’ela borazione ‘teoretica di qualche problema, atteso che lo scopo finale è la determinazione delle coordinate (x, vw) dei punti in questione, sì potrebbero procurare pure le eventuali espressioni generali dei de terminanti delle matrici relative alle incognite vr, x. Ci si esime però da una tale indagine, anche se non difficile, dovendosi, ad un primo esame, distinguere vari casi per il diverso intervento dei termini noti a causa della differente struttura di alcune equazioni del sistema. E cioè, oltre ad una distinzione tra la determinazione della coordinata generica yr da quella concernente la xr, così come s'è qui fatto per A cos e À sin, saranno ovviamente da esaminare a parte le matrici relative ad vi, xi, Vi+1, Xi+1, (j= 1, i, n— 1), e trarne eventualmente una o più espressioni generali con cise del tipo di quanto appare nel quadro 5. 21
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4.3 - A questo punto non resta che far osservare l'indipendenza del determinante A del sistema dalle distanze in gioco, intervenendovi solo gli angolimisurati a,, a, e le coordinate X,, Yr dei 7: (r = 1, 2, ..., n—1Ln). L'annullarsi di A è quindi sinonimo di un legame tra dette generiche grandezze.Salvo casi particolari, perciò, in genere riuscirà A # O e sarà possibile conseguire:A cos A sin(4.3) così = — _ , sind = ——,A AA sin(4.4) tand= ——.A cosAnzitutto, questi rapporti sono indipendenti dal comune fattore 1/(ci'Ci Cn'-1)°.E’ pure immediata la constatazione dell’indipendenza della (4.4) dal fattore (— 1). di, i+1. cos gi attinente la distanza intermedia d,,;j; # 0 (anche incognita) quando simultaneamente fosse;dia. sin(a/i—a;)= 0 = dii, n. sinan. ©Ed in questo ci si accorda con il noto procedimento cosiddetto « difalsa posizione » per la soluzione del classico problema di HANSEN o delladistanza inaccessibile.Più in generale, quando fosse:di. sin(a;i—a:;) = 0 = di, i+1. sin qi+iassieme ad una, almeno, delle disuguaglianze: ‘’di, +1. sin g/j 11. C0S ju #£ 0, dai, n. sinan #0,oppure, in altra situazione, avessero luogo le uguaglianze:di, i41. SÌÎn (olii _ Cis1) —0= An-1, n. Sin Un,con una, almeno, delle disuguaglianze:di. sin(a/—a;) #0, di, i+1:. sin ag;,; #0od, infine, come già detto, si avesse:die. sin(a/—a;) = 0 = da_1, n. sin ancon di, i.,1 non nulla, anche non conosciuta, ci si troverebbe di fronte adaltrettante configurazioni di MAREK estese a parte od a tutti ì punti interessati. In tali casi il rapporto a 2° membro della (4.4) è indipendentedagli elementi a,, ay, Xr, Yr, ds, s+1 esterni alla catena di MAREK ad estremitriangolari.Ad esempio, sia:d2 420, di,ij,iji=0=dn-1,n, (£IZ4nT—-2),cioè:Vi= Vi+1, Va-1= Va ’oa; = Via VisiTi, a;j=a;(modr), a; .i= Ti Vizi Tiki,o'.1= Tn-1Va-1Tn, ag = 0(modr),e quindi: ti= ti, tn_1= fn.Ed allora, una volta che, nel determinante A fun del quadro 5, si sianoaddizionate la colonna (î— 1)® alla i° e soppresse le righe 1° ed (1+ 1) ele colonne (i— 1)? ed n°, nelle prime i — 2 colonne appare una matrice nellecui i —-2 prime righe solamente è presente l’unico minore (a matrice triangolare, essendo nulli tutti gli elementi da una parte della diagonale principale) non nullo. Il risultato sarebbe quello del quadro 6. Il rapporto, secondola (4.4), è così indipendente dal comune fattore:24
(4.5) (1). di. sin(a; — a) r=itt eee" IMtr tr), (c1' ci cai). ci r=2 e fornisce la tangente dell’angolo d'orientamento è del primo lato o dire zione Vo Vi: che con il primo lato Vi Ti = Vi+:7; della catena tri-quadri-an golare di MAREK forma l’angolo, a meno di multipli di x, ci = ci (mod x) di tangente fi = #/. E tutto ciò è appunto in accordo con la relazione gene rale relativa al problema ampliato di MAREK a catena quadri-triangolare. (Cfr. « Sul problema di MAREK ampliato etc. », op. cit., ove pure, al n. 4, si fa constatare la deducibilità della formula risolutiva per il problema sem plice di SNELLIUS-COLLINS-POTHENOT, con opportune particolarizzazioni, da quella generale del problema ampliato di MAREK).
Altrettanto d’analogo ha luogo nell'ipotesi sia invece: diaz = 0 = di+1, dni,n 420.
Una prima conclusione è dunque la seguente: nei casi di pratici rilievi topografico-geodetici, ove risulti A _# O, la relazione generale (4.4) fornisce l’unico possibile coefficiente direzionale tanò della direzione iniziale di riferimento angolare nella prima stazione o vertice angolare della poligonale da posizionare. 44 — Resta ora da discutere il caso di A = O. Anzitutto, trattandosi di un problema di carattere pratico con almeno una soluzione reale, la com patibilità delle 27 + 2 equazioni del sistema del quadro 3 comporta che la matrice completa di tipo (2n +2, 2n + 3) abbia caratteristica o rango minore di 2n + 2, cioè, anche, tutti gli altri 2n + 2 suoi minorì d'ordine massimo risulteranno pure nulli, od anche: una equazione, almeno, è com binazione lineare di al massimo 2n+ 1 altre equazioni indipendenti del sistema. Le (4.3) e (4.4) risulterebbero così indeterminate.
Dopo di che saranno da distinguere le due eventualità: I) le distanze d12, di, i+1, dn-1,n sono tutte e ire nulle; II) una almeno delle predette di stanze non è nulla.
DIDA=0, dir = di, ivi = dn-in=0.
Trattasi evidentemente di una configurazione a tre possibili catene tri quadri-angolari ampliate di MAREK: 1) Ti, Vi= Va, Ta, ., Ti, Via Visa, Tit1; 2) Ti ) Vi= Visi ) Titi )osree) Tnt ; Va-1= Va ; Tn ; 3) Ti, Vi= V2, T2,...., Ti, Vi, Vi+a, Ti4z, ..,
Toei , Va-1 = Va ) Tn ) tra di loro equivalenti nel senso che una sola di esse basta a risolvere il problema.
Se ne trarranno altrettante equazioni del tipo della (3.1), o (3.0), con termine noto C, però, nullo. Assumendo allora, per definizione, A sin e A cos proporzionali rispettivamente ad A e — B, la (4.4) permane valida. S'osservi che A e B han la struttura del determinante presente a 2° membro della A fun del quadro 6.
Nelle premesse. ipotesi, dunque, il problema ammette un'unica solu zione tuttora fornita dalla (4.4) e la condizione A = O esprime che una delle misure angolari effettuate &r, ar è subordinata alle altre; ed infatti, con le coincidenze V1= V:2, Vi= Vis, Va-1=Vx i punti V+ distinti sono in effetti solamente n — 3, mentre le misure angolari a disposizione, a parte l'iniziale VoViTi relativa a V, eventualmente nulla, realmente effettuate per la loro 26
individuazione sono in numero di 2 (n — 3) + 1, di cui una è quindi eccedente e condizionata dalle altre. Ad esempio, la catena sumenzionata 1) indivi duerà, anzitutto, i punti V:= V:, Vs, ...., Vi-1, Vi= Vi +1; per ognuno dei rimanenti V,, (r = 1 +2, ...., na— 1), bastano le coppie rispettive &’r-1, &r; l’ultimo dato angolare &'»-1 è condizionato dalle ubicazioni note di Vn-1:= = Va e In
Nel caso tipico di mn = 4 punti Ti, 72, 73, 74 ed unico punto Vi=V: = Vs = V4 da indicarsi semplicemente con V, la A=0 esprimerà l’appar tenenza dei raggi VT, (r = 1, 2, 3, 4) ad un fascio di rette del piano di centro (incognito) V da cui sono stati valutati, ad esempio, gli angoli conse cutivi Ir VH41, (r = 1, 2, 3). Conclusione analoga vale per n>4 punti 7, visti da un unico vertice V..
Il problema di intersezione inversa semplice di SNELLIUS-COLLINS- POTHENOT può considerarsi un caso limite del precedente relativo ad n= 4, ove però due dei 71, 72, 73, T4, ad esempio 73 = T4, coincidano tra loro. Questa condizione limite di coincidenza annulla automaticamente A. La (4.4), con la suddetta definizione per A sin e A cos, deducibili anche come opportune particolarizzazioni della A fun del quadro 6 (come poco fa ricor dato in un inciso a proposito della formula generale risolutiva del problema ampliato di MAREK), rimane tuttora valida. (Cfr. formule di REUTZEL- KNEISSL-GALKIEWICZ per il problema di SNELLIUS-COLLINS-POTHE- NOT nei moderni trattati di Topografia, oppure anche i lavori già citati dell’autore). ,
II)AÀA=0e dr, di, i+1, dn-1, n non tutte nulle.
Ci ci troverebbe di fronte, come già detto, per ragioni di compatibilità delle 2 n + 2 equazioni originarie del sistema del quadro 3 o di caratteristica della sua matrice completa, ad un complesso di 27 + 3 equazioni esprimenti l’annullarsi degli 21 + 3 minori di massimo ordine 27n +2 estraibili da anzidetta matrice. Queste 2 n + 3 equazioni involgono i 2n + 1 elementi an golari - lineari misurati ol — al, ur, (r=2, ver) n), Url, (r=2, vero) n—-- 1), diz, di, iti, dn-i,n e le 2n coordinate a priori assegnate (X+, Y,) di 7,, (r= 1, 2, ..., n— 1, n). Se quindi fossero 2n + 3 effettive equazioni indi pendenti, tutti i 2n + 1 elementi angolari-lineari rilevati ed in più una coppia (Xs, Ys) sarebbero funzioni delle rimanenti n—1 coppie (Xr, Yr), e cioè n—1 punti 7 ubicherebbero automaticamente l’n-esimo 7s della loro stessa famiglia e gli n altri qualsivoglia Vr della poligonale da posizionare!
Le 2n + 3 predette uguaglianze a zero non possono quindi essere che altrettante identità a zero per i valori interessati introdottivi.
Pongasi ora che tra le 2n + 2 equazioni del sistema del quadro 3 ve ne siano 21 + 1 linearmente indipendenti. Per la loro compatibilità varrà quanto già detto al n. 3 precedente, cioè s. ritroverà una equazione del tipo della (3.0) o (3.1) per la determinazione dei valori possibili del parametro d'orientamento è. Una siffatta equazione, ove non sia una identità a zero per nullità di tutti e tre i suoi coefficienti, com'è nel caso di completa in determinazione, ammetterebbe due soluzioni reali, nel primo giro angolare. Se due distinte fossero le configurazioni finali solutrici, si presenterebbe la necessità d'un ulteriore elemento di rilievo per operare l'opzione e nel contempo l'assurda impossibilità d’utilizzare quello a disposizione già rile vato a tale scopo indipendentemente dagli altri!
Nelle premesse ipotesi, dunque, la configurazione finale risolvente non può che essere unica e quindi di necessità, come già s’è visto alla fine 27 I
del n. 3, per i coefficienti della corrispondente equazione (3.1) in gioco o è C = 0 oppure C° = A° + B? se C #£ O. Per C = O si avrebbe, come già detto: (4.6) tanò = — — , B mentre che per C° = A° + B° e C# 0, risulterebbe: (4.7) tand =B/A, ancora del tipo della (4.4) previa opportuna definizione di A sin e A cos me diante i coefficienti A e B.
Se, invece, tra le 2 n + 2 equazioni del quadro 3 le linearmente indipen denti fossero solamente 2 n, il problema risulterebbe completamente inde terminato.
Se, dunque, non si ha a che fare con un caso di indeterminazione, l’essere A= 0 è sinonimo d’unicità di soluzione tramite solo 21 + 1 equazioni del quadro 3, la (2n + 2)-esima essendone una diretta conseguenza lineare. 45 — In conclusione, per quanto qui ed altrove (*) osservato, in caso di problema non completamente indeterminato, la (4.4) ha validità generale assegnando ai termini del rapporto quanto loro compete in base al quadro 5, con l'unica eccezione nella situazione ove siano A = O = A° + B° — C? e C # O per cui s'ha da assumere A sin = B, Acos = A. Per la completa univoca individuazione del parametro è, alla (4.4) saran. da associare, secondo le cir costanze, o le (4.3) o le (3.6) o le (3.18).
La precedente discussione mirava, come s'è detto e visto, ad una gene ralizzazione, nella (4.4), di note formule atte alla determinazione del para metro d'orientamento e ad accertare l’unicità di soluzione, per problema non completamente indeterminato, sia per À # O che per A =0.
E’ ovvio, però, che lo scopo finale e precipuo è l'acquisizione delle coor dinate (x, yr) dei punti V+, (r= 1, 2, ..., 1— 1, n), tramite le (2.8) una volta procuratisi le (xr, yr) e è dal sistema del quadro 3 integrale o da qualche suo sottosistema, come s’è detto, ove si constatasse essere A = O. 5. - Determinazioni indirette unificate di distanze topografiche. 5.1 — Una volta acquisite le funzioni goniometriche circolari sin è, cos è del parametro d'orientamento, è immediata, laddove per un qualche motivo necessiti, la determinazione, tramite le (2.15) o (2.16), della distanza Vi Ti corrente fra un vertice Vi; e l'omonimo Ti, l’uno e l’altro vertici d’un qua drangolo, anche degenere a triangolo, di cui sia a priori conosciuta la Iun ghezza, anche nulla, di-1,i oppure di, i+: del lato concorrente in Vi della poligonale da posizionare.
Una tale esigenza si presenta appunto nell’applicazione del procedi (*) Cfr. « Sul problema di MAREK ampliato etc. », op. cit., n. 4. 28
mento e formulario esposto alla determinazione indiretta di distanze topografiche secondo la classica e ricca metodologia della prassi topografica (*).Avanti però di passare in rassegna le principali e caratteristiche procedure di siffatte determinazioni quali particolarizzazioni dell’intersezionequadratica inversa, converrà fin d’ora procurarsi le necessarie espressioniper configurazioni generali ad un ristretto numero di punti (n = 4){**)52 — Sia, dunque, n = 4; Ti, 72, 13, Ta siano i 4 punti assegnati nelpiano, ove il sistema d’assi cartesiani (X, Y) ortogonali orario abbia per oraubicazione generica arbitraria:Tr=(Xr, Yr), (r= 1, 2,3, 4).Vi, V2, V3, V4 sono gli altrettanti punti da determinarsi, le cui reciprochedistanze (note od, in qualche caso, qualcuna anche sconosciuta) siano:dry r+i1 = Vi, Visi (r= Ì, 2, 3), .ed ar, ar, (r = 1, 2, 3, 4), siano gli angoli ivi misurati o valutati secondoquanto già convenuto nella sinossi propedeutica.Secondo la falsariga della trattazione generale, si avrà via via successivamente, secondo le (2.2) e (2.6):rTOr — Xi ci, (7 _ 1, 2, 3),1(5.1)sw = sin or, Cr = COS Gr, te = tan or;Or = Cr-1+@, (r= 1,2, 3, 4), (c0/=0= uao),i Sr = SIN Or, Cr = COS or, tr = tanor;(5.2)pi= Ya Yi+ t1 Xi t2X2, qi= XX + t1Yi- ta Ya,po = Ya Y2 + te Xo — t3 X3, qr = Xx— X3 + ta Ya— ts Y3,ps = Ya— Y3 + ts X3— ta Xa, qs = Xs— X4 + t3Y3— te Ya.Il quadro 4 diviene poi semplicemente:(5.3)— 1 ti — Î2 pi QiÀ = 3 to — ta p2 q2/ ? f — —(ci C2 C3') to ti p3 gs ,mentre il quadro 5 porge a sua volta per le due funzioni circolari:(5.4)I ti t2 O pi di: sin (@1 — 01)/c,A sin = . tata te — t3 pi O(ci az c3')? 1 — ] 0 — d23. CoO t3 — t4 ps — dz, sin a4/ca ,(5.5)I ti t2 O gi di: . sin(ai — a1)/C;7 __ t9/ I __ A OA COS = — Rob e % dol(ci ce' C3')? —_ laO 13 — Î4 Q3 — ds4. SIN g4/C4 .(*) V. TOMELLERI, « Determinazioni geometriche unificabili di distanze topografiche », Rivista del Catasto e dei Servizi Tecnici Erariali, nuova serie, anno XXIV, 1969.(**) In una tale ipotesi, cioè per un ristretto numero di punti, ci si potrebbe procurare pure le espressioni generali delle coordinate {x,, vr), secondo quanto già dettoalla fine del n. 4. 2.29
Indi, per A#0O: A sin A cos (5.6) sinù = —_—, cosà = ——-, indipendenti dal comune fattore (ci c2' cs’). Analogamente: (5.7) ti—- t, O Di di. sin(ai — q1)/C, tit t—ta p, O 1 1 0 — d23. c2' O t3— t4 ps — dea. Sin ga/C4 tand= ——_______———_————-—+-*/))È)—)—mwbMUl\îgi5] <«-<+., | ti ta O gi di: . sin (ai — q1)/c, tate te — t3 q, O 1 — 1 O — d23. c2' O t3—t4 Q3 — dea . sin t4/c4 purchè non sia À = 0 = 4? + B°— C?, con A, B, C ad esempio: (5.8) 11 Î2 O pi A = la to’ ta — 13 P2 O ts — ta D3 , (5.9) e | ti t2 O qu B- toa — te’ te' — t3 I O ts t4 qs , (5.10) ti t2 O di: . sin (Qi — a1)/c, C= | ta t tr tg O O t3 — ta — des. sin a4/c4 , non nulli, nel qual caso sarebbe invece: (5.11) tandò = B/A. Per un problema semplice di MAREK è da supporre: (5.12) Vi= Va, Vas= Va, VaE Va; indi: dir = O = de, da #0, (anche sconosciuta), (5.13) ai =0a,(mod n), t'=t1, «= 0 (mod rn), ta= 13, e la (5.7) diviene semplicemente: (5.14) _ ti t2 O Pi to te to — t3 P: O ta ts! p3 tanò = ——_—_—_——_—_—T_—_—T_—€ ti t2 O q ta t2' te — t3 Q O t3 — t3' q3 Per la deduzione, dalla (5.14), della formula risolutiva concernente il pro blema semplice di SNELLIUS-COLLINS-POTHENOT sarà da fare qualche 30
particolarizzazione. E cioè, V: = V: e V: = V4 tendano ora l’uno all’altro, così come pure, nello stesso tempo, 7: e 73 s'avvicinino tra loro, fino alla coinci denza in una certa posizione rispettiva V* e 7T*. Solo che, mentre 7: e 73 po tranno comunque tendere l’un l’altro verso la posizione limite T2= Ts = 7* secondo percorsi qualsivoglia, V: e V: tendano alla loro posizione limite Va = Vs = V* ortogonalmente alla direzione limite V* 7*. Ciò posto, risulterà ulteriormente: Vi= V,=Vi=Vi=V*,T1,=T3=1", (5.15) x = o,= T, V* T * (mod t), x) — &, = — (mod rn), 2 m n x oc, = — (mod x), as, = — + T* V* Ty(mod qr), 2 2 conservandosi: o = ai (mod n), a=0 (mod q), ond’è: (5.16) t' = — 1/t2, ta= ta, ta= t3', e per le (5.2) riesce: (5.17) pi= Ya Yi+ttiXit2X2, qi= X1—--X2+t1YiT_t2 Ya, p? =0 ’ q2 = O ) ps = Ya— Ya + t2,X2 — ta Ka, qer = Xa— Xa + t2Ya— ta Ya. La (5.14) diviene conseguentemente: (5.18) ta ti DI | ta ti pi ta — 12 p3 | ta— i p3 + pi ta li Qi ta li gi ta — Î2 q3 ta — li q3 + gi .
Se, ulteriormente, per maggior semplicità, la direzione iniziale, arbitraria ed opportuna, V* Vo la si assume coincidente con ia V* 71, onde t1= 0, si otterrà l'aspetto finale ben noto (*): (5.19) t2 Ya Yi t2X2 ta YaT_ Yi ta Xa tan dt = — 2 —————— _ 3 ta Xi X2— t2 Y2 ta Xi Xa— ta Ya XX + (Ya Y1).coto, —(Y2— Yi).coto, Ya Y2 + (X4— Xi). coto, — (X2— Xi). cot 0, essendo, in chiaro: ù = I*T1V*, (5.20) co, =T:V*T* (mod n), c,=T:V*T(mod rn), Ti=(X., Yi), T*=T2=T3 = (X2, Ya), Ta = (Xi, Ya), Vie Va=Vi=Vaa= V*. . {F) Cfr., ad esempio, G. BOAGA, « Trattato di Geodesia e Topografia con elementi di fotogrammetria », Vol. IT, parte I, cap. VII, n. 2, i) pagg. 236 segg. Edizione CEDAM, Padova, 1948. 31 o o CC 5 — ——__———°°1t_r——1——___——îîÈ —- PTT nm = —-==
Si trasli, ora, e ruoti il sistema originario così da avere l’origine in 7. e l'asse X+ coincidente ed equiorientato con la 717: da Ti: a T:. Riesce allora: e successivamente dalla (5.19), con la (3.18), posto: (5.21) R=+ | X?.sin204 + (X4+ Ya). sinto, — —2X2.[X4. cos (04 — 02) + Ya. sin (04— 0c2)]. sin o2. sin c4 } 1/2, segue: (5.22) sin oz.| Y4.cos 04 + (X2— X4). sino4| sind? = —_—_——_____—______ <<. _ R Ed ancora, per l’altra funzione circolare: (5.23) (X4 cos ga + Ya sin ga) sin g2 — Xe sin g4 cos 02 cosà” = ——_—___ TT Ya cos 4 + (X2— Xa) sin o, | Ya cos ga + (X2 —Xa) sin c4 | | R E dal triangolo V * T: T*, per la (5.22), si ottiene: (5.24) | Ya cos c4 + (X:— Xi). sin 04 | V* T* = Xa «TT == —=—___—_ ree-2z- °-°, R ed infine: (5.25) sin oz | Yacosga +(X:— Xa)sinoy | sin (d* + qa) = —. —_—__—___———_—_—<—. R Ya cos o 4 + (X° — Xa) sin gu . [Yacos(ga — 02) — Xisin(ag— 02)] , ond'è pure: (5.26) I Ya cosga + (X:— Xa)sino, | VTI= Xe ———_ —___—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—_—__—__—. Ya cos 04 + (X2 — Xa) sing, Ya cos (ca — 92) — Xi sin(o,— 02) | n . 5.3 — Ed ecco ora una rassegna dei classici metodi di determinazione indiretta di distanza topografica come particolarizzazioni del procedimento generale suesposto. 1) Metodo clisimetrico od eclimetrico o dell'angolo parallattico variabile con stadia verticale, (fig. 4).
Dalla stazione strumentale goniometrica posta in S sì traguarda a due divisioni o tratti o punti 71, 7: della stadia verticale posta sul secondo punto T, valutandone le distanze zenitale %,, C, nel centro strumentale di S e le loro corrispondenti ascisse lineari o letture sulla stadia X1= li, X2= La. 32
| zÀ di T, No w3 z 2 l) r
V.EV, n | iS, I 5, V.=V, PL NZ (Ul) il TU // fig. 4 La schematizzazione sarà quindi la seguente. L'asse longitudinale della stadia verticale, a graduazione crescente verso l’alto, s’assumerà quale asse X* equiverso con le letture crescenti; l’origine O si porrà nello zero della stadia; l’asse Y, nel piano verticale di S e 7, orizzontale e diretto da parte opposta di S rispetto a 7, sì che la ordinata Y, di S risulterà negativa. I punti 7: e 7: sono quelli della stadia traguardati da S, e quindi di coordinate: Ti=(l, 0),
T:=(k,0), mentre V: e V: coincideranno entrambi con il centro del goniometro vertice delle zenitali misurate <, e Ga, di 7, e 7.,. Il punto V, è stavolta improprio e coincide con lo zenit di $S, la cui verticale andrà orientata verso il nadir. Si supporrà ancora: - Ci < Ga, >, e perciò: ai Ci, a = Go ao= 2 Gt. i Per le altre due coppie V3, V4 e 73, 74 si può pensare di avere traslato idealmente lo strumento sulla stessa verticale di S, in alto od in basso, d’una quantità arbitraria, non nulla e limitata, anche sconosciuta, d e di aver bat tuta la stadia o suo ideale prolungamento con due altre visuali d’uguale zenitale delle precedenti. Cioè si avrà ulteriormente, anche per il parallelismo delle verticali in S e 7, e supposto d’aver innalzato lo strumento in S di d > O: T3=(l1+d,0), Ta=(2+4d, 0), Va= Vi, VsViz=d, voi =In-G, ag=Tt+, agi =T+a, o, = O0(modt). 33
indi: dia = 0 = ds4, das = d, ci= 0% = Gi - ti= tani,, 01 = Ci, in=t, o= +, t,=tanQ, co =In, t/=0, 03 = Gi, u= i, 03 = Ca, tg =io= Li (5.27) pi=til— tl, quali, x pe = — pi— td, qg=-—qQqi-d, - ps = p1+ (tt t2)d, qa= gi ; Res È À cos? %; . COS? L, ° (2) 2 x Asin= 0, À cos cost. cos 4, , sind = 0, cosd=— 1, Ù = Tr.
E’ questo un esempio di completa determinazione di è pur in difetto della conoscenza della distanza d, di cui sì sa solo essere non nulla e limitata.
Dalla (2.15) per r = 1, sì ha pol: (5.28) __ (1, — bp). sin Go Vi Ti — __—TOTTTT ’ sin (GC, — Gi) ed analogamente la (2.16), per r = 2, porge: (5.27) (ll — b).sinG Va T — _—€-_T è | sin (Go — Gi)
Riducendo queste distanze oblique all’orizzonte, moltiplicando la prima per sin; e la seconda per sin G,, sì consegue la nota espressione: i (5.30) li lb | distanza orizzontale = ——__. cot 7, — cor GL,
Ovviamente, questa stessa espressione si sarebbe ottenuta quale valore assoluto dell’ordinata y, = y, del centro V* = V, = V, del goniometro quando sl impostasse e risolvesse un sistema del tipo di quello del quadro 3.
Quanto esposto implica la conoscenza d'una base /1— / e degli angoli, al suoi estremi, dei lati diretti al vertice incognito V. S’intende, quindi, che il procedimento d'’elaborazione qui presentato per il metodo in parola potrà, con ovvie modifiche di forma e di linguaggio, applicarsi a tutti i vari metodi ad esso similari facenti capo ad una base ed alla coppia di angoli ai suoi estremi: metodi delle triangolazioni in avanti e laterale, metodi telemetrici, metodi dell'angolo parallattico costante o variabile con stadia verticale od orizzontale, ecc.
Data, cioè, in altre parole, la generalità del principio del metodo clisi metrico, da cui, com'è noto, possono trarsi le formule di tutti gli altri metodi di determinazione indiretta di distanza, quanto dedotto basterebbe a confer mare l’asserita validità generale del procedimento suggerito e trattato nei precedenti numeri. 34
| Az IT, i | 7 A Ta x I ULESA RE MN 4 T,5Vo x V,EVÌ La ee é N43 gl — pil ini ii e i gh === / E / tl RA SK AA N fig.5 | Si possono, però, com'è noto, considerare le formule di questo metodo deducibili da altri principi od anche quali casi particolari di altri procedi menti. | Per questo e per completezza di indagine merita comunque vedere come poterne dedurre qualche altro metodo indipendentemente dal clisimetrico. 2) Metodo dell'angolo parallattico costante con stadia verticale, (fig. 5). L'asse longitudinale della stadia verticale in T s’assumerà ancora quale asse X*, equiverso con la numerazione crescente, del sistema d'assi cartesiani ortogonali, la cuì origine si porrà, come prima, nello zero della stadia ed il cui asse Y sarà orizzontale, nel piano verticale di 7 e della stazione strumen tale S, diretto contrapposto ad S. In S vi sia un usuale tacheometro, cioè, al limite, un goniometro a cerchio verticale con cannocchiale distanziometrico ad angolo parallattico costante a reticolo trifilare (sistema MONTANARI-REICHENBACH) ad incisioni laterali orizzontali simmetriche rispetto alla centrale. Il dispositivo può essere o meno 0 centralmente anallattico; della situazione si terrà debito conto eventualmente alla fine del calcolo. i Per l'impostazione del problema secondo le precedenti linee, si assumerà i Va coincidente con il primo (relativo, cioè, allo spazio-oggetti) punto princi- | pale o nodale N, di tutto il sistema obiettivo (inclusa, cioè, l'eventuale lente anallattica o di adattamento alla distanza), mentre V:; e V3 giaceranno sulla retta-intersezione del piano verticale in V, = N, con il primo piano principale
dell'obiettivo simmetricamente equidistanti di 4/2 da V:, convenendo sia Vi. quello superiore.
F,, primo fuoco, sia il centro anallattico, f = V., F, la distanza focale, u = ViF1Vs l'angolo parallattico costante, K l’usuale costante diastimome trica: (5.31) f 1 ” K=—-=—cotT— . h 2 2
Sulla stadia verticale in 7, le visuali V. Fi, (r = 1, 2, 3), individuano i tre punti omonimi 7, (r= 1, 2, 3), dal basso verso l'alto, caratterizzati dalle ascisse Xr = lr, (r = I, 2, 3), essendo / le corrispondenti letiure effettuabili o meno, e quindi di fatto note od ipotizzabili come tali. Nell’usuale prassi, infatti, com'è noto, la lettura centrale /:, relativa alla visuale centrale secondo l’asse di collimazione, viene appunto surrogata dalla distanza zenitale % dello stesso asse. In tale ipotesi, si ha intanto la catena di rapporti: (5.32) —-l ll L—_] lBl+tli—-2le i 0) % G) 0) sin (+2 ) sin ( 2) _ 2sin0cos— 2 cos ( sin — 2 2 2 2
La conoscenza di %, in luogo di /,, permette poi di ubicare ad hoc, per le esigenze schematiche dell’impostazione, la 4% coppia V,, T,. Il vertice V, sì potrà, ad esempio, far coincidere con Vi: e quale visuale ideale V4T4 assu mere la parallela per Vi: = V4 all'asse di collimazione V?: 72, così che la sua intersezione con l’asse della stadia non sarà altro che il punto 74 d’ascissa ieoretica X,=/,+%h/(2.sin%).
Dopo di che, la gamma dei dati via via utilizzabili nella sequenza di formule (5.1), (5.2), ecc. .... dello schema generale sarà, assumendo Vo = 71(*) e viste pure le (5.31), (5.32): 5.33) ai=0, ci=0, t1=0, ci= 1, T U) U ol = ——— = gi, ti = cot— 8, 2 2 2 T 5) 1) a =, CZ, t:= — tan—-=—l/tY, 2 2 2 TW U) TT a = Tr, o =3_-—-— = —_ +t (mod 2 x), 2 2 2 2 0) G) ce = — sint, i = cot— = ii, 2 2 TT 1) ga= mt), 03 = — w (mod 2 x), tt=— tanw, 2 2 *. L'assumere, quale V., il punto improprio della retta ViV:V3 o quello della ad. essa ortogonale V27, comporterebbe l’annullarsi di qualche funzione c, 0 c’,. 36
cloè: (5.36) li —-li cos°0 V:T2= K(ls—-l).sin&4—_—_—_- + £, 4K sin G la cui riduzione all'orizzonte, con il fattore sin %, è immediata e porge la ben nota distanza orizzontale tra il 1° punto nodale o principale N: =V: ed il punto 7 d’ubicazione della stadia verticale. | 3) Metodo biangolare a tre letture stadimetriche.
Trattasi del metodo rifacentesi direttamente al problema semplice di SNELLIUS-COLLINS-POTHENOT, ove però i tre punti noti appartengono ad una stadia graduata disposta sul punto T di cui s'ha da determinare la distanza (orizzontale) dalla stazione S, ove s'intende sia un dispositivo che permetta di realizzare tre distinte puntate alla stadia in 7 secondo reciproche inclinazioni (tra le tre rette di collimazione) di già note o valutabili all’oc correnza.
Nel procedimento generale rientra come particolarizzazione delle (5.19), ecc. relative all’intersezione inversa semplice nel piano.
Con notazione un po’ diversa dalla precedente, si indicherà ora sempli cemente con V il vertice angolare delle tre distinte visuali V 71, V Ta, VT: a tre distinti punti 71, 72, 73 della stadia caratterizzati dalle tre corrispon denti ascisse o letture %:, /, 13, avendo ancora assunto l’asse longitudinale della stadia quale asse X+ con origine in 7: ed orientato da Ti a 72.
Si supporrà ancora: li>l>Bb. I punti 7» son caratterizzati dalle coordinate: Ti=(0,0), Ta =(11—--1,0), Ts = (IT 3,0). Si chiamino: i ce=T1VT=z, cs = TV Ts gli angoli delle visuali V 72, V 73 rispetto alla V 7; assegnati, ad esempio, tramite un classico reticolo trifilare o valutabili su un qualche settore circo lare graduato. Le (5.19), (5.21) e (5.22) porgono per langolo è tra la direzione della stadia orientata da T: a T: e la prima visuale diretta da Ti & V: (5.37) la — B3 tandae ——_—_ — —— —— +-—\W, (l1— la). cotg:—(li— ls). cot 03 R= + (l—a)’- sin? 93 + (11— 13)? - sin? ga — 1/2 , — 2(11— l2)(li— ls). sin o2. sin g3 .C0S (93 — 02) (le — k3) - sino2- sin oz sinà= —— —_—_ —_——_ . | R A loro volta, le (5.24) e (5.25) divengono: 38
(5.38) (li — l2).(d2— ls). sin g3 Lo VITI eee, n (li — ls) - sinez- sIN(o3— 02) i sin(d+g2)= ——T_———_—_—_—_——_—?_ _——t——_—, i R : e la componente della V T: secondo l’ortogonale alla stadia sarà: (5.39) — (Vi T2)o = V Ta - sin(d + 02) = (li — la) (2— ls) (li1— I) = e ZI ZFZOZ]=“— +9 02.SIN03.SIN(03— 02). Ri Di qui alcune immediate note conclusioni. I) La stadia sia verticale e le visuali V T:, V 73 siano inclinate entrambe di w/2, definito dalla (5.31), rispetto alla V T: e l'una da parte opposta del. l’altra, ond'è: (5.40) % d2 =_= 03-02, TT UU, 2 (5,41) ° o | 0 | R? = sin —. (11 8)? — 4(11— 12) (12—- 13) - cost— = nl i 0 % % | = sin — {li bk)? - sing — + (l1—1l+1l2— 13). cos — — 2 2 2 dd —4(11—- 12) (la— 13) - così — = 2 W 1) = sint— (lr 6}? + {1 k)— (ll l3)]}?. cot° — , | 2 2 e la (5.39), vista pure la (5.31), diviene: (5.42) | _— 4K- (I — kb) (di 1h) (d,—-}) (VIS ee Te TIE (IL I 13)? + 4K°. [(L, si 13) _ (L na 13) 1° in accordo alla nota formula per la determinazione indiretta di distanza topografica con un siffatto procedimento (stadia verticale e reticolo trifilare simmetrico, senza cerchio verticale)(*). (*) Cfr. V. TOMELLERI, « Determinazioni geometriche unificabili etc. », op. cit. 39
II) Nella (5.39) si dividan entrambi i termini del rapporto a 2° membro per 1; e si faccia tendere 7, e la corrispondente ascissa /, a + co. Pongasi pure che la stadia sia verticale, onde: lim 02 = Co) limo, = Ga, Ti + co0 Ti +00 essendo %, e 4; le distanze zenitali delle V 7, e V 7. AI limite, per lr = + co, la (5.39) diviene: . . (5.43) . a (L — L3) sint, - sint - sin(G— 0) (VT) = e I ee ) sin? €, + sin? 7, — 2 sin G, - sin Gg » cos (GC — Lo) e poichè un tal denominatore s’identifica con: sin° (63 — Ca), ne risulterà alla fin fine: (5.44) (VT. ——_—__ cot C, — cot Ls giusto quanto proviene dal metodo clisimetrico od eclimetrico, che dir si voglia, acquisibile anche, appunto per questi motivi, come particolarizzazione del metodo di SNELLIUS-COLLINS-POTHENOT.
III) Con stadia verticale ed usuale distanziometro a reticolo trifilare ed a cerchio verticale, in luogo della /, si rileva la corrispondente zenitale €. Onde, la 2 delle (5.38) darà: (5.45) I, IT l, R= —_—@- sino, sin(o; — 03) sin G e di conseguenza la prima delle (5.38) diviene: (5.46) _— (1-1) (1, —- 1) sin € - sin 03 VIS —_—__—__.. o At;—> . IL sin 03 - SIN(0; — 02) Utilizzando le (5.40) e le proporzioni: (5.47) ll la — Is li i 0) 4) 4 sin (C+ —) sin(C——) 2 sin cos— 2 2 2 s'ottiene: 40
1 c a ta IN to Ha da id c.ca Di 246 RO: A - _ i Esempio di lettura: —Zenitale 919, 33 | 3 x =. si Azimutale 3669, 67 e _ TACHEOMETRO TG2c Ci i , so - e e © Il tacheometro TG2c è derivato direttamente dal teodolite | en universale TG1b del quale adotta il cannocchiale e la mecca- | fi POT nica ® Progettato per l'esecuzione di rilievi topografici col do rw n0__v metodo celerimetrico, utilizza gli accorgimenti tecnici più e “’“ _-—’‘’‘’‘;’ moderni e razionali per eseguire con rapidità e con la ne (.,L1ea ____ cessaria precisione le misure richieste dalla celerimensura fe... ’(.6’.6 e È dotato di dispositivo ripetitore per l'orientamento del eo. _vue,. cerchio azimutale e di piombino ottico ® Le letture angolari, | _bY T Wo - sia azimutali che zenitali, si eseguono con un unico micro E # AT scopio a mezzo di originale scala graduata realizzata in (È. ric’ modo da rendere le letture facili e rapide © Il cannocchiale, dotato di obbiettivo apocromatico costituito da tre lenti tratta te antiriflesso, è di grande luminosità, dotato di elevato potere ; ; si » risolutivo e consente anche collimazioni nadirali © Il TG2c può essere corredato di un. notevole numero di accessori. STRUMENTI TOPOGRAFICI GALILEO LG2 Errore medio chilometrico + 1 mm. Adatto all'impiego in livellazioni geometriche di alta precisione. LG3 Errore medio chilometrico + 2 mm. Adatto all'impiego in livellazioni geometriche di media precisione. LG5bS Errore medio chilometrico + 5 mm. Livello di moderna concezione dotato di snodo sferico (con dispositivo di bloccaggio) per la rapida messa in stazione. LG5b Errore medio chilometrico + 5 mm. È destinato a livellazioni geometriche speditive con facilità e rapidità d'impiego. LG6 Errore medio chilometrico + 6 mm. È simile al modello LG5b dal quale si differenzia per l'assenza del movimento di elevazione. ALG7 Autolivello Errore medio chilometrico + 50 mm. È indicato per lavori di edilizia, si utilizza van taggiosamente in sostituzione di squadri, livelli ad acqua e simili. TGib Teodolite Universale Precisione (a stima) I sa a, Strumento particolarmente adatto per osservazioni astronomiche speditive, triangolazioni dal 2° al 4° ordine, poligonazioni di precisione. ‘| TG2b Tacheometro Teodolite Precisione (a stima) a Mint Riunisce gran parte delle possibilità del teodolite per triangolazioni di 3° e 4° ordine a quello del tacheometro della maggior classe. TG3b Tacheometro Precisione (a stima) SA. 7 2 oe i Strumento di dimensioni ridotte ma con elevate caratteristiche di precisione. TGA4bR Tacheometro Livello Precisione (a stima) | 300. 5 (205) Strumento semplice e robusto, studiato per l'impiego sia in cantiere che in campagna. Dispositivo di ripe tizione sul cerchio orizzontale. Tavoletta da campagna « Monticolo » Estremamente pratica per il rilevamento grafico speditivo. Accessori per Teodolite Universale TGib, Tacheometro Teodolite TG2b e Tacheometro TG2c @ stadia INVAR orizzontale mt. 2 @ mire di poligonazione @ piombino ottico @® declinatore magnetico @ livella a cavaliere ® camera fotogrammetrica per fototeodoliti FTG1 - FTG2 OFFICINE GALILEO - VIA CARLO BINI, 44 - FIRENZE - TELEFONO 47.96