Valentino Tomelleri del Politecnico di Milano Riassunto
A seguito e compimento del procedimento algebrico-analitico, già esposto in altra precedente nota di questo Bollettino, per il problema dell’intersezione quadratica inversa multipla nel piano, se ne propone una possibile soluzione grafica tramite roto-traslazioni, punti di COLLINS in archi capaci di angoli noti su opportuni segmenti, triangoli a catena, ricerca di corde co-polari di assegnata differenza in lunghezza od individuazione di coppie di corde equi pollenti spiccabili da poli omonimi assegnati su certune circonferenze acqui. sibili nel corso dello sviluppo grafico-geometrico elementare. 1. GENERALITÀ INTRODUTTIVE
In una precedente comunicazione sulla intersezione quadratica inversa multipla nel piano, recentemente apparsa su questo Bollettino (1), nel pre sentare alcune illustrazioni (particolari o meno) esemplificanti possibili con fisurazioni solutrici ci si riservava di riprendere in altro momento e sede la questione relativa a qualche procedimento elementare d’elaborazione grafi co-geometrica del problema nel suo aspetto generale.
Ed è questo appunto l'argomento dell’attuale nota, in analogia e compi mento di quanto di già effettuato in altra precedente memoria (2), pur senza quella ricchezza di metodi elementari diversi ivi presentati (cui in genere ci sì ricondurrà) per una particolare prima situazione ristretta a terne di ver ticì consecutivi.
Alla vera e propria procedura grafica risolvente si antepongono, per ra gioni di sintesi e chiarezza di trattazione, alcune questioni geometriche preli minari (che s’affacciano via via naturalmente nelle considerazioni relative ad un eventuale nuovo particolare metodo generale) attinenti l'individuazione di | corde equipollenti in una coppia di circonferenze complanari.
Trattandosi in sostanza di una prosecuzione del primo dei due lavori testè (1) V. TOMELLERI, Una intersezione (quadratica) inversa unificatrice nel piano, Bol lettino della S.I.F.E.T., 1972, n. 1, pag. 7. (2) V. TOMELLERI, Possibilità di un nuovo tipo di intersezione inversa multipla a soli quadrilateri nel posizionamento di poligonali planimetriche appoggiate "a visuali isolate” G punti noti inaccessibili, Rivista del Catasto e dei Servizi Tecnici Erariali, nuova serie, anno XXV, 1970. 61
citati, ci si esenta da una introduzione anche succinta sulla essenza del problema colà ampiamente studiato dal punto di vista algebrico-analitico.Salvo esplicite contrarie dichiarazioni, per quanto riguarda notazioni, convenzioni, dettagli, ecc., ci si atterrà a quanto introdotto in quella comunicazione, cui appunto si rimanda il lettore per ragioni di sintesi tipografica.Analogamente, per i medesimi motivi, al secondo dei due citati lavori siintende fare riferimento in tema di considerazioni generali sull’utilizzabilitàproficua di procedimenti risolventi grafici elementari.“2. CORDE UGUALI CO-POLARIUna prima questione preliminare riguarda l'individuazione delle coppiedi corde uguali co-polari in due distinte circonferenze proprie complanari intersecantisi.Precisamente, (fig. 1), siano Y; e Y, due distinte circonferenze proprie dicentri C,, C, e raggi r,, r, e ne siano B,, B, 1 due comuni punti base reali propri. Si richiede di determinare le rette, quali d e d, spiccate da uno dei duepunti base, quale ad esempio B,, sulle quali le circonferenze Y, e Y, intercettano delle coppie (B,B., B,B,) e (B,D,, BD.) di corde uguali allineate.Fissato appunto, ad esempio, quale polo il punto base B,, è evidente chealle richieste condizioni soddisfa la comune corda B,B, appartenente all’asseradicale b = B,B, delle due distinte Y,, Yy. Ci s1 domanda poi se, come v'èappunto la B,B,, vi siano e quali che siano pure altre rette del fascio dicentro B,, sulle quali y;, e Y, intercettano corde di ugual lunghezza, appartenenti alla stessa generica retta, anche se la lunghezza varia da retta a retta.p|Al 2 ul Be 2 A?NYA NI 37ARIDNY2va odNI:=> pri BiDi b ||fig. 162
Posto allora che di tali rette ve ne sia qualche altra d, oltre all’asse racicale b, si dicano D; e D, (tra loro distinti o meno, com'è per B,) gli estremidelle corde distinti da B,; per essi e per 5, si conducano poi le normali allaretta d in gioco. Tali normali in D, e D, incontreranno le Y; e Y, nei punti i4,, A, diametralmente opposti del comune polo 5, e dei due A,, A, uno, almeno, sl differenzia dall’altro punto base 25, attesa la distinzione delle Y, e Y,.La o le rette 5,A,, 5,A, risultano così ortogonali in B: all'asse radicale b edA,, A4,, B;, sono tra loro allineati. Quando, allora, la normale in 5, alla rettaconsiderata d non risulti parallela alla predetta A,B,A,, cioè quando la dnon coincida con l’asse radicale db, l'intersezione propria M fra detta normaleed A4,B,A, equidista ida 4, e da A,, per il teorema di Talete, in quanto è peripotesi B,D, = B,D,; e tale equidistanza A,M = MA, uguaglia pure la distanzaC,C, fra i centri C,, C, ‘delle circonferenze Y,, Y,.Ne segue, in conclusione, la seguente semplice costruzione pratica. Fissato B, quale polo, per l'altro punto base 5, si conduce la normale all’asseradicale b= B, B,, la quale incontrerà y, € yy in A; ed A,, rispettivamente.Del segmento A; A, si localizza il punto medio M che va congiunto con il poloB,. L'ortogonale in B, alla MB, interseca le y,; e Y, in D, e D, equidistanti daB,, come richiesto. ÈA chiusura di questo numero, è da notare che il limitato numero (due)di coppie di corde rispondenti alle imposte proprietà dipende: 4) dalla distinzione delle due circonferenze Y,, Y, reali proprie intersecantisi in duediversi punti propri; b) dall’unicità della normale alla retta (se non degenerein un punto) definita dal comune punto base assunto come polo e dal puntomedio tra i due centri delle circonferenze.Quando venisse meno la a), l’identificazione di yY, e Y, lascierebbe indeterminato l’asse radicale, pur se si prefissa un punto quale uno dei puntibase e polo (a meno che vy, = yy non venga considerata come coincidenzalimite e se ne precisi il percorso e le modalità di convergenza). L'identificazione di Y, e Y, produce quindi in generale una oo’ indeterminazione: occorrerebbe anzitutto un parametro ad ubicare il polo su Y;}= Y, e successivamente un secondo per la retta da assumere quale asse radicale nel fasciodi centro-polo prima prescelto, (fig. la).vV1= 72 la Vana (-= IXBir —fig. la fig. lb 0Allorchè, invece, e solo allora, le due circonferenze Y;, Y, abbiano ugualraggio e siano mutuamente tangenti esterne, le coppie di siffatte corde sonoin numero illimitato venendo meno la bd): punti base e punto medio deicentri coincidono, così che la predetta retta degenera in un punto proprioe di normali per esso se ne possono condurre quante si voglia, su ognunadelle quali la coppia Y;, Y, intercetta due corde allineate ed uguali, di lunghezza però variabile assieme alla generica retta del fascio, (fig. 1b).63
Si tratterebbe, dunque, di una oo! indeterminazione nella scelta od individuazione della retta del fascio e cioè della coppia di corde co-polari, allineate ed uguali.Risulta, in conclusione, dalle precedenti considerazioni che caratteristicacomune a questi unici due casi di indeterminazione è l'uguaglianza dei raggidelle circonferenze reali proprie Y; € Y,.3. COPPIE DI CORDE EQUIPOLLENTI” "Un secondo problema preliminare concerne l'individuazione delle coppiedi corde equipollenti e convergenti in due poli corrispondenti di due distintecirconferenze proprie complanari, (fig. 2).lr ueIA xx 4 x NQui Bz x \° ZM (NTZR \— 7 x Ndi e ne nl \ € ÌIS «Ta \x Sa / \ \ __3&ix NES è l x y È 4_7NATAAi Lu _ \\ Su NI neiDen. N os: x NS _ “ _ Di7 X O A NL ATx A rr OL ò:a mI2i: TG .72 ——_ 7 SN nNI XX.| NO Fi è/ ò \N 2,7a Di © xfig. 2Siano, cioè, ancora, Y;} € Y, due distinte circonferenze proprie complanari,questa volta anche non realmente intersecantisi, di centri C,, C, e P,, P,siano due loro qualsivoglia punti da assumersi come poli o centri corrispondenti di fasci di raggi. Si domanda di localizzare nell’uno e nell’altro fasciole coppie di raggi fra di loro paralleli su cui le circonferenze Y, e y, intercettano corde di ugual lunghezza, pur se variabile da coppia a coppia.A tale scopo, per ricondursi alla costruzione del precedente paragrafo,si pensi di traslare, ad esempio, la coppia (C,, Y:) secondo la direzione P, P.,,costruendo il parallelogramma C,P,P,Cy, in (Cy, Yy).Escluso il caso ovvio che il quadrangolo C,P,P,C, (fig. 2a) sia già essostesso un parallelogramma (per modo che tutte le coppie di raggi parallelidei due fasci adempirebbero alle richieste esigenze), C, e yy" saranno in generedistinti da C, e Y;, rispettivamente.Nei riguardi di Y,, yy sì potrà mettere in atto quanto puntualizzato alprecedente paragrafo assumendo P,= B, quale comune origine delle cordeco-polari.La normale da P, alla C,C,' individuerà con Yy, l'intersezione Q, = B, datraslare, inversamente a prima, sempre secondo P,P,, in Q;, su Y, con il parallelogramma Q;P,P,Q, .
Costruito poi il parallelogramma C;P;C,' M per individuare M e la diagonale M P,, la normale in P, alla predetta MP, intersecherà la y, anche inD,, al quale corrisponderà D,, su Y,, ottenibile con l’ulteriore e finale parallelogramma P,D,P,D,.A motivo, appunto, di queste elaborazioni grafiche secondo parallelogrammi e traslazioni varie è evidente che (P, Q;, P, Q;) e (P, D,, P, D.) sonole richieste coppie di corde equipollenti (prescindendo dal verso, per la seconda coppia) e convergenti sugli omonimi poli P,, P, nelle due assegnatedistinte circonferenze proprie y, e Y,.Le considerazioni della fine del precedente numero 2 a proposito di indeterminazioni lasciano intendere che simili casi son da tener presenti purnell'attuale situazione trasferibile, come s’è detto, a quella ivi discussa.y,17° 2Po ZE)/ \L{_/ ° (7/ / ,° A/ di Pi, ,° Po .VA 7 7 \ti Vfig. 2a fig. 2bDella fig. 2a già si è fatto testè cenno.Dalla fig. 2b, ov'è ora C,P,C,P, il parallelogramma dei centri e dei poli,risulta evidente il riferimento al citato caso d) del n. 1, così che ancora, comeprima, tutte le coppie di raggi paralleli dei due fasci risponderebbero alleimposte esigenze.4. CONSIDERAZIONI SU DI UNA EVENTUALE ELABORAZIONE GRAFICA SINTETICA PERL'’INTERSEZIONE QUADRATICA INVERSASì prenda a considerare il problema della intersezione quadratica inversamultipla nel piano così come formulato nella già citata nota (1).Per comodità del lettore si riproduce qui a lato in fig. 3 lo schema generale colà presentato in quella figura 1 riassuntiva della generica situazionetopografica, della prassi operativa, di notazioni, di convenzioni, ecc. qui integralmente riprese.Per una maggior semplicità e concretezza d’esposizione converrà pureriferirsi, almeno per alcuni passi delle successive varie operazioni geometriche da eventualmente effettuarsi, alla adiacente fig. 4 (e derivate successive)
xo x i plus ° / ii Intersezione inversa ii 1 ì quadratica multipla n I Yi i and AT. ! \ x xi a PA È i uu } _ì Ha TT iI Tit | Tn SA 4 I ' \ js Tn Tn Ti o i A ! P ' i i Ù } E he I Hi Î | i ! \ t ! i ' \d pi ì ii f i A \ 1 dal ! a i, i Vo a NA Ò ì ‘oa Un È i. ! ! . I Va i a ar £n-2 ' , n-1 Lat ; v 0.__ A fama YAN "4 ata pa it, i, 0, Ma A n-3 &n-2 Eni dI Rae izg lina e ag EA o Mi ve Va / 4 i Via Vi; diet Via 12 n-2 cha Va i a, ; I ! °° L Xi xt ;9 tig.3 relativa ad una quaterna di vertici noti generici T,, 7,, 7}, 7, e ad una dop? . " . # + - possibile configurazione V,', (7 = 1, 2, 3, 4), Vy, (s = 1, 2, 3, 4), nell’ipotes: utilizzare inizialmente i soli otto dati lineari-goniometrici dig, Aaa, di — 3 a;, a, (i = 2, 3,), a, « strettamente necessari ». Si consideri innanzitutto il poligono (convesso, concavo, intrecciato): IT,V,ViVi.... Lee. V,3 Vi: Vi Ta si n = 4 in fig. 4). ove con I (od /' ed I", in fig. 4) s'intende aver indicato l’intersezione prop: od impropria delle due rette cui appartengono i due lati T,V, e T,_;}- (oppure 7, V', , 7, ;V',_: €CC., in fig. 4). I’ Va ‘ d34 vi D (7) \ \ Pa t\ Ta Va \ \/ II \ Ti \ A 7 IV | V2 \> i. Vi | 27, 9 AZ » L V3 da LT —_ _. LT N - i D UL, nen Vi di? Ò (\ Pradi 7 di. ’ 0 i V2 t IT | | Vv“ Vi . i fig. 4
Di un tal poligono, anche intrecciato, sono quindi noti gli angoli interni-esterni, avendosi:1,=7n(mod2rn), T, 1=qn(mod27a7),V.=a'—a,(mod27n), V,- 1 n_1;(M0d2 7),Vi= a'3(mod2 x), V, gn (Mod2rn),l i Via (MOd 2)ond’è pur noto, a meno di multipli di 2 x , l'angolo x in / (od /' ed I”).Nel tentativo di apprestare un procedimento grafico unitario che temporaneamente prescinda, se possibile, dalla più o meno lunga catena dei punti-verticiintermedi, si potrebbe pensare di operare una roto-traslazione di uno deiquadrangoli estremi T,T,V.,Vi,T,aitnVaVn:, intesi come rigidi, così daportarli l'uno attiguo all’altro. Precisamente, ad esempio, dapprima (fig. 5,per n = 4) sl potrebbe traslare il quadrilatero rigido 7,14, Van Va: parallelamente a sè stesso portando il vertice 7,_, a coincidere con l’altro 7, e siaappunto T) TV, Van 1 la posizione finale del quadrilatero così traslato. Indi,se , non vale zero o n, del 7, T,V,Vn-1 Si potrebbe effettuare una rotazioned'ampiezza , attorno a 7, (fig. 6, per n =4) così da portare il lato 7, V,,_; acoincidere con il lato T,V, del primo quadrilatero rigido 7,7T,V,V, rimastonella posizione iniziale.Ta _ VaRE 7Ti e TT i .e Va Lett 2 aL \ ©e OS a'3 iN d3 Di )Vo 2 ST Va :di b Dv en(> eVO |NU _, a iVi di; 7 V3V2fig. 5Con ciò l'originario quadrilatero 7,_1T,V,Vn; avrebbe raggiunto la posizione T,7T*,V*,V*, ; con V*,_; sulla retta 7T,V,.A tal punto sarebbero da distinguere i tre casì:1) o, —g;= 0(modr), o,— 0, = 0(mod rr); |2) o, — 0; = O(mod x), On On-1# O(modr) ;oppure:oc, — 0 £ 0(mod n) , On — On-1 = O (Mod x) ;3) o, —- 0, #0(modr), On — On-17 O(modr);che regolano il parallelismo o meno di tutte od alcune delle tre rette fondamentali V,T,, V\T,= V*, Ta, V*IT*n:Com'è analiticamente noto, quando una almeno delle differenze o, — 01,O, — O, : NOn sia congrua a zero, secondo 7, [com'è nei casi 2) e 3)], il pro
Ti i 134 S Va 777 1 tx 1 ) \ ) ì Fani Vo Va CdA i _ 1 4 VV) a Va Vi di2 N 2 È Va 7° vi fig. 6 . blema risulta determinato, a meno di una scelta fra due possibili configu razioni; in caso contrario, con 0, — gi € €, — On-i entrambe congrue a zero, ci si trova invece di fronte ad una completa indeterminazione. Dalle successive considerazioni risulterà, poi, che in effetti si potrebbe astrarre dalla menzionata roto-traslazione. 4.1 - COPPIE DI RETTE ESTREME PARALLELE: COMPLETA INDETERMINAZIONE ««Avendo luogo le due predette congruenze a zero, secondo x, le due rette V,T,,V,T, sono fra di loro parallele, così come pure lo sono fra di loro (an che se non parallele alle due testè menzionate) le due altre estreme V,_;Tn_1, VT
Le tre rette V,T,, V,T,.=V*,_1T,, V*,I*, sono fra di loro parallele ed il problema, com'è noto, è completamente indeterminato [cfr. citata nota (2), paragrafo 5; oppure anche citata nota (1), paragrafi 3.3 e 3.4], (*). 4.2 - COPPIE DI RETTE ESTREME PARALLELE E CONVERGENTI: SOLUZIONE A CORDE
CO-POLARI
Quando invece una sola delle differenze 0. — oi, 0, — n; SÌIa congrua a zero, secondo n, allora la soluzione grafica del problema, la cui indetermi nazione a priori stavolta si riduce ad una eventuale scelta fra due configu razioni teoricamente possibili, si riconduce facilmente, ad esempio, a quella detta « delle corde co-polari di assegnata differenza » presentata nella nota (2) già citata al paragrafo 7.2. {*) Con riferimento al quadro 2 [equazione determinante per è, del paragrafo 3.3 della citata nota (1)], risulterebbe, nelle premesse ipotesi: f1= ft2, în-1= în, così che sa rebbe pur nullo ogni complemento algebrico di un qualsivoglia elemento dell’ultima co lonna contenente l’incognita è.
Ta: 17 ° dis n
Le” Cc ; 3% — [IT Ba TT Va } Ti Bi N N N Y n TTT Va x 112 =VI d34 CA N AA a ING A v, ae N 9° Q3- x > î (N 7a, \ Ti VI \ Vo di, Ca vi | \ fig. 7 °c4 Va . Si supponga, ad esempio, sia, con riferimento alla fig. 7: li = 0-0, O (mod x), ta = 04 — 03 = O(mod x), avendosi posto, com'è noto: Tio cia, Tg = 04 + as, 1 Ty = 01 t ca , 03 = 0 + az; 03 = 02 tas , Ta — Tg + Ca » .
Si inizi poi a tracciare uno degli archi capaci dell'angolo 13 # 0 (mod x) sulla corrispondente base T,T, = b,,. In mancanza di ulteriori elementi per operare fin d'ora una scelta fra i due possibili archi, simmetrici rispetto alla T,7,, converrà tracciarli entrambi e quanto si andrà dicendo per uno solo, a motivo di semplicità, appartenente alla circonferenza y, tracciata in figura 7, dovrà logicamente ripetersi ed attuarsi anche per il simmetrico fino a che non si potrà discriminare definitivamente, se si è in grado, tramite qualche altro elemento anche qualitativo, tra le due possibili teoriche solu zionl.
Dopo di che, nell'ipotesi il problema fosse di già risolto, si potrebbe traslare la base misurata ed orientata V*,V*, = d,yy, tra gli ultimi due vertici V.,, V,, parallelamente a se stessa fino a portarne l’estremo V*, in /,,, inter sezione su y; delle rette 7, V,, 7,V,. La retta del segmento equipollente sì avuto per traslazione interseca (o tange) la y, ulteriormente in B,, così che T,B, è visto da J,= V*, e da 7, sotto l’angolo ay. E sotto questo stesso angolo a, si vedrebbe pure il segmento B, 7*, dall’estremo V*, allineato, per la operata traslazione, con B, /,, = B,V*,. Il punto B: è dunque, ovviamente, una delle due intersezioni della y, con le rette, simmetriche l’un l’altra ri spetto a 7, 7,, che con 7,7, stessa formano l’angolo a, in 7; e tra le due, come al solito, andrà fatta, se possibile, una opportuna discriminazione.
Ii tutto in tal modo si sposta sulla terna di punti 7, , B,,7*, e sulle cir
conferenze Y; predetta e y, capace di ay sul segmento B,7*,: con polo B,, s. dovrà determinare le corde co-polari del tipo B, V*,, BV”, delle vy,, ya la cui differenza V*,V*, uguaglia l’assegnata base dy, = ViVi, (*).
Per questo, come si sa, è, ad esempio, da prendere un segmento B;C. sull’asse radicale B,B, delle ; € yi, a partire da 8, verso 5B,, lungo 2.C,C,, ove C,C, è la interdistanza dei centri C,, C, di y; € va, (**).
Tracciata la circonferenza y di centro C e raggio pari all'assegnata dif. ferenza d,,, dal polo B, si dovranno condurre le tangenti alla +. . C3 i i TT - 8 Co D1=A d c 8 Ci C / Da B DA 7 DI D? \ Ci 7 T- b D=A d #4 p ca C @ I C3 B (*) Che in questa fase della soluzione, nelle predette ipotesi, non sia necessario l’inter vento della distanza d;2, è conforme a quanto in simili circostanze suggerisce la equazione determinante del quadro 2, par. 3.3, della citata nota (1) limitatamente alla determinazione dei due possibili valori del parametro d'orientamento è. i l i i
Essendo appunto fn = în, € 11 z tz (e nell’ovvia ulteriore ipotesi che pur tutti gli altri elementi t9° — #3, ecc. della diagonale principale non siano nulli), una tal equazione riducesi alla più semplice:
Pn-i - COSÌ + An-1- sind +(_ 1)9-! da_yn- sinan/coson= 0, con:
Pn_1 = Yn— Yn-1+ tn (Xnei — Xn} , .. Qn-15 Xn — Xn + tn (ni Ya), ove, nell'una e nelle altre, la presenza dei vertici precedenti T;, T2, .., In-2, Vi, Va, Vn-g si manifesta tramite i soli angoli a/1, &/2,..., 0’/n--1 delle combinazioni o'n-1 € on. . D'altronde, com'è noto, sono in genere angolarmente definite, nell’ambito di due fa miglie di configurazioni simili, Ie conformazioni di trapezi di cui vengano assegnati i lati obliqui ed uno degli angoli tra un lato obliquo e la direzione dei lati paralleli. Vedansi le adiacenti figure ove si intendono assegnati il lato obliquo AB = c e gli angoli B e TT_-8 con la direzione dei lati paralleli, nonchè l’altro lato obliquo d; è allora ovvio che al lato obliquo d possono essere assegnate due sole direzioni simmetriche rispetto ad una qual sivoglia normale ai lati tra loro paralleli. i i ._ E da quest’ultima osservazione discende una nuova procedura grafica di soluzione, va lida nelle premesse ipotesi, di ben facile concezione potendosi astrarre dalla roto-traslazione considerata in precedenza, per cui ci sì dispensa da una dettagliata esposizione, potendo bastare appunto quanto qui e nel testo si è ricordato. (**) Il secondo punto base B» tra yi e ya appartiene pure alla retta del lato T3* T* = = TT", cioè la retta Tg T4* interseca la circonferenza yi, oltrechè in 7», in altro punto coincidente con Bs» per il fatto che da esso si vedono B; 7: e BT sotto gli angoli as 0 n Ud è
Ed il problema è così praticamente quasi risolto. Una di tali tangenti individuerà sulla y, Vintersezione /,, = V*; e sulla yy l’altro estremo V*,. Sono quindi individuabili le direzioni /,, 7}, 1;g T; delle visuali ViT1, V27= e così pure quella delle parallele V;7;, V,7, una volta che si tenga conto della rotazione d’'ampiezza , inizialmente operata attorno a 7,.
La risoluzione del triangolo non degenere V,V,1I,, tramite i noti ele menti gonio-lineari. a —a;,, &,, diz=ViV2 permetterà d'avere poi V, I, V3 {1g € quindi di localizzare Vi e V: a partire, in senso opportuno, da iz. Successivamente, tramite altri noti elementi, si localizzeranno dapprima il V; ed infine l'ultimo vertice V,.
Di una eventuale altra possibile configurazione solutrice, derivabile da una o dall'altra delle doppie vie che, come s'è or ora visto, sì presentano a mano a mano che sì procede nella soluzione grafica, già s'è detto.
Alla discriminazione finale concorrerà validamente la conoscenza di un qualche altro elemento, acquisito in fase di rilievo, da comparare con l'omo nimo che l'una o l’altra configurazione risolvente suggerisce. 4.3 - COPPIE DI RETTE ESTREME CONVERGENTI
Resterebbe ora da studiare il caso generale ove: i bia = 02T 01 F 0(mod x), Uin-tim = On — On-1 F# 0 (mod x), relativo a coppie di rette estreme (V, 7, V, Ta), (Vi: Tai: VaZn) convergen ti in punti propri rispettivi /,, Linn
Effettuata, dunque, la roto-traslazione indicata e fatto per semplicità n = 4, sarebbero da costruire gli archi capaci degli angoli rispettivi t3,t34 © supplementari r— ts, t— tg sulle basi T, T, = bg, T,7T*4= Du, (fig. 8).
ZIO 2770 = I I Ta T- {12 È 7 — x \ Ya Si 27 x ; A T2 Ti TT N x x 4 7 } . J ta Ù1 T Ta I Ci ) 5 ; Su o : Ca Î “ci > 12 cad 4 Ti a L34 :0 ° \ ì 34 “\ UT = _ Fa 400 ee Ne Pepe pe 2 T* \ \ 4. LL a | N Va _- Cda) %/ \ laff gg > f- CV Xx 007 Vo ° e e _ 7/3 \ N L- af + Tae D. FA 4 . . N L- TAG] - 412 _ a ) Las {N ser FAT iii iii \ 4 \ 4 L312 \. e i TT, Fi Ta fig. 8
Si chiamino poi +, una delle circonferenze relative ad 3, TT; e yy una delle due altre costruibili con la coppia 1a, T: Tu". La scelta, al solito, di penderebbe da qualche eventuale ulteriore elemento, anche qualitativo, se disponibile; altrimenti, si dovrebbe procedere secondo i quattro possibili ac coppiamenti ripetendo quanto sarebbe via via da compiere sulle y;, € y4.
Pongasi, dunque, per intanto, che 11 problema sia graficamente risolto e siano appunto vy;, yy le circonferenze degli archi capaci di w1»oT— tz € tuOoTt— tg Sulle basi 7, 7), 7,74"; su di essi giaceranno i punti /12, £s4 di convergenza delle coppie (V,7,, V.,7T.) e (V}*T,, Vj T,°).
Si pensi poi di traslare il segmento /,, T; parallelamente a sè stesso fino a portare /,, in Ly, lungo la retta /,,7,, = V272 = V3* T:. Varrebbe quanto dire di spiccare da /,, la retta r, che con la /y7T, formi ancora l'angolo tia = TiligTa. i o. l
La retta r, intersecherebbe sulla yy il punto Q; individuabile anche, sulla Y4 Stessa, come uno dei suoi punti che, accoppiati al vertice 7,, dànno luogo a segmenti O;T; visibili dall'altro vertice 7,* di y, sotto l'angolo conside rato to (ot — to) relativo all'altra circonferenza y,. Nella traslazione testè operata il vertice T: andrà in un punto 7;' tale che T, 7' riesce equipollente ad 112 [3a e da 7; si vedrà T,O; ancora sotto l'angolo ws, (07 — to).
Sarebbero quindi da costruire su T;0; gli archi capaci di tw, (07 — tz) e sì chiamerà T; una opportuna di queste due circonferenze.
Le considerazioni testè svolte sarebbero da ripetersi nei riguardi di /,,7*, da traslarsi portando /;, in /,} e -7,* in un nuovo 7y (da determinarsi, in realtà, con la successiva costruzione) con T,* T,! equipollente ad 1,4 Is.
Si dovrebbero localizzare sulla +; i punti Q, che, accoppiati al vertice comune 7T,, dànno luogo a segmenti 0,7, visibili da 7, di Y, sotto l'angolo 134 (ot— tg) relativo alla yy e sceglierne uno opportuno. Si dirà infine I, una opportuna delle circonferenze cui appartengono gli archi capaci di 34 (07 — t34) sul segmento O, T.% e ad essa appartiene ovviamente pure il predetto 1/'.
I segmenti 7, 7) e T,* T/ sarebbero tra loro equipollenti, essendolo entram bi nei riguardi di /,, /,,; sarebbero, inoltre, spiccati rispettivamente da /, e da T,* (che sono punti di posizione nota) ed i loro altri estremi 7, , 1 apparte rebbero l'uno a T, e l’altro a T,, dato che da questi si vedono 7,0, e 7T,° 0, sotto gli angoli rispettivi vs (oT— ts), tas (OT — tra).
Ed allora, una volta tracciate le T, e T,, la costruzione esposta al prece dente n. 3 darebbe modo di individuare le corde equipollenti di T; e T, spic cabili da T, e da 7°.
S’affaccerebbe, però, a tal punto la questione relativa al numero limitato od illimitato di coppie di siffatte corde equipollenti.
A tal proposito è da osservare anzitutto che con la predetta roto-trasla zione (operata nel tentativo di giungere ad una soluzione sintetica, che pre scindesse, cioè, dalla posizione dei punti-vertici intermedi) l'originario pro blema s’è tramutato, come appare dalla fig. 6, nella localizzazione della qua terna V/, V,, V,/*, Vy/* rispetto alla terna nota T,, T,= 7T;*, 1," , null'altro però sapendo dell’elemento lineare Vy V,'* all’infuori dell’allineamento della terna V,', V,'*#, T,. Essendo, genericamente, V,' £ V;/* ed ignorandone la re ciproca distanza V,' V;/*, il problema così prospettato resierebbe completa mente indeterminato venendo a mancare un elemento essenziale alla indi viduazione delle nove incognite (le quattro coppie di coordinate di V,', Vy, Vy*, Vy* ed il parametro d'orientamento angolare della poligonale, avente 72
questi come vertici, nel sistema dei noti T,, T,= 7;*, 7T,“). Nel corrispondente sistema d’equazioni del tipo del quadro 1, par. 3.2, della citata nota (1), |infatti, le visuali V, T,, Vy'*T., Va'V3'*, a causa dell’allineamento della terna °V;', Vy'*, T,, genererebbero due sole equazioni indipendenti. |Una tal oo! indeterminazione analitica lascia dunque presagire che, nellaanzidetta ricerca (fig. 8) delle coppie di corde equipollenti di T, e T, spiccabilida 7, e da 7," secondo la falsariga dei nn. 3 e 2, ci si imbatterà in un caso consimile di indeterminazione eliminabile solo a patto di conoscere la lunghezzaI, tx delle corde ricercate.E l'acquisizione, anche grafica, di una tal lunghezza non è in generaleimmediata venendo a dipendere anche dagli elementi gonio-lineari (noti odinizialmente incogniti) della spezzata intermedia accantonata V,, V., ....., Va,Ne è un facile esempio grafico la fig. 9, ove si è ipotizzato il parallelismo dellevisuali V,1,, V,T,.*° T2ET2 Dl TÉVa/ NQTi NNT3 NN Tada Qi /a4 /Vo (IS CD N ,Vi V3 d34 / Vao CC - /È x L34 /V2 DS 7NZL12 134l \ 112I,fig. 9 L=0L'angolo | è così congruo a zero e sarebbe da compiere, secondo gli intendimenti esposti, la sola traslazione rigida definita da T.T;, che porterebbe V: in V*: sulla V, 7, e l’intersezione /,, in /,,7. Evidentemente:. 113 134" = Ia3V, t Va Va” — du Vi; ’ . ie del triangolo V,V,V,*, che definisce il lato incognito V, V,}* , attualmentesi conoscerebbe solamente V,V,* = 7,7, e l'angolo T,V, Vh=ay— as.. Purtroppo, quindi, in conclusione, il suesposto tentativo che voleva prescindere in una prima fase, come detto, dai punti-vertici intermedi, ricercando delle coppie determinate di corde equipollenti (di lunghezza però inizialmente incognita), nel caso più generale di coppie di visuali estreme entrambe convergenti, non ha esito felice. A ciò si provvederà con altro procedimento generale nel numero seguente.73
A conclusione delle precedenti considerazioni, è da ribadire però la va. lidità del metodo qui esposto, e che si denominerà « delle corde equipol lenti », quando altrimenti si riesca a conoscerne la lunghezza ed esso richiama sostanzialmente quello « del trapezio o della secante o del punto di COLLINS presentato nella citata nota (2) al par. 7.5. 5. - PROCEDIMENTO GRAFICO GENERALE « A SUCCESSIONE DI PUNTI DI COLLINS E
CATENA TRIANGOLARE » ) 5.1 — Si inizierà a supporre che il problema sia determinato (a meno della limitata incertezza derivante dalla sua natura quadratica che teorica mente comporta due soluzioni, a parità di dati iniziali) e di più graficamente risolto.
Si fisserà l’attenzione su una delle due configurazioni teoriche inizialmente possibili. Per maggior semplicità, ci si limiterà a delle considerazioni esem plificative, però del tutto generali, su di un ristretto numero di punti, e pre cisamente alla configurazione di fig. 10 relativa a due sestine di punti 7}, V,. (i = 1,2, 3,4,5,6), ove in particolare si è ipotizzato il parallelismo delle vi suali V,T,, VjT,. À al \ LT ft3 4 o L23 È rà Qu , MER 144 : n ani Nt \V D d
Si indicherà poi ulteriormente con: Logi UT C+ sE 4a 1 (Mod n) uno degli angoli di convergenza (o parallelismo) della generica coppia di visuali V; 7}, V;,;7;.; da stazioni consecutive V,,V;,, ai trigonometrici omo nimi 7;, 7;.; nel loro punto di convergenza (od improprio) /;,;,;. dig, dsg siano invece le lunghezze note delle basi estreme V,V,, V;V,.
Come linea generale di condotta di un tal procedimento grafico, si potrà per ora anticipare che: 1) si cerca di ricondurre la questione relativa a due successioni di un qualsivoglia numero di punti a due terne di punti consecutivi giusto quanto già studiato e discusso nella citata nota (2) e per le quali v'è ricchezza gi metodi grafici colà presentati; 2) si procede, di pari passo od in tempi diversi, alla ricerca e determinazione di successivi punti di COLLINS sulle circonferenze (se proprie e non degeneri) capaci degli angoli t;,;;;0T — +: SUI lati notì corrispondenti 7,7,,, ed alla conforma zione di una catena di triangoli atti alla determinazione grafica di altre op portune basi intermedie d*,,;,; analoghe alle estreme note d,,, ds.
Converrà ancora ricordare, qui, com'è d'altronde intuibile, che delle doppie o maggiori possibilità di sviluppo via via offerte dalle costruzioni grafiche si dovrà effettuare a momento debito, se si è in grado, una oculata scelta tramite quegli elementi, metrici o qualitativi, noti a priori od acqui sibili nel corso del procedimento; in caso contrario, non si dovrà trascu rare alcuna delle possibili strade aperte, battendole avvedutamente ed ordi natamente una alla volta al limite della verosimiglianza, tenendo presente, com'è noto, la disponibilità in generale di un qualche ulteriore elemento ri levato « sovrabbondante » da utilizzare quale riscontro nella fase discrimi natoria tra le due teoriche configurazioni. 5.2 — Nelle premesse ipotesi, si inizierà a costruire e scegliere una delle circonferenze +1 con archi capaci degli angoli wygor— uu, sulla base 7,7,. Su una tale circonferenza (reale, propria, non degenere) giacerà l’interse zione Z,,.
A parte, sarà da costruire un triangolo uguale a V,V,/,, tramite la base nota VV, = d,, e gli angoli (interni od esterni) a/—a;,0 ai vertici V,, V,; ciò permette d’acquisire facilmente, per via grafica, appunto il lato V,/,, da utilizzare quale base per un successivo triangolo adiacente al testè costruito.
Se si pensa, poi, d’aver traslato il lato V,V, (tuttora logicamente di lun ghezza incognita ed orientamento pure sconosciuto rispetto ai T,, 7;, ecc.) parallelamente a sè stesso portando V, a coincidere con /,,, si constata che la retta parallela a V,V; condotta per il punto /,, intercetta: 1) sulla circon ferenza y:: un ulteriore punto T,*, così che il segmento 7,7,* è visibile da 7, sotto l'angolo a — az; 2) sulla retta della visuale V,7, un punto V,* a di stanza conosciuta da V,.
Se per V,*, infatti, sì conduce la parallela a V,7,, ne viene individuata l'intersezione Vy con la V,V;. Evidentemente: Vy V,* = V,/,;;; di più: | Vi Va Via'’—a:(mod7r)e V.*V.,V, = ag(mod x). Con tali noti elementi è allora possibile costruire un secondo triangolo adiacente al primo utilizzando proprio il comune lato lungo quanto V,/,, e determinare in tal modo la lun ghezza che compete a V,*V,.
Ciò permette la seguente parziale conclusione relativa ad una riduzione del numero dei punti interessati.
Alla coppia di punti d'ubicazione nota 7,, 7, potrà sostituirsi il punto T," di facile nuova localizzazione ed alla coppia degli incogniti V,, V, il punto V,*, dal quale si sarebbe misurato l’angolo noto T,*V,*V,= T,*V,*T,= 75
= as(modn) tra le visuali a T,* e V, o 7; (entrambi allineati con V,*), ed a nota distanza V,*V, dalla successiva stazione originaria V,;. c
In definitiva, quindi, le originarie poligonali (T;, 73, 73, Z4, T;, Te) (V,, V., Va, V,, V;, V) potranno essere surrogate dalle (7,%, Ta, 4, Is, Is). è (V,*, V,, V,, V;, Vyg) del medesimo tipo delle rispettive precedenti, ma ri dotte ciascuna di una unità.
Ha così termine un ciclo di riduzione e sostituzione per ciascuna delle due poligonali originarie e se ne potrà iniziare un secondo del tutto analogo a partire da T," , T,.
Sul segmento 7,*7; si costruisca dunque una delle circonferenze v,; ca | paci degli angoli got — a. Indi, sulla yy} si individui uno dei punti 7:* tali che T:7T3* è visto da T,* sotto l'angolo a; — as; la T3*V,* risulterebbe para!. la alla V,V, ed intercetterebbe la V,7, in V,* a nota distanza da V4 deducibile da un terzo triangolo, a seguito dei due della catena, con base pari a V,*V, ed angoli in V,* e V, uguali ad 134 e 7 —(a3 — dz).
Da V,* si vedrebbe 7,*7, sotto l'angolo a4; i tre punti V;*, V,, 7, sono allineati e di più è nota la base V,* V,. Perciò V,* e T;* possono benissimo surrogare rispettivamente le coppie (V,*, V;) e (7,7, 13).
Costruita, ancora, una delle circonferenze + capaci di as4onm — 04 SU T3* T4, su di essa si individuerà uno dei punti 7,* per cui il segmento 7,* I, è visto da T;* sotto l'angolo ay — aj. La T,% V;* sarebbe parallela alla V4 Vs ed intersecherebbe la V.7,, a sua volta parallela alla V, 7, per ipotesi ini ziale, in un punto V,* tale che V,% V, = V,F V,.
Il successivo triangolo della catena degenera questa volta, essendo tas = 0(mod rn), nel lato di lunghezza V,* V,.
Da V,* si vedrebbe quindi 7,* 7; sotto l'angolo a;, ed i tre punti V,, V;,
T; sono allineati; è pure nota la base V,* V; perchè uguale a V,* V,.
Tutto quindi è stato ricondotto: 1) alla terna di vertici T,%,7;,7 di nota posizione; 2) alla corrispondente terna V,%,V,,V; per cui risultan noti gli elementi angolari e lineari consecutivi seguenti: |
TEVEV;j= as(mod n), VE V.T,=0(modr), VEV.Vi=a5—a5(mod rn), ViVéTe = de , VEeVieViVi.
Con questo il problema è da intendersi graficamente risolto una volta che si prosegua con uno dei metodi proposti al par. 7 della citata memoria (2).
E’ ovvio che il procedimento esposto è benissimo applicabile anche al caso in cuì una delle coppie di visuali estreme. consti di rette parallele (n. 4.2 preced.).
La laboriosità della procedura grafica esemplificata giustifica appieno le considerazioni del n. 4.3 preced. tendenti a puntualizzare un metodo più sintetico generalizzante quello in precedenza acquisito per il caso trattato in 4.2. 76