Cupola interna - Costolone 1 XO = — 14.41 YO = 54.61 R = 36. 89 CC IL rr È—_______ _—_— °z N X Y XC DX YC DY SC/RTO 1 3.270 86.710 3.769 — 0.499 86.987 — 0.277 — 0.243E 00 2 4.010 86.460 4.203 — 0.193 86.572 — 0.112 — 0971E -0I 3 4.890 85.960 5.033 — 0.143 86.049 — 0.089 — 0.754E - 01 4 5.750 85.460 5.817 — 0.067 85.504 — 0.044 — 0,369E - 01 5 6.520 84.960 6.560 — 0.040 84.988 |! — 0.028 — 0.228E - 01 6 7.200 84.460 7.266 | — 0.066 84.508 — 0.048 — 0.388E - 01 7 7.880 83.960 7.938 — 0.058 84.004 — 0.044 — 0,353E - 01 8 8.540 83.460 8.580 — 0.040 83.492 — 0.032 — 0.250 - 01 9 | 9.110 | 82.960 9.194 — 0.084 83.030 — 0.070 — 0.537E - dI 10 9.710 | 82.460 9.782 — 0.072 82.522 — 0.062 — 0.471E -01 11 10.270 81.960 10.346 — 0.076 82.028 — 0.068 — 0.508E - 01 12 10.860 81.460 10.887 — 0.027 81.486 — 0.026 — 0.187E - 01 13 11.290 80.960 11.408 — 0.118 81.075 — 0.115 — 0.822E - 01 14 11.860 80.460 11.998 — 0.048 80.509 — 0.049 — 0.344E - 01 15 12.330 79.960 12.390 — 0.060 80.023 — 0.063 — 0.437E - 01 16 12.780 79.460 12.854 — 0.074 79.541 — 0,081 — 0.550E - 01 17 13.230 78.960 13.302 — 0.072 79.042 | — 0.082 — 0.540E - 01 18 13.670 78.460 13.733 — 0.063 78.535 — 0.075 — 0.483E - 01 19 14.070 77.960 14.150 — 0.080 78.057 — 0.097 — 0.616E - 01 20 14.520 77.460 14.551 — 0.031 77.499 — 0.039 — 0.245E - 01 21 14.870 76.960 14.939 — 0.069 77.050 — 0.090 — 0.547E - 01 22 15.230 76.460 15.313 — 0.083 76.572 — 0.112 — 0.667E - 01 23 15.590 75.960 15.674 — 0.084 76.078 — 0.118 — 0.685E - 01 24 15.970 75.460 16.023 — 0.053 75.537 — 0.077 — 0.435E - 01 25 16.340 74.960 16.359 — 0.019 74.989 — 0.029 — 0.161E - 01 26 16.640 74.460 16.684 — 0.044 74.529 — 0.069 — 0.373E - 0I 21 16.960 73.960 16.998 — 0.038 74.021 — 0.061 — 0.322E - DI 28 17.230 73.460 17.300 — 0.070 73.578 — 0.118 — 0.605E - 01 29 17.530 72.960 17.592 — 0.062 73.068 — 0.108 — 0.541E-01 30 17.790 72.460 17.874 — 0.084 72.611 — 0.151 — 0.734E - 01 31 18.090 71.960 18.145 — 0.055 72.063 — 0.103 — 0.488E - 01 32 18.390 71.460 18.407 — 0.017 71.493 — 0.033 — 0.150E - OI 33 18.600 70.960. 18.659 —- 0.059 71.079 | — 0.119 — 0.528E - 01 34 18.820 70.460 18.901 — 0.081 70.630 — 0.170 — 0.735E - 01 35 19.040 69.960 19.135 — 0.095 70.165 — 0.205 — 0.862E - 01 36 19.260 69.460 19.359 — 0.099 69.683 — 0.223 — 0.2907E - 01 37 19.490 68.960 19.575 — 0.085 69.159 — 0.199 — 0.779E - 0I i 38 19.720 68.460 19.781 — 0.061 68.611 — 0.151 — 0.569E - DI 39 19.910 67.960 19.980 ; — 0.070 68.138 — 0.178 — 0.650E - DI 40 20.110 67.460 20.170 — 0.060 67.619 — 0.159 — 0.559E - 01 41 20.280 66.960 20.351 — 0071 67.159 — 0.199 — 0.672E -01 42 20.480 66.460 20.525 — 0.045 66.592 — 0.132 — 0.426E - 01 43 20.660 65.960 20.691 — 0.031 66.054 — 0.094 — 0.291E - dI 44 20.790 65.460 20.848 — 0.058 65.648 — 0.188 — 0,558E - 01 45 20.960 64.960 20.998 — 0.038 65.090 — 0.130 — 0.368E - 01 46 21.110 64.460 21.141 — 0.031 64.570 — 0.110 — 0.296E -0Î 47 21.290 63.960 21.275 0.015 63.904 0.056 0.:141E - 01 48 21.410 63.460 21.403 0.007 63.430 0.030 0.706E - 02 49 21.460 62.960 21.523 — 0.063 63.225 — 0.265 — 0.610E -01 50 21.580 62.460 21.635 — 0.055 62.709 — 0.249 _— 05396 -01 51 21.680 61.960 21.740 | — 0.060 62.251 — 0.291 — 0.592E -01 52 21.770 61.460 21.838 — 0.068 61.813 — 0,353 _ 0.673E-01 53 21.880 60.960 21.929 — 0.049 61.236 — 0.276 — 0.486E - 01 54 21.980 60.460 22.013 — 0.033 60.663 — 0.203 — 0.328E - 01 55 22.050 59.960 22.090 — 0.040 60.226 — 0.266 — 0.396E - 01 56 22.110 59.460 22.160 — 0.050 59.822 — 0.362 — 04946 - 01 57 22.150 58.960 22.223 — 0,073 | 59,533 — 0.573 — 0.721E -01 i aRu—cre_Lt_r_P—. PrP___r———6mr_r—È@_—___———tt
i gradi di libertà dei sistemi risolventi (3), avendo avvertito, nei diversi altr punti eliminati dal calcolo, delle alterazioni costruttive sul monumento ch. avrebbero potuto mettere in seria crisi il suo best fitting del quinto acuti e che questa, e soltanto questa, debba essere la causa del paradosso evider ziato. Spingendo maggiormente il lisciamento dei nostri dati originali, il pro fessor Birardi avrebbe anche potuto rendere molto più plausibile l’ipotes lineare!
E, che i risultati ottenuti dal Birardi abbiano del paradossale, lo sl pu. anche giudicare riportando in grafico gli scarti DX e DY relativi alla su. Tabella A.
Invero, riportando sulla Tavola E pubblicata nella nostra prima me moria [5], gli scarti DX e DY da noi riferiti per la Tabella A nella nostr: Tavola IV, è facile constatare come proprio l'ipotesi ellittica prenda maggio: vigore nei confronti dell'ipotesi circolare. Basta osservare, a questo propo. sito, la Figura 3.
Quello che più impressiona, osservando questa figura, è soprattutto le sistematicità dei segni degli scarti ottenuti dal Birardi. Questa sistematicite sta ad indicare un cattivo adattamento sui dati da noi osservati della curvi: da Lui interpolata.
In una corretta prassi di ricerca scientifica, constatata questa sistemati cità, Egli avrebbe dovuto verificare il best fitting di altre curve, e questo finc a verificare che la successione dei segni degli scarti si presentasse, al ridurs' dell'entità degli scarti medesimi, in modo più o meno aleatorio [12].
Dobbiamo tuttavia rendere atto al professor Birardi, ancora una volta. di aver visto giusto quando ba scritto che il suo eccellente risultato non dt sicure indicazioni sull’attendibilità del tipo di curva ipotizzata e che adot tando altre curve (ad. es. parabole di 3° o 4° ordine, sviluppi polinomiali, ecc, possono ottenersi scarti ancora più piccoli [8].
E’ un vero peccato che, vista la reazione del Sanpaolesi, Egli non abbia trovato il coraggio di confermare queste affermazioni ed abbia invece pre ferito ricorrere, per sostenere la sua tesì, all’empirico e superficiale « sem plice confronto a vista» di due tabelle numeriche [10], una delle quali op portunamente tirata a lucido, esprimenti i parametri di due diverse curve geometriche (la circonferenza e l’ellisse) tra loro difficilmente comparabili.
Che valore scientifico di prova definitiva possa essere attribuito a questo « semplice confronto a vista» lo lasciamo decidere ai nostri lettori. Nol ab biamo già messo in evidenza cosa nasconda il lindore formale dei numeri pubblicati dal professor Birardi nella sua Tabella A.
Comunque, se la Matematica è veramente un'opinione, il professor Bi. rardi fa bene a concludere la sua analisi geometrica scrivendo: riteniamo di poter affermare che — dal punto di vista della Teoria degli Errori — l’ipo tesi che il profilo dei costoloni sia circolare risulta sicuramente più plausi bile di quella che il profilo stesso sia ellittico |8].
In fondo, non possiamo negare che il suo sia veramente un punto di vista dato che, lusingato dal credito concessogli dal professor Sanpaolesi, Egli non si perita poi, nella sua expertise, di progettare e di disegnare di proprio pugno la curva tipo della mezzeria delle vele del nostro « Cupolone ». Una curva, quella da Lui ideata, che si adatta su quella ottenuta dal nostro rile vamento fotogrammetrico come il Campanile di Giotto si adatta sul Ponte a Santa Trinita! . (3) Nel piano la circonferenza può essere definita da soli 3 punti! 50
E’ soprattutto per i suesposti motivi che abbiamo ritenuto inopportune le critiche mosseci dai due professori Sanpaolesi e Birardi circa il nostro la voro di ricerca [9]. Comunque, se questo può soddisfarlo, il professor San paolesi può continuare ancora a ritenere che, soprattutto per merito del l'amico professor Birardi, sia stato finalmente possibile eliminare ogni ul teriore dubbio circa la curvatura degli spigoli interni ed esterni della Cu pola fiorentina [8]. Noi, visto come stanno le cose, non ce ne potremo certo adontare.
E’ tuttavia fuori discussione che, con le loro libere affermazioni, i due professori Sanpaolesi e Birardi, dimostrano chiaramente di non credere af fatto nelle possibilità della Fotogrammetria e di rigettarne, soprattutto, le obiettive e genuine informazioni che essa può fornire. Alla descrizione pun tuale e fedele di un monumento offerta dalla Fotogrammetria Essi preferi scono infatti ancora l’empirismo accademico ottocentesco.
Si può infatti provare, e le nostre ricerche di analisi spettrale ne sono anche una prova [6], che i profili in discussione si differenziano significati vamente tra di loro e che, proprio per questo motivo, i risultati ottenibili, elaborando in un modo qualsiasi le relative serie numeriche da noi osser vate, non possono altro che differenziarsi con identica significatività (4).
In breve, se non c’è accordo tra i profili descritti dal rilevamento nu merico fotogrammetrico, non può esserci accordo tra i risultati di una qualsiasi elaborazione dei dati numerici che li definiscono. Se l'accordo tra 1 risultati si verifica è soltanto perché qualcuno l’ha realizzato a proprio piacimento.
E’ essenzialmente per questo motivo che, pubblicando i nostri risultati, abbiamo ritenuto di riferirli così come li abbiamo avuti dall’elaboratore elet tronico. La nostra obiettività scientifica ci ha suggerito di conservare intatto il contenuto informazionale offerto dai dati di partenza. 4. Seguendo un indirizzo di ricerca completamente diverso da quello pre scelto dai due professori Sanpaolesi e Birardi, sì è recentemente inserito nella polemica sulla curvatura della Cupola di Santa Maria del Fiore anche l'ingegner Corrado Brogi, cultore di Scienza delle costruzioni.
L’ingegner Brogi, studiando alcuni aspetti delle curve funicolari, ha avuto modo di rilevare che la curva in discussione poteva essere ben approssimata da una curva catenaria avente l’asse di simmetria inclinato di circa 45° ri spetto alla verticale [13].
Desiderando avere conferma numerica alle sue deduzioni, il Brogi ha pertanto verificato il best fitting della curva medesima rispetto ai nostri dati osservati, limitandosi però al solo Costolone 3 della cupola interna.
Purtroppo, Egli non ha ritenuto utile pubblicare, almeno per il mo mento, i risultati numerici delle sue ricerche. Egli ha però riferito che il punto di massimo effettivo è di poco superiore al punto che porta la quota di 79,96 m; che l’asse di riferimento è leggermente sghembo rispetto al piano della curva; che la curva di errore (nell’ordine di qualche centimetro) forma (4) Il professor Sanpaolesi ci offre nella sua recensione del nostro lavoro, involonta riamente, una conferma alle nostre conclusioni quando, riferendosi ai rilevamenti diretti compiuti nel 1938 dal geometra Giulio Padelli, testualmente scrive: La curvaturà della cupola fu misurata sulla mezzeria delle facce; il Padelli ipotizzò per questa una curva policentrica, senza tuttavia si potesse andare al di là di una certa approssimazione, data la natura irregolare delle murature delle quattro facce prese in considerazione, che ri sultarono anche una diversa dall’altra [8]. 52
una esse allungata; che nel calcolo occorre spingere al massimo le cifre decimali.
Logicamente, dato il carattere telegrafico delle informazioni forniteci dall'ingegner Brogi, non ci è possibile fare commenti circa questo nuovo best fitting che contraddice, per altra via, l'ipotesi di una curvatura costanie (circonferenza) sostenuta dai professori Sanpaolesi e Birardi.
Prendendo atto della comunicazione fatta dal Brogi, ci preme però ri cordare che importanti ricerche di Fisica matematica, compiute in Italia sul finire del XVIII secolo, hanno avuto per tema proprio la ricerca della curvatura di equilibrio degli archi e delle cupole e che Ia catenaria è stata concordemente indicata, fino d'allora, come la curva di equilibrio degli archi e la curva di minima spinta tangenziale [14].
Inoltre, sempre a questo proposito, ci preme poi ricordare che già Leonardo Ximenes, riferendosi alla curvatura della Cupola di Santa Maria del Fiore nella sua opera sullo gnomone fiorentino, aveva segnalato che sesto della nostra Cupola è tale, che si accosta assai dappresso alla curva catenaria, curva assai acconcia alla costruzion delle Cupole [15].
L'ipotesi che il Brunelleschi si sia ispirato, nella realizzazione della sua Cupola, alla curva definita da una catena soggetta al proprio peso merita giustamente di essere presa in considerazione.
Discutendo i primi risultati da noi ottenuti tramite l'elaboratore elet tronico, il professor Enzo Ferroni dell’Università di Firenze ci aveva ri cordato quest’ipotesi e ce ne aveva suggerita la verifica con i nostri dati sperimentali.
Questa verifica non è ‘stata ancora da noi effettuata. Sarà nostra pre mura effettuarla se l'ingegner Brogi non pubblicherà i risultati delle sue ricerche.
Noi riteniamo infatti, come abbiamo già scritto [6], che forma geo metrica e condizioni di stabilità non possono essere in alcun modo di sgiunte nell’introspezione di un’opera architettonica come quella in argo mento. E questo, tenendo presenti le limitate porzioni di curva studiate che, appunto per la loro limitazione, lasciano ancora margine all’estra polazione. 5. Concludendo la nostra prima memoria sul rilevamento fotogramme trico della Cupola di Sanita Maria del Fiore in Firenze, abbiamo testual mente scritto: n < Naturalmente, le ricerche sulla Cupola del Brunelleschi non possono ritenersi concluse con questo primo rilevamento fotogrammetrico a carattere sperimentale. Altre prese fotogrammetriche di maggior precisione dovranno essere effettuate per completare e perfezionare nel miglior modo possibile le molteplici informazioni ora raccolte » [5].
Noi ci ripromettevamo allora, e questo è ancor oggi il nostro programma, di controllare i nostri primi risultati con nuove misure dirette sul monumento, di confrontare i nostri risultati con quelli ottenuti nei precedenti rilevamenti diretti, nonché di ripetere i rilevamenti fotogrammetrici compiuti per cercare di migliorare ulteriormente le precisioni conseguite.
Sviluppando questo nostro programma, incoraggiato anche da un con tributo di ricerca del Ministero della Pubblica Istruzione, abbiamo già pro ceduto alla ripetizione ex-novo della restituzione numerica delle intersezioni delle vele interne e delle mezzerie delle vele medesime. I valori numerici osservati sono tuttora in corso di elaborazione e confronto con i precedenti valori da noi osservati. 23
Condotta a termine l’elaborazione di queste nuove osservazioni numeri. che sarà forse possibile ottenere o meno una conferma delle anomalie rile vate su alcuni profili interni della nostra Cupola [6].
I risultati che verranno ottenuti permetteranno comunque di dare un nuovo avvio al rilevamento fotogrammetrico da noi intrapreso.
Le ricerche da noi programmate non potranno, certamente, esaurirsi in un breve arco di tempo. Questo richiederà ancora molta pazienza e molta prudenza nel rendere definitive le indicazioni finora ottenute dalle nostre ri. cerche sperimentali.
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