(nuovo metodo di rilevamento in luogo della triangolazione ) Dott. Ing. Antonio Dragonetti
Riassunto. Per i lavori geodetici e topografici si propone di sostituire alle triangolazioni le quadrangolazioni, delle quali si misurano tutti i lati e tutti gli angoli. Si tratta di un nuovo metodo di misura, basato sulle poligonali e adatto ai moderni apparati elettronici ed elettro-ottici. Le coordinate «dei vertici delle quadrangolazioni si calcolano nel piano della proiezione conforme di Gauss, eseguendo la compensazione con iL metodo delle osservazioni indirette per variazioni di coordinate o con quello delle osservazioni condizionate. 1. - Considerazioni preliminari.
In precedenti mie memorie ho trattato il problema delle poligonali topo grafiche normali, quando non erano ancora entrati nell'uso corrente gli appa ratì elettronici ed elettro-ottici per la misura delle distanze e non si pensava di utilizzare le poligonali stesse a scopo geodetico. In tutti i libri di topografia sì considerano i vari casi delle poligonali aperte, chiuse, libere, vincolate e con nodi, ma per la compensazione si dànno generalmente metodi empirici, perchè la compensazione rigorosa con il metodo dei minimi guadrati richiede calcoli più lunghi e complessi. E’ evidente che la compensazione rigorosa viene eseguita per le poligonali di un certo interesse in lavori di precisione e per alcune di particolare importanza al di fuori degli schemi tradizionali. Il problema delle poligonali particolari è stato da me sviluppato in varie memorie [1], [2], [3], [4], ma si tratta sempre di poligonali topografiche.
Il Prof. Solaini è stato fra i primi a prevedere, sin dal 1938 [5], l'utilità delle grandi poligonali di precisione in sostituzione delle triangolazioni se condarie. Allora i lati di queste poligonali erano dell'ordine del chilometro e venivano misurati indirettamente con il metodo ad angolo parallattico variabile e stadia orizzontale a scopi. Non è da molto che l’uso degli apparati elettronici ed elettro-ottici nella misura diretta delle distanze sia entrato nella normale pratica applicativa. Le poligonali sono diventate più lunghe ed il loro campo d’applicazione si è esteso a scapito delle triangolazioni. Con gli apparati elettronici si possono oggi misurare disianze sino a 50-60 chilometri e non esiste più alcuna difficoltà per la misura dei lati, qualunque sia la loro lunghezza. L'unica remora al riguardo è dovuta soltanto alla variabilità delle condizioni atmosferiche ed alla questione della visibilità dei vertici nelle misure angolari. Ormai i metodi classici di rilievo dovranno essere riveduti alla luce dei nuovi metodi di misura delle distanze.
Le triangolazioni secondarie non sono più convenienti dal lato economico e possono essere senz'altro sostituite con poligonali di precisione, non più 13
di ordine topografico ma geodetico per il loro grande sviluppo. Ci ancora domandare: le poligonali potranno in un prossimo futuro s-: anche le grandi triangolazioni geodetiche? La risposta è affermativ: tiene conto della rapidità delle misure sìa lineari che angolari, deia rosità delle compensazioni, della possibilità di applicare metodì astronc geodetici per la compensazione delle grandi poligonaii e della semplic..: impostazione delle varie soluzioni. Sulla compensazione delle grandi triangolazioni geodetiche, in occa». del « 75° Anniversario della fondazione dell’Istituto Geografico Miliiz: hanno scritto pregevoli memorie i Proff. G. Boaga - A. Marussi - A. Ma:. toni [6], ancora il Prof. A. Marussi [7] ed ii Prof. G. A. Rune [8]. Tali = sono stati fatti per l'unificazione delle reti geodetiche europee con prop. di metodi essenzialmente astronomico-geodetici, necessari per le grandi :7 golazioni a forma di catene lungo i meridiani ed 1 paralleli. I metodi : in sostanza due, quelli di Helmert e di Bowie, nei quali alle catene di 7. goli fra due punti si sostituisce la geodetica che Ii unisce. Il « metod Helmert », che è stato applicato per la compensazione delle triangolazi intorno al Baltico, si basa sul metodo delle osservazioni condizionate opera direttamente sulle catene già compensate in base alle loro condizi geometriche intrinseche, riguardando come quantità osservate e legate è. equazioni poligonali e di Laplace le lunghezze delle geodetiche, gli azi. astronomici reciproci e le differenze astronomiche di longitudine. Il « mei: di Bowie », che è stato impiegato nella compensazione delle triangolazi. dell'America del Nord, considera dapprima’ la compensazione delle sing catene con le osservazioni condizionate e con l’impiego dell’equazione Laplace; poi in un secondo tempo, ponendo come incognite le coordir’ geografiche degli estremi delle catene e come quantità osservate in lunghe; ed azimut le relative geodetiche, compensa i poligoni risultanti con le oss. vazioni indirette o mediate. Fra i metodi di HeImert e di Bowie sta que. del Prof. F.N. Krassowskij, usato nella compensazione della grande trian: lazione dell’U.R.S.S., nella quale il metodo di Helmert è fuso vantaggio: mente con la prima parte del metodo di Bowie. Anche se oggigiorno con g. « elaboratori elettronici » non esistono più difficoltà per la compensazione delle grandi triangolazioni in modo rigoroso ed i metodi precerenti sono superati, si può dire che le poligonali geodetiche rispondono meglio agli effetti delle misure e delle compensazioni. ona In una mia recente memoria [9] ho dimostrato che per la compensazione 1 co delle poligonali geodetiche si possono applicare gli stessi metodi delle poli- i re gonali topografiche, se le coordinate dei vertici vengono calcolate nella ed « proiezione conforme di Gauss ». Dei vertici di tali poligonali quindi non | il è necessario determinare le coordinate geografiche, perchè la compensazione * Ja sarebbe alquanto difficile con risultati praticamente uguali. In una successiva an memoria [10] ho completato il calcolo delle poligonali, sviluppando anche ap per quelle geodetiche il metodo più generale di compensazione per variazioni ca di coordinate e mantenendo immutato il calcolo delle coordinate dei vertici all nella proiezione conforme di Gauss. Or! e. i | 3: 2. - Proposta di sostituzione delle triangolazioni con le quadrangolazioni. de Gli apparati elettronici ed elettro-ottici per la misura delle distanze le hanno portato nel campo della topografia e della geodesia un progresso ed col 14
una evoluzione, tali da rendere necessario un ripensamento sui metodi tradizionali basati essenzialmente sulla misura degli angoli con i teodoliti.Oggi non solo si possono misurare le distanze con grande precisione, ma sihanno anche apparati che misurano contemporaneamente distanze ed angoli.Tutto questo è di importanza notevole nella topografia e nella geodesia perla condotta dei lavori sul terreno e per i calcoli che si sono fatti fino aquesto momento.E' conveniente allo stato attuale delle cose continuare ad applicare imetodì tradizionali? La risposta a tale riguardo è negativa ed occorre quindiescogitare nuovi metodi di misura e di calcolo adatti ai nuovi strumenti.Non vi è dubbio che le poligonali, più duttili e più facili delle triangolazioni,sono state applicate vantaggiosamente con i nuovi apparati. Le poligonali,data la loro semplicità di esecuzione e di calcolo, hanno preso il sopravvento sulle triangolazioni più complesse particolarmente nel campo topografico.Sl propone quindi di sostituire alle « triangolazioni » le « quadrangolazioni «. Mentre nelle triangolazioni i vertici sono congiunti in modo da formare triangoli press'a poco equilateri in due schemi fondamentali a « rete »o a « catena », nelle quadrangolazioni i vertici sono congiunti con poligonaliaperte che s'inseriscono in una poligonale esterna chiusa più grande. Grossomodo la poligonale esterna costituisce un quadrilatero e quelle interne formano tanti rettangoli, che possono eventualmente essere orientati secondoi meridiani o secondo i paralleli. Agli effetti delle compensazioni si ritengono« principali » i vertici della poligonale esterna chiusa e « secondari » quellidelle poligonali interne aperte.Si tenga presente che lo schema di una quadrangolazione è più semplicedi quello di una triangolazione. Inoltre, a parità di area coperta, il numerodelle misure richiesto da una quadrangolazione è inferiore a quello relativoad una triangolazione.3. - Confronto sulla precisione delle triangolazioni e delle poligonazioni.Per semplicità sì vuol fare il confronto fra le triangolazioni e le poligonali di ordine tecnico, che sono le più applicate nei vari lavori d’ingegneriacon distanze fra i vertici non superiori ad un paio di chilometri. Per nonrendere complicati i calcoli si considerino due schemi facili di una catenae di una poligonale aperta. La catena abbia sette triangoli equilateri uguali,il vertice A, coincidente con l’origine degli assi cartesiani, il lato A, Ay sull’asse delle ascisse ed i vertici A,,..... A; posti su una linea che formi unangolo di 30° con l’asse delle ordinate orientato al nord (fig. 1). La poligonaleaperta abbia cinque vertici, il vertice A, coincidente con l’origine degli assicartesiani, i lati uguali fra loro ed a quelli della catena, i vertici A,,...., Asallineati su una retta che formi pure un angolo di 30° con l’asse delle ordinateorientato al nord (fig. 2). Le misure eseguite sono per la catena il primo latoe 30 direzioni (si procede con il metodo a strati), per la poligonale 4 lati e3 angoli. Gli elementi noti sono le coordinate del primo vertice e l’azimutdel primo lato.Se si indicano con / i lati, con x gli angoli e con $ gli azimut, si hannole seguenti coordinate cartesiane dei vertici A,,..., A; della catena (non siconsiderano 1 vertici Ag, ..., As):15
Y = 0 i
Ya = send, = Lsen 30= +1
Ya= L send, + la sen 92 =|, senfs Lisendi sen ga seno sen (9,#180%01)= 2 Lsen 30=l seno, Sen fg Sen Xiz V,=lisen 0,4 la sen8a+1a sendz= send, + Usenoa senota Senio, sen (9,+ 1804 %2)+ SenXg Senog sen XA? i x 0 e 1 + Li sen a Sena Sen4s Sen AXis Sen dio sen (04 2-18040,+%3)=3 sen 30° 3] Sen, Seng Sen Xig Sen Xjy Sen dis 2 dl = L send + la senda+l3sen 024 lusendy=l Sen 0, + Li seni Seng Senio . seno/y Sen Ag Sen 4g . Sen (91+180+02)4 Li sen ca sendo Sen dii Sen cdas Sen due sen (8,+2:180+02+%3)+ Seng Senagsen Az Sen A Senza LU sen qu Seni Na Sen A SenN{z senAi7 SNA SEN A22 sen (94+.3-180+ +04 Ayla Sen X Sena Sen Zia Sencaiy seno Sen X20 SeNA24 = 4+|sen30°= 21] } X,= 1, cos 84 =1 cos3o” ERI 2 X 3= L 08 d4 + la c0s 90 = Ù cos 9,4 Lisencasenazsen oto. cos (6,+180+%2)=21 cos303 1 senaogsencgagsen X412 Xy= , 088,412 0058,413 cos 93 = LU c05 84 4 Ti senta Sena sen odio cos(04+ {80% 42) + sen xy Seng Sen 42 | + Uisench Senta sen Au senalis senolie cos(9+ 2180442403) -3]c06 302 af l (2 Sony Sen Ag Sen X42 Sen yy Sena 2 X=l Cos 9, + la cos 9, + la cos 0, #ly cos d,=1 Cos 0,4 U Sen Da Sen Sen 40 . sen sencig Sen Az . cos(8, +180%%2)4 Li seno Senta sen oli sen dis sen dig c0s (9,+2-180+27+03)+ sen No sen Ag sen 49 sen ay Sena as , La sen i sen la Sena Sen 045 Senoliz Sen 24 SenA22 c0s(0,43:1804 4 4043 404,) + Sena senag Senctaz Sen Nu Sena Sen Xa0 sen N24 _ 41 0530 = 203 1
În modo analogo si calcolano le coordinate dei vertici A,,..., A; dell: poligonale: Ya U sen d, = | sen 30° 3 L Ya= L sen 0, + lasen 9, - l, sen 6, + lì Sen (8,4 180+ 02) = 2 Î sen 30°-T (3 Yy= Ly sen 9141, sen 8,+13 senda = TysenB4+ 1, sen (91+180%2) + la sen(9,62:180%-042+ %, =3| sen 30°= Z l Ys = Ly seni + la sen 0,+l35en 9 +lysen8y = lsen 9,+ 1, sen (8,4 180°+(2) + + l sen (8; #2:180%4 X7+%3) + Lu Sen (8, 3 1804%4+%,+ A) = 4 sen 30° 21 Xa=L così 2 | cos 30°- dl Xa=l os d,+ 1 c0S d, =l, 05 d, + I, Cos (9,+130+ 2) =?2 Î LCoS 30°= (3 l (A) XK =l cos 8; +1, cos, +13 (05.93 = 14 cos 8, +1, c0s(8,+180% 42) + la cos (0,+ 2180 X74%3) = =3|05930% ERES l 7 | Xs = Ù Cos 8, + l (05 8,413 Co5 83+14 C0S 0, = Li Cos d, + |9 Cos ( 0,+ {80°+ A2) + +13 cos (8,+ 2:180%- X34%3) + ly cos (6+3-180% A+%3+4)= 4] cos30%= 2.43 l Per determinare gli errori delle coordinate occorre applicare la « formula dell'errore medio di funzione di quantità osservate ». Si ammette che gli angoli siano stati tutti misurati con un errore quadratico medio ng = + 2” = = + 10-? (in radianti) e che la base /, della catena ed i lati della poligonale, 18
della lunghezza media di un chilometro, siano stati misurati con un errore quadratico medio n, = + 0,01 m e quindi con un errore relativo 7 = + 107”. Tenuto conto che nei casi considerati si ha /n, «1000 . 10-*-e- 0,01 mn, dalle formule (1) e (2) si ottiene per gli errori nelle coordinate dei vertici della catena: . 2 2 è q3 sen 4" ra è nt (lasenB\at s00n2 2,2 2t _ Met (E LE ) + (Le $ 3) Te (1, send; cla) Matt (-(, sen, ci 4,2) Vota sint int 3 TLT 23 53 at Rhein L 2 2 22 ì2 2 2 (89 73 (senta) n° +(l3 058) (MRAVEZIÒ) Ha, + (la send; chat) Ma tt & 3 Li l, 1 _ Oban tnt 1nt1031°ne ti: _ 82, 93392 1333 72 + (1, sen 3 das !) ae ut ht? mi mt fol Na tao <> , L 2 lu senB, {22 22 2 2 t_ 2 Moretta (antica) _ Dt 1333 n Ant aa ln cit 114183392, 1367 n° 32,0 +( lusendy cia c34) 145 4 rap tl Na= 7 = h= 7 (A t_ 2 $ ; L _ 3 £ Tr 4 hn=z"h 2 2 9°? ta 22 t, = loò - - ri Ts Tag È IC ) N cda sent) + (nos O, 453) Mat \ bos i da) 142 À dl. 3onliz 11 _ 693 t_ 413 “1 7 it? LI Na pin 2.2 G,\2_2 2.2 L_0 2.2 (6 Met (e) VRISEEIO A (ds sen Ba) gt (13 0050) claa) Qi +4 _ 22 413° 3,2 11h? 16,2 12,0 18,2 +( licosh cl) ye iti 7g «IL = Th 22 6,\2 2 22 ta 2,2 _ s Teti i è mt (Le senba) ft [lenta (Tu cos by cigato) Ma tot - 20 2 3 4A Val Bnl tai 48° + las A, ee) TT E e e 19
In modo analogo dalle formule (3) e (4) si ottiene per gli errori nelle coordinate dei vertici della poligonale: 12 1 2 4 #2 Ue sen dr: = 7" ‘_n'Z, sen 8, n° 2a dn tn 3Un?_ 23 5 mn Met ser e (lacos) fee PIE ENT (7 12 19 26 L 0\n + da t 4 21 1, 212 22 Trey t send (lost) best) e qei i een 12/2 2 2 t2 22 242 2 24 2 Nilsson ra (ycost) ia dn = 1% ni tn433 1974 22 Mer ottone ir vete pie tr I 20. t_ 3 z Te 0941 heeh 12 °° 20) ni (. 0° Int. 3 ni Th .enintin (8 Mes 99 È mt (la sen È) Ma 4 nt 1 late ht e ea a 20,2 2 L 22 Fal aat ila? 098 24 AL 2 i Ne A i a A a iI 20. î 2 _ LL AL ni 3a tt? _ 15 nt 3248 n° ini i NCECATA iS Va PA
Dal confronto delle (5) con le (7) e delle (6) con le (8) si ricavano i se guenti rapporti fra gli errori nelle coordinate della catena e della poligonale: (o) a te501 t_4 00 De tati 2448 Ie 2228 4,20 Ts 12850 53911..4 20 My, 990% fe, 102% Ty 119% Muy 855% ' (oa -+0*7"1 400 Tar #180% 2436 Tie 2265 2453 Tes 3346463 VIA 10,83% a +1,32 n Ty 1139] Tg 12129)
Dalle (9) e (10) si nota che gli errori dei vertici della catena sono di poco superiori a quelli del vertici della poligonale lungo l’asse Y, mentre tendono a diventare il doppio lungo l’asse X. Con buona approssimazione si possono estendere i risultati ottenuti e si può dire quindi che, a parità di errori nelle misure, la precisione di una quadrangolazione è superiore a quella di una triangolazione e può raggiungere anche il valore doppio. 4.- Confronto sui tempi d'esecuzione delle triangolazioni e delle poligonazioni.
Per meglio evidenziare i vantaggi delle quadrangolazioni rispetto alle triangolazioni si fa un confronto sui tempi d’esecuzione delle triangolazioni e delle poligonazioni, considerando ancora gli esempi delle figure 1 e 2. L'a 20
nalisi sì riferisce alle varie componenti dei lavori sul terreno ed a tavolino, considerate in modo generale senza la pretesa di voler trattare i vari casi particolari che possono presentarsi nella pratica applicativa.
Per quanto riguarda lo studio preliminare a tavolino non v'è pratica mente differenza sui tempi richiesti dalle triangolazioni e dalle poligona zioni, anche se vi possa essere un lieve vantaggio delle seconde rispetto alle prime. Pure nei calcoli di compensazione, che vengono eseguiti per lo più su programma con gli elaboratori elettronici, sì ha sostanzialmente la stessa durata fra quelli delle triangolazioni e quelli delle poligonazioni. Per la scelta dei vertici invece la differenza è notevole: mentre nelle triangolazioni da ogni stazione si devono in generale vedere più vertici con tutte le difficoltà inerenti alla loro posizione più conveniente, nelle poligonali da ogni stazione si devono vedere soltanto due vertici che possono essere posti lungo le strade o facili direttrici. Nelle poligonazioni poi le misure son opiù rapide di quelle nelle triangolazioni, non soltanto perchè gli angoli sono in numero minore, ma perchè è eliminato il perditempo nella ricerca dei vertici e le distanze si misurano più in fretta degli angoli.
Per l’analisi dei tempi d’esecuzione delle poligonazioni e delle triango lazioni si considera una squadra di operatori formata da quattro persone. Si prendono in esame quattro casi, di cui due per le poligonali e due per le triangolazioni. a) Poligonali eseguite con apparati elettronici che misurano distanze ed angoli a registrazione automatica.
Misura delle distanbe e degli angoli per stazione: circa 30 minuti, con due misure per ogni distanza ed alcune reiterazioni per gli angoli.
Trasferimenti ed eventuali pause per stazione: circa 20 minuti.
Occorre quindi all'incirca mezza giornata per il rilievo della poligonale di cinque vertici. b) Poligonali eseguite con apparati elettronici e teodoliti separati.
Misura delle distanze per stazione: circa 10 minuti, con due misure per ogni distanza.
Misure angolari per stazione: circa 30 minuti, con alcune reiterazioni.
Trasferimenti ed eventuali pause per stazione: circa 30 minuti.
Occorre quindi all'incirca una giornata per il rilievo della poligonale di cinque vertici. c) Triangolazioni eseguite con teodoliti ed apparati elettronici per la misura della base.
Ricognizione e segnalazione: un giorno.
Misura della base: circa 20 minuti, con più misure.
Misure angolari per ogni stazione: circa un’ora, con alcune reiterazioni.
Trasferimenti e pause per stazione: circa 30 minuti.
Occorrono quindi all’incirca tre giorni per il rilievo della catena di nove vertici. d) Triangolazioni eseguite con teodoliti e nastro d'acciaio per la misura della base.
Ricognizione e segnalazione: un giorno.
Misura della base: un giorno, con più misure.
Misure angolari per ogni stazione: circa un'ora, con alcune reiterazioni.
Trasferimenti e pause per stazione: circa 30 minuti.
Occorrono quindi all’incirca quattro giorni per il rilievo della catena di nove vertici.
Tenendo conto delle analisi precedenti, si può dire in generale che il tempo d’esecuzione delle quadrangolazioni è circa un terzo in media di quello delle triangolazioni. 5. - Quadrangolazioni geodetiche.
Le quadrangolazioni geodetiche possono avere estensioni notevoli, avendo i lati della lunghezza di circa 30 - 50 km. E’ bene che le quadrangolazioni siano progettate con lati disposti secondo i meridiani ed i paralleli, come si vede nelle figure 3 e 4, che per semplicità contengono soltanto 16 vertici e 3 quadrangoli. Evidentemente, anche se le quadrangolazioni fossero più
Ao As he Ai dio Ag he A;
Au M6° A4s Aq Aa I Î ” | | {| A, A, A, Ag A, An A, hu 0 i Fig.3 0 } Fig.4 estese di quelle considerate, i concetti fondamentali e le conclusioni finali non cambierebbero.
Come nelle triangolaznoni geodetiche gli angoli, press’a poco retti o piatti. vengono misurati con la precisione di «= 0,5” = «= 2,5 - 10-9 (in radianti).
Anche le distanze vanno misurate con la massima precisione, dell'ordine di 2 - 10-5 come precisione relativa che per una distanza di 50 km corrisponde ad una precisione assoluta di circa 0,1 m.
Per quanto riguarda la compensazione delle quadrangolazioni geodetiche sì procederà con il metodo rigoroso delle osservazioni indirette per varia zioni di coordinate nella proiezione conforme di Gauss [10]. Occorre quindi calcolare i valori approssimati delle coordinate gaussiane dei vertici mediante una compensazione empirica preliminare. Considerando le figure 3 e 4, si può ritenere una quadrangolazione come formata da una poligonale esterna chiusa A;-A;-..eA;- Ag-A; e dalle poligonali interne aperte vincolate A, -
A1g* Axg- Ag € Ag- Au Ai Ag oppure A;- A14- Ajg- Aig € As-As-Asg-Ay. Per passare dagli elementi misurati sull’ellissoide a quelli piani della proiezione gaussiana, si dà una prima correzione grossolana agli angoli ed ai lati con le coordinate ricavate da una rappresentazione grafica della quadrangolazione; poi, mediante le note compensazioni empiriche delle varie poligonali, si calco lano le coordinate gaussiane approssimate dei vertici. Per la scelta degli assi coordinati generalmente si conoscono le coordinate gaussiane di alcuni vertici oppure quelle geografiche, dalle quali si passa poi a quelle gaussiane.
Dopo la compensazione ed il calcolo definitivo delle coordinate gaussiane della quadrangolazione, sarà possibile determinare facilmente le coordinate geografiche e tutti quegli elementi sull’ellissoide, che si desiderano ottenere per eseguire eventualmente compensazioni con « metodi astronomico-geode tici ». Tali compensazioni vengono facilitate dalla quadrangolazione, i cui lati sono disposti lungo i meridiani ed i paralleli. 6. - Quadrangolazioni topografiche.
Le quadrangolazioni topografiche hanno i lati della lunghezza di qualche chilometro e possono estendersi fino a qualche decina di chilometri. Gli schemi sono praticamente gli stessi delle figure 3 e 4. Gli angoli ven gono di solito misurati con una precisione di «2” = -10-° (in ra dianti) e le distanze con una precisione relativa di ««10-°, che per una distanza di un chilometro corrisponde ad un errore assoluto di - 0,01 m.
Per la compensazione, trattandosi di quadrangolazioni non molto estese, si procederà di preferenza con il metodo rigoroso delle osservazioni indirette per variazioni di coordinate nella proiezione conforme di Gauss [10], ma si potrà anche applicare quello delle osservazioni condizionate sempre nella proiezione conforme di Gauss [9]. In quest'ultimo caso si farà dapprima la compensazione della poligonale esterna chiusa e successivamente quella delle poligonali interne aperte vincolate. Per passare dagli elementi misurati sul terreno a quelli piani della proiezione gaussiana, occorre conoscere le coordinate gaussiane dei vertici delle quadrangolazioni che si determine ranno in modo approssimato con le note compensazioni empiriche.
Se si vogliono avere altri vertici di dettaglio con distanze di alcune cen tinaia di metri, basta ripetere lo stesso schema entro i quadrangoli della quadrangolazione principale. Naturalmente, nella maggior parte dei casiì, gli elementi misurati sul terreno sono uguali a quelli della proiezione conforme di Gauss. 7.- Inserimento delle quadrangolazioni nelle vecchie trangolazioni.
Le quadrangolazioni possono utilmente essere inserite nelle vecchie triangolazioni, perchè coprono il terreno interno fra i vertici trigonometrici in modo uniforme. A questo proposito occorre fare una considerazione pre liminare circa la precisione dei vertici trigonometrici, sui quali si appoggiano quelli della quadrangolazione. 23
Certamente la quadrangolazione ha una precisione superiore alle poligonali tradizionali e quindi può darsi che la precisione dei vecchi vertici trigonometrici non sia sufliciente. Il Topografo Principale Renato Antongiovanni dell'Istituto Geografico Militare di Firenze in una sua recente memoria [11] ha fatto uno studio dettagliato al riguardo ed è pervenuto alle seguenti conclusioni: gli errori quadratici medi dei vertici di IV ordine e divecchia determinazione dell’I.G.M. possono raggiungere il valore di + imed anche più; i vertici trigonometrici di I, II e III ordine di vecchia determinazione dell’I.G.M. e di IV ordine di nuova determinazione hanno un errorequadratico medio contenuto entro i limiti di + 0,50 m, salvo eccezioni; i verticidi nuova determinazione di II e ITI ordine dell’I.G.M. hanno un errore quadratico medio non superiore a + 0,30 m, salvo rare eccezioni; i vertici trigonometrici delle reti catastali, che si appoggiano a quelli di I, II e III ordine del.PI.G.M., hanno errori quadratici medi compresi fra + 0,30 e + 0,50 m.,Ciò premesso, si dànno alcuni esempi di inserimento delle quadrangolazioni nelle vecchie triangolazioni. Nella figura 5 si ha una triangolazioneN/\Fig.5 Fig.6di tre vertici, che viene completata con una quadrangolazione nella figura 6.Nella figura 7 sì ba una catena di quattro vertici, che nella figura 8 vieneFig.7 Fig.8trasformata in una quadrangolazione togliendo un lato. Infine nella figura 9sì ha una triangolazione a rete di sette vertici, che viene ridotta nella figura 1024